よってHはGの部分群である。群Gの部分集合Sは、一般に部分群になるとは限らない。S\}}はGの部分群になる。これをSが生成する部分群という。=G}のときSをGの生成系といい、Sの元をGの生成元という。巡回群は明らかにアーベル群である。互換の全体は対称群の生成系である。H明らかにアーベル群の部分群は必ず正規部分群であるが、アーベル群でない群の部分群は、一般に正規部分群になるとは限らない。そのほかに、次のような例がある。上でみたように、n次対称群の任意の元はいくつかの互換の積として表せる。permutation)と呼ぶ。置換の全体は明らかに正規部分群となる。正規部分群による商群Gを群、Hをその部分群とする。Gに次のような同値関係を与える。H}これが同値関係であることの確認は容易なので読者に任せる。G/Hと書き、GのHによる左剰余類と呼ぶ。aを代表元とする左剰余類の元をaHと書くことにする。群を群で割った商集合を考えているのだから、その商集合にも群の構造が入れば便利である。実はこの商集合には、HがGの正規部分群ならば、次のような自然な演算によって群の構造を入れることができる。bH=abH}このようにして定義した群を、GをHで割った商群とか、剰余群という。(a^{-1})H}である。これが群であることを示さなくてはならないが、その前に正規部分群ならばこの演算がwell-definedであることを示さなくてはならない。a'b'}を示す必要がある。これでwell-defined性を確かめることができた。あとは群になることを確かめることになるが、これはほとんど自明なので読者自ら試みるとよい。準同型と準同型定理ここで紹介する準同型定理は、群の基本的な定理である。群論を学ぶからには、よく理解し、使いこなせるようになるべきである。準同型写像これまではひとつの群についてばかり考えてきたが、ここでは2つの群の間の写像について考えよう。G'}が準同型写像である(あるいは単に準同型である)とは、次の条件を満たすことである。G}準同型であって特に全単射なものを同型という。明らかに準同型となる例として、部分群からもとの群への包含写像は単射な準同型であり、特に群の恒等写像は同型である。準同型の合成は準同型であり、同型の逆写像は同型である。以上から、2つの群が同型であるという関係は同値関係であることがわかる。G|f(x)=e_{G'}\}}をfの核(kernel)という。imageはG'の、kernelはGの部分群であることはすぐわかる。kernelは正規部分群でもあることがわかる。準同型は必ず単位元を単位元にうつす。f=\{e_{G}\}}と同値である。この事実は準同型の単射性の判定を簡便にするためにしばしば役立つ。群GからG自身への同型写像をGの自己同型という。任意の群に対して自己同型は必ず存在する(恒等写像)。Gの自己同型全体をAutGと書くことにすると、この集合は写像の合成を演算として群となることがわかる(確かめよ)。これをGの自己同型群という。次に述べるのが、準同型定理といわれるものである。H}この定理は、何か得体の知れない群に接したときの対処法としてとても有用である。得体の知れない群が現れたときには、とりあえずよく知っている群からの全射を構成することさえできれば、よく知っている群の商群として理解できるということである。{f}}(aK)=f(a)}で定める。これがwell-definedであることを示す。f(b)=e_{H}}。{f}}}はwell-defined。f}が準同型・全射であることから明らか。{f}}=\{e_{G}H\}}を示せばよい。aH=e_{G}H}。{f}}=\{e_{G}H\}}である。//準同型定理の応用例として、同型定理と呼ばれる以下の命題たちを証明してみよう。G'/H'}に準同型定理を用いればよい。HN/N}に準同型定理を用いればよい。{x}}}に準同型定理を用いればよい。準同型定理は一般の群について成り立つ重要な定理であったが、特に群の位数が有限である場合に限ると、さらに興味深い結果が表れてくる。次は、そのような結果の代表的なものであるSylowの定理について述べる。剰余類別さきほど商群を定義するときに、群をその部分群で割った商集合を考え、商集合の各元を剰余類と呼んだ。ここで、当たり前であるが、剰余類をすべて直和するともとの群になる、ということに注意しよう。各剰余類の元をすべて集めると、もとの群の元をすべて(重複なく)集めることができているのである。この事実から、さらに考察を進めると、次の命題が成り立つことがわかる。ここで、「#」は、集合の濃度をあらわすものとする。Gが有限群のとき、その部分群の位数はGの位数の約数。部分群の位数はもとの群の位数の約数、という事実はLagrangeの定理と呼ばれる。Lagrangeの時代にはまだ人類は群という概念を知らなかったので、Lagrangeはこのような近代的な形の命題を考えたわけではない。Sylowの定理Sylowの定理について述べる前に、まずはいくつか言葉の定義をしておく。Gを群、HとH'をGの部分群とする。gHg^{-1}=H'}となるとき、HとH'は共役であるという。この言葉を使うと、部分群が正規部分群であるとは、自らと共役な群は自分自身しかない、ということである。位数がある素数pの冪である群を、p群という。p_{i}^{r_{i}}}の部分群のことを、pi-Sylow部分群(Sylow-pi部分群とも)という。以上の準備のもとで、Sylowの定理のステートメントを述べることができる。定理(Sylow)有限群Gは、任意の素数pに対してp-Sylow部分群を持つ。Gのp部分群はあるp-Sylow部分群に含まれる。p-Sylow部分群は互いに共役である。Sylow-p部分群の数をpで割った余りは1である。群の直積と半直積2つの群G,Hがあるとき、これをもとにして新たな群を作ることを考えよう。H}に次のようにして演算を与えることであろう。(g_{2},h_{2}):=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})}このように定めると確かにこの集合は群になる(確かめよ)。G}があるときには、これとは別の方法で群構造を入れることができる。具体的には、演算を次のように定める。(h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{2})}このようにして定めると、確かにこの集合は群になる(確かめよ)。(h)}は恒等写像、と定めると、この作用に関する半直積は直積と一致する。半直積は直積をより一般化した概念であり、これを考えることにより、直積だけを考えるよりもより多くの構造を考える余地ができる、といえる。H}を正2面体群という。これは正n角形の回転と裏返しによって自分自身に写す写し方全体からなる群になっている。G}をxとyの交換子(commutator)という。