理系大学生の数学駆け込み寺お問い合わせLINE:理系大学生が勉強でつまるところや悩むところを大学の100倍わかりやすく解説するサイトです。大学生活を楽しむために必要なことを徹底的に解説しています。-ナベヤン今回のテーマは、ケーリーハミルトンの定理です。この定理はアーサー・ケーリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンという2人の人物の名前にちなんでいます。ケーリー・ハミルトンっていう人の定理かと思ってた!線形代数学において、この定理は最も有名な定理と言えるでしょう。ケーリーハミルトンの定理はなぜ有用!?ケーリーハミルトンの定理の証明ポイントケーリーハミルトンの定理は以下の通りである。変えたものは零行列になる。いうのは、これまであまり出てきていない記号ですが、「ラムダ」と読みます。2×2行列のときの一般形は以下の通りです。\end{pmatrix}\)とします。代入すると、2×2行列のケーリーハミルトンの定理は以下になることがわかります。\(A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O\)証明を簡単にしてみましょう。\end{pmatrix}\)よって、これらを代入すると\(A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O\)が成り立つ。計算すればいいだけか、この証明は簡単だ!ケーリーハミルトンの定理はなぜ有用!?さて、ケーリーハミルトンの定理と証明方法に関しては理解できたと思います。計算してっと・・・ちょっと待った!!!おいおい、今まで一体何を聞いてたんだ!え~・・・何か計算ミスしてるのかな・・・そうじゃなくて、ケーリーハミルトンの定理をせっかくだから使って計算してみたらどうだ、と言いたいのだが。\end{pmatrix}\)すごい!!行列同士の積にならずに簡単な計算になった!!!ケーリーハミルトンの定理の有用性はこのように、次数を下げることができるというところにあるんだ。回行列の積の計算をするのは実質不可能ですよね。ケーリーハミルトンの定理を使うことで解決します。=A(α_nA+β_nE)=α_nA^2+β_nA=α_n(-3A-2E)+β_nA\)\(=(-3α_n+β_n)A-2α_nE=α_{n+1}A+β_{n+1}E\)と表すことができます。\end{pmatrix}\)と表すことができる。n乗の計算ができることにおいて便利であるといえます。~かなり使い勝手のいい定理なんだなぁ・・・この定理は忘れずに、常に念頭におき、使える場面では積極的に使おうな!いかがでしたでしょうか。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。