自然数$n$に対して、$10^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく。$a_n$は$0$から$12$までの整数である。(1)$a_{n+1}$は$10⁢a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ。(2)$a_1$、$a_2$、$\cdots$、$a_6$を求めよ。(3)以下の3条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ。(i)$N$を十進法で表示したとき$6$桁となる。(ii)$N$を十進法で表示して、最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる。(iii)$N$は$13$で割り切れる。誘導設問に上手く乗りましょう。(1)は漸化式で与えられる数列の剰余に関する問題でよく登場するタイプの設問です。$$10^{n+1}=13k+a_{n+1}\tag*{・・・2}$$と表せる。13k+10a_{n}\tag*{・・・3}$$となる。13k+10a_{n}$$となる。12$)とすると、$10a_n=13k’+r$($k’$は整数)と表せるから、$$13l+a_{n+1}=13(10k+k’)+r$$となる。故に$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しい。$13$で割った余りに等しいから$10$である。(*)の範囲で$R$を$13$の倍数にする組($x$、$y$)は$(2,\,8)$、$(3,\,4)$、$(4,\,0)$、$(5,\,9)$、$(6,\,5)$、$(7,\,1)$、$(9,\,6)$であるから求める自然数$N$は、$220168$、$320164$、$420160$、$520169$、$620165$、$720161$、$920166$である。誘導設問が丁寧なので解答の方針には困らないと思います。(3)は誘導設問の結果をうまく利用して解答しましょう。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。