一般に整数nの逆元は1/nとなりますが、これは必ずしも整数にはなりません。それでは、整数じゃなくて実数集合を考えてみます。これは、群になるような感じがしますが、0に対する逆元は存在しません。よってこれも群ではありません。実数集合から0を除いたものと演算*は群をなします。上記では、無限集合を考えましたが、有限集合の場合を考えてみます。1}という集合を考えます。これに対して演算ORを考えます。これは群をなすでしょうか?まず、演算ORは集合に対してclosedです。演算はassociativeです。1に対する逆元が存在しません。1}と演算ORは群をなしません。演算ANDに対してはどうでしょうか?演算はclosed、単位元は1、演算はassociativeですが、0に対する逆元がありません。有限集合で群をなすものはそう簡単には見つけられないのでしょうか。法3の世界を考えます。この法の世界において演算+を考えます。演算はclosed、単位元は1、演算はassociativeです。1)が逆元になります。よって、この系は群をなします。ring環は集合Sと二つの演算add、mulを統一的に扱うための概念です。群では考える演算子は1つでしたが環では2つです。それぞれ、足算と掛け算に似たような性質を持つためここではadd、mulと表記します。add)は群をなすようです。mul)が環であるための必要条件らしいです。対象の集合が無限集合である環を考えてみます。整数の集合と+はアーベル群をなすので、これに*を加えると環になるか考えてみます。アーベル群とは、演算がcommutativeな群のことです。普通演算子はcommutativeな気がします。commutativeじゃない群(アーベル群じゃない群)ってどういうのがあるんでしょうか?"-"はcommutativeじゃありません。整数集合と"-"は群を成すでしょうか?演算は集合に対してclosed、単位元は存在しません。-nとなってしまうので演算-に対する単位元は存在しません。除算についても同様の議論で、群になりません。行列の演算はどうでしょうか?行列の掛け算はcommutativeじゃないです。正方行列と演算*は群をなすでしょうか?演算はclosedです。単位元は単位行列です。行列の積はassociativeです。逆元の存在はややこしい。行列式が0だと逆行列が存在しないのでダメでは・・・?ぐぬぬ。いうことで集合の設定を変えます。「正則行列集合と演算子*は群を成すか?」正則行列同士の積は正則行列になります。いうことで、演算は集合に対してclosed。逆行列が存在し、これが逆元になります。行列の積はassociative。行列の積はcommutativeじゃないので、これはアーベル群ではありません。出ました!これが群だけどアーベル群じゃない例ですね。