三角形の二辺の長さの和が他の一つの辺の長さよりも長いことを表す不等式である。証明は以下のように行う。任意の実ベクトルとする。これより、が成立する。成り立つことを用いた。シュワルツの不等式を適用すると、が成り立つことが分かる。等号成立条件を求める。等号成立条件の一つは、である。対し、が成立することである。このことは次のように考えると理解できる。シュワルツの不等式と不等式を用いた。それ以外は全てのベクトルに対して成立する関係だけを用いている。これらの両方の不等式の等号が成立することと同値である。双方を満たす条件を求める。(シュワルツの不等式を参考)。正の値も負の値も取りうる。