上一変数の多項式環と呼ぶ。見なすことからの示唆である。付け加えて得られるものと考えることができる。係数を持つ線型結合としての定義に繋がる。環は加法と乗法のふたつの二項演算を持つ。)}X^{k}}によって明示的に与えられる。上の式は一方の多項式に零を係数とするダミーの項を加えて延長し、両方の多項式に形式的に現れる冪の集合を同じものにする。範囲でのみ添字を動かす。)}X^{k}}のようになる。多項式を表現している。考えることができるが後述。この類似性と多項式環の算術はガウスによって徹底的に調べられ、ガウスの理論は19世紀後半のクンマー、クロネッカー、デデキントらの手による抽象代数学の発展のモデルとしての役割を果たした。整域である[編集]多項式環の第一の性質は基本的で、二つの零でない多項式の積は零ではないというものである。零でない多項式である。任意の零でない二つの元の積が再び零とならない(英語版)ような可換環は整域であると言われる。因数分解[編集]多項式環の次の性質はもっと深いものである。今日では算術の基本定理と呼ばれる「任意の自然数が素数の積に一意的に分解することができる」という事実は、ユークリッドによって既に知られており、その証明は自然数の最大公約数を導き出すユークリッドの互除法に基づくものであった。取り替え、出てくる数をより小さくする。ガウスはこの剰余つき除算の手続きを多項式に対しても定義できることに気付いていた。書くことができる(除法の原理)。このような性質を持つ分解は一意である。ここでは多項式の次数が整数の除算における整数の大きさの類似の役割を担う。次数は無限に減少することはできないので、最終的には互除法の除算は終了し、最後の零でない剰余が最初のふたつの多項式の最大公約元である。この方法により、ガウスは整数に対する算術の基本定理を厳密に証明すると同時に、それを多項式に対して一般化することに成功した。分解環であり、ユークリッド整域である。単項生成であるという事実がある。主イデアル整域である。用いて書き表すことができる。有限次拡大に対して適用できる。持つ線型結合になっている。同じ冪へ写すようなものが唯一つ存在する。+a_{0}}として作用する。