D_{i}(G)}が次のように帰納的に定義される。D_{k}(G)=\{e\}}となるとき、Gは可解群であるという。R_{i}(G)}が定まる。R_{k}(G)=\{e\}}となるとき、Gは冪零群であるという。R_{i}(G)}であることがわかる。D_{k}(G)=\{e\}}なので、冪零群は可解群である。R_{i}(G)}なのも明らかである。冪零群の部分群は冪零群、可解群の部分群は可解群である。アーベル群の交換子は必ず単位元になるので、アーベル群は可解群でも冪零群でもある。対称群がいつ可解になるか、詳しく調べてみよう。