クルル次元に対して類似の結果がある。一般化[編集]多項式環の一般化には実にさまざまな方法がある。簡単な一般化は、変数の肩に乗せる冪指数を取り出す集合を変えるだけで得られる。可能である限り意味を成す。この加法が意味を持つ(演算が閉じていて、結合的である)ような集合は加法的モノイドと呼ばれる。写像で、有限台をもつ(非零値であるような点が有限個である)もの全体の成す集合は環の構造を持つ。係数を持つモノイド環と呼ばれる。この環の加法は成分ごとの和で定義される。乗法はコーシー積として定義される。)}X^{n}}に書くことができる。全てをわたるってとる。このモノイドによる定義を出発点にとる[2]。あるような特別の場合である。して非負有理数の成す可換モノイドをとることにより構成される[3]。非零の項を無限個含むことも許すという別の方向で冪指数を一般化することにより、冪級数が定義される。対していくつかの仮定を課す必要がある。環のほうに位相を導入して、無限和を収束するものだけに限ることもできる。写像全体として定義することができ、和は成分ごと、積はコーシー積で入れることができる。形式冪級数環は多項式環の完備化と見ることができる。単純に等しいものと定義される。多項式環のもう少し一般の概念は、これらの形式的な積を別なものとして区別して扱うことによって得られる。個の記号をアルファベットとする文字列全体が文字列の結合を積として成すモノイド)の場合である。係数も変数もそれぞれそれらの間で可換性を持つ必要はないが、係数と変数との間では可換でなければならない。多項式環の別の一般化として、微分多項式環と歪多項式環がある。