勉強法ツイートこの記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。あるため減点がされやすく、またいろいろなパターンがあって覚えられない受験生は多いかと思います。数学的帰納法は一度きちんと理解してしまえば、何に注目して解き進めるべきが非常に明確な、シンプルな解法なのです。私は受験生のとき、数学的帰納法が出てくるたびに「ラッキー!」と思っていました。(中には本当に難しい問題もありますが...)この記事では、数学的帰納法の基本の考え方・解き方を説明した後に、大学受験でよくでる問題を解説していきます。数学的帰納法をマスターして、大学入試で得点源にしましょう!数学的帰納法とは?まず、基礎の基礎である数学的帰納法とは何かについて説明します。数学的帰納法とは「具体例を集めてルールを導き出す」こと数学的帰納法、聞きなれない言葉かもしれませんが、これはずばり「具体例を集めて、すべてに共通する命題を予想し、証明する」という意味です。規則性がなさそうな数字や式の集まりを見て、規則性を予想し、その規則性が正しいことを証明する、という手順になります。「数学的」とはどういうことでしょう。「帰納法」というのはもともと哲学用語で、「演繹法」と対になっています。演繹法は普遍的な真理を定めてから、それを具体例に当てはめる...というイメージです。数学的帰納法では、「具体例から普遍的な真理を導き出す」のにプラスして、その導き出した真理が正しいことを証明しなければなりません。あとで詳しく説明しますが、その証明の仕方が少し演繹法ぽかったり...と、数学の証明において使われる帰納法は、本来の帰納法と違う点が多いのです。書くときは、面倒くさくても「数学的帰納法」と書いたほうが安全かもしれません。数学的帰納法では「一番小さい数を入れたとき」と「つながり」を明らかにしようでは、数学的帰納法の具体的な手順を説明します。数学的帰納法を使う問題は、ざっくり2つに分けられます。1つ目は「あらかじめ示されたルールを証明する問題」2つ目は「具体例の中からルールを見つけて、それを証明する問題」です。この2つ目の「具体例の中からルールを見つける」というのは、大学受験では実際に具体例を出せば簡単に見つかることが多いので、やり方というのは特にありません。そこで、証明の仕方のみ説明します。「自然数nに関する命題Pが、すべての自然数について成り立つ」ということを1n=1のときに命題Pが成り立つことを証明する2n=kで命題Pが成り立つと仮定すると、n=k+1でも命題Pが成り立つことを証明するこの2つの手順を踏んで証明することです。「1よりn=1のとき命題Pは正しくて、2よりn=1のときにPが正しいのだからn=2のときもPは正しくて、そうするとまた2よりn=2のときにPが正しいからn=3のときもPは正しくて...」というのを無限に繰り返せるので、すべての自然数について命題Pが正しいことになります。「一番小さい数たちを入れたときに命題が成り立つこと(1)」と「つながりが成立すること(2)」を証明することで、どんなnでも命題が成り立つことが証明できるのです。例題を解いてみよう日本語だけで説明してもよくわからないと思うので、実際に例題を解いてみましょう。n(n+1)...☆を証明せよ。先ほど数学的帰納法の手順は1n=1のときに命題Pが成り立つことを証明する2n=kで命題Pが成り立つと仮定すると、n=k+1でも命題Pが成り立つことを証明するであるといいました。これに沿って考えていきます。n=1のときに☆が成り立つことを証明します。1よって、n=1のとき☆が正しいことが示せた。次に、n=kで命題Pが成り立つと仮定すると、n=k+1でも命題Pが成り立つことを証明します。わかりましたか?まず、n=k(kは自然数)のときに☆がどうなるか、という式(1)を立て、n=k+1のときの☆の左辺に1を代入して整理し、☆の右辺になるよう導いているのです。これで、「n=kで☆が正しい場合、n=k+1でも☆は正しい」ということが示せたわけです。最後に「数学的帰納法を用いて、すべての自然数nについて☆が成り立つことを証明できた。(証明終わり)」と書いて締めます。最後に、ここまでの証明をまとめて書いておきます。数学的帰納法は日本語をたくさん使う証明です。不適切な日本語を使って減点される...なんてことがなくすために、自分の中で1つ型を決めておくことをおすすめします。n(n+1)...☆を証明せよ。1よって、n=1のとき☆が正しいことが示せた。(k+1)(k+2)=[☆の右辺]よって、n=kを仮定すると、n=k+1でも☆が成立することが示せた。(1)(2)より、数学的帰納法を用いて、すべての自然数nについて☆が成り立つことを証明できた。(証明終わり)不等式を数学的帰納法で証明するにはでは、証明する命題が不等式であった場合のことを考えてみましょう。「A-Bは0よりも大きい」この2つは同じことを言っていますが、どちらが証明しやすいと思いますか?単純な問題だと前者のままでも証明できることもありますが、0という数字が持つ特殊な性質を利用する、つまり後者を証明することで、ぐっと簡単に問題が解けることが多いです。「移項する」は非常に重要なわけです。これを心に留めつつ、例題を解いてみましょう。「漸化式によって表される数列の一般項を、数学的帰納法で求める」というものがあります。先ほど数学的帰納法を使う問題は、「あらかじめ示された命題を証明する問題」と「具体例の中から命題を見つけて、それを証明する問題」の2つに分けられる、と説明しました。今まで解いてきた問題は前者ばかりでしたが、数列が絡んだ問題は大体後者になります。問題を解きながら考えてみましょう。この問題、普通に漸化式を解こうとしても解けませんよね。15となっていることから、という予想が立てられますね。この予想が正しいことを、数学的帰納法で証明していきましょう。文科I類に合格しました。夏からアメリカに1年留学するのですが、マジで太りたくないので野菜しか食べないつもりです。得意科目は英語と数学で、国公立対策の記事を中心に執筆しています。平方根(ルート)の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!中学数学のヤマ場の1つである「平方根(ルート)」。りほ因数分解のやり方・公式と解き方のコツ教えます!高校レベルまで対応!因数分解とは、「足し算・引き算で表されている数式をかけ算の形に変形する」ことです。数学の色んな場面で出てきます。そんな因数分解には、公式だけでなく早く計算できる解き方があります。二次方程式は「1解の公式2因数分解3√」による解き方で解きます。本記事では「二次方程式とは何か」という説明から、3つの解き方の使い分けまでを解説します。数列の単元や数学3の積分計算でとてもお世話になる、大切な式変形なんです。中学数学の中でも、図形問題はなかなか難しいものの1つです。進路を決める大学を探す。