すばらしき物理学の世界!すばらしき物理学の世界!大学在学時に一応量子力学を習った東大卒が、独学で現代物理学をさらに奥深く勉強しています。2019年10月29日TwitterFacebookGoogle+LinkedInPocket量子力学の本にも、大学院の入試問題の解説にも説明があることはあるのですが、納得のいく説明に出会ったことがありません。わかる人はすごいなぁ、何か次元が違うんだ、のような感覚がある人もいるかもしれませんが、今言わせてもらえば、あんな不十分なもので分かったつもりになってる人は、物理学に対する姿勢がなにかおかしくはないでしょうか。やることは箱の中の、光子のとれる道のようなものである”モード”にある光子の数を数えて、モードの数を、箱の中で形成可能な定常波の数として調べてから光子の数にそのモードの数をかけて全エネルギーを求めるという、普通にその意図がわかることをやっているのですが、いろいろ掘り下げなければならないところがあるからその意図をいつも押さえておかないとぶれてわからなくなっていく。ここでは、プランクの放射公式とはそもそも何を知りたくて考えだしたのかというところから、心ある人間として導出していきたいと思います。この記事は黒体放射の超かみ砕いた超親切な導出です。プランクの放射公式は、鉄鋼業の盛んになってきた19世紀、鉄工所の熱い炉の温度を正確に知る必要があり、溶鉱炉内の”色”から”温度”を知るための、色と温度の関係に関する研究から生まれたものです。ここでは、炉の内部の温度を知るにはどうするかという状況設定からすすめていきます。炉があって、ある温度で、そこから光が出て色をもっている。光のスペクトルは観測できるから、その観測から内部の温度を知りたい。色とはスペクトルのことです。炉から出てきた光のスペクトルは観測できる。スペクトルとは結局なにかというと、波長を分割して、波長ごとに、ある時間内に検出されるその波長の光子の粒の数を集計してエネルギーを合計したものをグラフにしたもので、つまり波長別の光のエネルギー強度の分布なのです。したがって、温度を含む形でそのスペクトル、すなわち、穴から出てくる光のある波長の光のエネルギー強度(単位時間に出てくるその波長の光のエネルギーの合計)がどれだけになるのかが求められればよい、という状況です。含む形の)どのような式で表されるかを導きたい。同定することができる。【大問題】(上図のB(λ)は、本来の分光放射輝度B(λ)に検出器の集光部分(カメラ)が光源(穴)に対して見込む立体角をかけたものです)炉をモデル化し、ある大きさの鉄の箱があり、内部はある温度になっていて、小さな穴が開いていて、そこから光が出ている、という空洞放射のモデルにします。飛躍に見えるかもしれませんが、これは19世紀の研究の結果であって、そこを見習っています。プランクの放射公式は、この空洞放射の考察から導かれます。空洞放射とは、箱(鉄の箱でいい)の内部がある温度で、小さな穴が開いていて、そこから出てくる光(熱輻射)のことです。熱平衡状態にある空洞内の輻射が、空洞に開いた小さな穴から外に出てきたものを観測するのですが、穴からのぞいたら、穴の向かい側の壁からの放射が見えるだけのような気がします。壁からの放射そのものです。\)の黒体放射をしているのです。空洞内では、空洞内部表面からの熱輻射(電磁波)と空洞をから壁に吸収される電磁波の間で平衡状態が成り立っていると考えることができます。壁から出る波と壁に入る波が方向だけ正反対の同じ波であると考えることにより、方向だけ逆の波を重ね合わせると定常波になることから、空洞内を満たす電磁波が定常波になっていると考えることができます。壁からの(黒体)放射の性質がわかることになるのです。して導かれたのがプランクの放射公式です。穴から出る光と温度の関係について調べるといってはてどうしたものか、というところで、空洞に充満する電磁波について考察してみたらどうかという可能性に変わりました。以下実際これを試みると、結果を導くことができます。熱を輻射する物体のモデルとして、すべての波長の電磁波を完全に吸収する黒体という概念が用いられます。空洞輻射のちいさな穴も、入った光は出てこれず完全に中に吸収され(穴が小さいので出てこれないということでいい)、黒体とみなされます。空洞放射と黒体放射とはほぼ同義で使われます。理論的に正しいプランクの式を導く前に、観測事実を正しく説明できなかったレイリージーンズの式を導きます。レイリージーンズの式では、どのモードも同じエネルギーを持っていると仮定した点が間違いのもとでした。それでは、空洞を満たす光について考察していきましょう。立方体の容器であるとします。光について考えることにしましょう。“定常波”について考えます。定常波だけを考えればいいのはどういうことかというと、例えば、笛から出てくる音階も、増幅されない雑多な波は無視して、増幅されて卓越する定常波を考えればよい、と同類のことと考えることができます。\)で一定だから、それのその光子の数の分だけです。おける光の強度にほかなりません。\)の電磁波のエネルギーの合計を求めることができるはずです。違っていてもすべてのモードはそれぞれ同じエネルギーをもっているとします(これは量子論的には誤りであることを後で述べます)。間にある光のエネルギーを合計するということです。エネルギーが分配されるということでした。エネルギーが等分配されるとしました(のだろう)。かければよいことになります。定常波の個数を調べます。座標3次元空間の、立体的な図の格子点の数を数えることに帰着します。空洞の中の3次元の定常波が、時間に依存する部分を除いてどのように書かれるかを明確にしておきます。すると、定常波の変位は以下のように書かれるでしょう。電場または磁場の変位のことですが、変位の大きさはこの問題では終始問題になりません。