\}$を次のように定める。$\displaystyle\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$がnによらないことを示せ。すべての$n=2,3,4,\cdots$に対し、$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ。\}$を次のように定める。すべての$n=1,2,3,\cdots$に対し、$p_n=q_{2n-1}$を示せ。【解答】(1)漸化式より、$p_{n+1}^2+1=p_np_{n+2}$である。\frac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}}\end{eqnarray}と変形できる。最後の式を$a_n$とおく。$a_{n+1}-a_n=0$を示せばよい。0\end{eqnarray}よって題意が示された。3p_{n+1}\end{eqnarray}これがすべての自然数$n$に対して成り立つので、2以上の整数$n$に対して、$p_{n+1}+p_{n-1}$は$3p_n$と書けることがわかる。(3)$p_n=q_{2n-1}$を数学的帰納法で示す。$q_1=1$なので、$p_1=q_1$は成り立つ。$q_3=q_2+q_1=2$なので、$p_2=q_2$は成り立つ。nがk(kは2以上の整数)のとき、$p_k=q_{2k-1}$と$p_{k-1}=q_{2k-3}$が成り立つとする。このとき、$p_{k+1}=q_{2k+1}$が成り立つことを示す。(2)から$p_{k+1}=3p_k-p_{k-1}$が成り立つ。0\end{eqnarray}となるので、$p_{k+1}=q_{2k+1}$が成り立つ。(3)の数学的帰納法では、$n=1$だけでなく、$n=2$のときも示しています。2つ示しているかというと、(ウ)の証明の中で、「前の結果」だけでなく「前の前の結果」も用いるからです。このため、$n=1,2$の場合を事前に示しておく必要があります。ちなみに、$q_n$はフィボナッチ数列ですね。