{S}}_{2})=A_{2}=\{e\}}である。A_{n}}は明らかなので、逆向きの包含関係を示す。{S}}_{n})}である。対称群が可解かどうかを調べるには、交代群が可解かどうかを調べればよい。ここからは、具体的なnについて調べてみよう。n=4}の場合を考える。{S}}_{4})=D_{2}(A_{4})=D_{1}(V)=\{e\}}証明は具体的に交換子を計算するだけである。対称群の計算練習としてちょうどよいので省略する。このVのことをクラインの四元群という。{S}}_{4}}は可解群。{S}}_{4}}の部分群なので、可解である。n=5}の場合はどうなのだろうか?結論から言えば、次のことが成り立つ。A_{5}}は明らかなので逆向きの包含関係を示す。l)]}であることが計算によってわかる。D_{1}(A_{5})=A_{5}}である。{S}}_{5}}は可解群ではない。5)}は可解群ではない。{S}}_{n}}の部分群である。{S}}_{5}}は可解となり、矛盾する。5}のとき非可解群となることがわかった。具体的な群について長々と考察してきたのを訝しく思う読者がいるかもしれないので、この事実の背景についても少し説明しておく。{b^{2}-4ac}}}{2a}}}となることはよく知っているだろう(日本では中学校、あるいは高校で学習するはずである)。日本の初等中等教育では学習しないが、実は三次方程式や四次方程式にも、このような(平方根、立方根などの冪根と四則演算だけを用いた)公式を作ることが可能である。実は五次以上の方程式の解は一般には冪根のみでは表すことはできない。このことと、四次以下の対称群は可解だが五次以上の対称群は非可解であるということは、密接なかかわりがあり、このことの研究が群論自体が生まれるきっかけともなっている(そもそも「可解群」という名の由来はこの事実である)。このあたりの詳しい事情については群論の範疇ではなくなるので、興味のある読者は体論およびガロア理論の項目を参照のこと。これらの項目にも今は記述が無いが、いずれ書かれるだろう。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。