満たすものがただ一つ存在する。上適当な階数の多項式環の準同型像である。この意味において、多項式環は(与えられた集合を不定元の集合とする)自由可換多元環(可換多元環の圏における自由対象(英語版))を与える。体上の多変数多項式環は代数幾何学において基本的な役割を演じる。可換環論やホモロジー代数の多くの結果が、多項式環のイデアルや多項式環上の加群の研究に端を発している。Nullstellensatz)と呼ばれる。^{n})}の形に書ける。根基に属するということである。代数的集合との間に一対一対応が存在する。K^{n})}によって得られる。既約部分多様体に対応する。性質[編集]可換環論における基本的な手法の一つは、環の性質をその部分環の性質に関連付けることである。部分環であることを示唆することにする。よび、また環の拡大(英語版)という。関する帰納法を用いることが可能になる。n-変数多項式環とする。場合のみを考えれば十分である。