n≡0,±1(mod3)のいずれかを満たす。丁寧にやるなら次の補題を示すのでしょうね。真意を理解するのに、しばらくかかりました。私なりの理解ですけど・・・。わかったことを・・・。Rが一点xで、収束半径ρのもとに展開半径|h0|<ρでテーラー展開可能とします。それをf(j)(x)=ajと書くことにして、(1)とします。式(1)のn次までのテーラー近似は、(2)です。式(3)にコーシーの平均値定理を使います。なる0<|h1|<|h0|が存在する.(4)ここで0<|h1|<|h0|<1とします。すると、次数の少ない項ほど効いてくるので式(4)は、高次の項を無視して、(5)と整理できます。ここでOは、ランダウ記号(ちょっと使い方が違いますか?)。良いh1の近近似を与えることがわかります。式(4)にコーシーの平均値定理を使いつづけ、最終的に、(7)の形を得た場合、同じことをn回繰返すので、(8)となります。(それはそうですね)。hn+1とh0の関係を直接導けるはずです。実際にやってみると、(9)が得られます。hn+1=h0(1+ε)/(n+2)とおき、式(9)に代入してみます。εはいわゆる誤差です。結果として、(10)が得られます。式(10)の左辺全体をRn(ε)とおきます。j=0〜m)と定義します。Rn,mとρn,m-1の定義から、(12)となります。ρn,m≠0(13)を仮定しています。式(12)の項�@と�Aを別々に評価します。n→∞ρn-1(16)です。よって、じゅうぶん大きなnに対してρn,mは、いくらでもρに近づけます。大きなnに対して仮定(13)は成り立ち、|h0/ρn,m|<1(17)も成り立ちます。従って、(18)�A:(19)と変形できます。(から初項を落としたもの)の形をしています。<h0で、0<(1+ε)/(n+2)<1。大きなnについては式(17)が成り立つので、(21)となり、式(19)のΣでm→∞としたものは、じゅうぶん大きなnについてベキ級数として収束します。従って、(22)です。式(11),(12),(18),(22)より、じゅうぶん大きなnに対して、(23)が得られます。以上の結果より、次の定理(?)となります。テーラー展開可能とする。このとき、を満たすhn+1は、じゅうぶん大きなnについて、(24)を満たす。α=|h0/ρ|で、上式はα→0で、(25)の極限を持つ。収束半径ρ=∞のときは、じゅうぶん大きなnについて常に、(26)として良い。式(24)の収束性は悪い(式(24)より明らか)。式(9)より式(11)が得られる。式(23)より、じゅうぶん大きなnに対して、(27)が成り立つ。式(27)の右辺を0とするεを求める。(28)より、(29)式(29)のn→∞での極限値はロピタルの定理より、(30)となる。ε=ε(α)とおけば、ε(α)はじゅうぶん大きなnとα→0に対して次の極限値を持つ。ロピタルの定理から、(31)[証明終わり]ところでyokodonさんは次のように仰いました。数列{hn}を以下を満たすようにとります。このとき、となって、形式的にはテーラー展開の式が出てきますね。別途確認が必要でしょうけれど。上記の形式的議論もあながちウソとは言えなさそうです。�B無限級数の収束に関するダランベール条件から収束半径は、として得られます。yokodonさんが全ての手がかりを与えてくれました。魔法陣(2)魔法陣8です。縦でも横でも良いですよ。最近考えていた問題を何題か紹介したいと思います。