pencil創作整数問題#34解法&創作整数問題#35全国各地でインフルエンザが流行していますね。私の周りでもただの風邪だと思ったら実はインフルだった、という人がちらほら出てきています。これからの時期は受験シーズン真っ盛りですから、受験生の皆さんは手洗いうがいは欠かさないようにしましょう。因みに管理人は毎年、インフルエンザワクチンを接種していません。大昔に(小学生くらい?)したっきりです。今年も打ちませんね(笑)。栄養のあるものを沢山食べていれば、そう滅多に罹るものではありません。#35《問題#35》$0$以上$1$以下の既約分数を以下の手順で並べる。分母が$1$となるような既約分数を大小順に並べる。分母が$2$となるような既約分数を大小順に並ぶように列に加える。分母が$3$となるような既約分数を大小順に並ぶように列に加える。・・・これを続けていき、最後に分母が自然数$n$となるような既約分数を大小順に並ぶように列に加える。この数列を$F_n$とする。$\dfrac{0}{1}$および$\dfrac{1}{1}$は既約分数とみなすものとする。\dfrac{1}{1}$$となる。数列$F_n$の項数を$f^{\sharp}_n$とするとき以下の問いに答えよ。とき、$f^{\sharp}_n$は奇数であることを示せ。(2)数列$F_n$の総和が$\dfrac{f^{\sharp}_n}{2}$であることを示せ。(創作問題)数学愛好家にはたまらないファレー数列の話題です(笑)。設問自体は控えめになっておりますが、ファレー数列は格子点に関する性質や円に絡んだ性質などが知られる奥深い数列です。お気付きの方も居られると思いますが、「既約」ということは分子と分母が「互いに素」ということですから、$f^{\sharp}_n$はオイラーのトーシェント関数を用いて記述することができます。これを知っていれば(1)は自明かもしれませんね。$f^{\sharp}_n$という記号($F_n$も?)は一般的なものではないので他所では通じません。証明問題につき、解答例は次回掲載します。創作整数問題#34(解き方)任意の正の整数$n$に対して、各位の数字が$1$または$2$のみからなる正の整数であり$2^n$で割り切れるものが存在することを示せ。創作問題とは言っているものの、割と有名な類の問題かもしれませんね。$2^n$で割り切れればよいので、帰納的にそのような数を構成できないか考えることにします。ここで、$2^n$でちょうど割り切れる必要はないことに注意しましょう。していけば、それぞれ$2^n$で割り切れ、かつ、すべての位の数が$1$または$2$のみからなる数を次々と作ることができます。正の整数$n$に対して、条件「各位の数字が$1$または$2$のみからなる正の整数であり、$2^n$で割り切れる」を満たす数が存在することを数学的帰納法を用いて示す。とき、$2$は条件を満たす。とき、ある正の整数$N_k$が条件を満たすとする。は$2^{k+1}$で割り切れる。ときも条件を満たす数が存在する。したがって数学的帰納法により、任意の正の整数$n$に対して、条件「各位の数字が$1$または$2$のみからなる正の整数であり、$2^n$で割り切れる」を満たす数が存在することが示された。□(コメント)随分あっさりと示すことができました。この議論を見て分かる通り、$0$から$9$までの任意の偶数と奇数のペアで同じことが言えます。「各位の数字が$3$または$4$のみからなる正の整数であり、$2^n$で割り切れる」という条件を満たすものが存在します。これがもし「$2^n$でちょうど割り切れる」という条件の場合は解答例の構成法では帰納法が使えません。この条件の場合、$n$の小さい方から列挙していくと、$2=2^1$$12=2^2×3$$1112=2^3×139$$112=2^4×7$$22112=2^5×691$$2112=2^6×3×11$$2122112=2^7×59×281$$122112=2^8×3^2×53$$212122112=2^9×53×7817$$1212122112=2^{10}×3×394571$$12122112=2^{11}×3×1973$$111212122112=2^{12}×7×13×17×17551$$1111212122112=2^{13}×3^2×15071779$$111111212122112=2^{14}×6781690193$$211111212122112=2^{15}×3×29×74052907$$1211111212122112=2^{16}×7×19×138948049$$11111212122112=2^{17}×3559×23819$$1111211111212122112=2^{18}×24733×171387781$$2111211111212122112=2^{19}×101×39869461649$$12111211111212122112=2^{20}×3^3×7×2393×25537781$$111211111212122112=2^{21}×3×17676530077$$\cdots$となります。さん、コメントありがとうございます。したバージョンの構成法で証明していますが、これによれば更に「$2^n$でちょうど割り切れる」数が存在することも直ちに従います。一方で、各位の数字が$1$または$2$のみからなり、ちょうど$2^n$で割り切れる、という性質を持つ最小の正の整数を効率良く見つける方法はあるのでしょうか。プログラム等でしらみつぶしに調べるしかないのかもしれませんね。発展性のある話題なのだと改めて認識しました。ご教示頂き感謝致します。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。