代数構造(N,+)について、結合則が成り立つことは、直感的に明らかだろう。列に対して、結合則が成り立つことを示せばよい。代数構造(N,−)について、結合則は成り立たない。単位元とモノイドもう一つ、単位元というものを考えてみよう。代数構造(G,·)があるとする。このとき、単位元とは、次のような元をいう。element)という。結合則が成り立ち、単位元が存在する代数構造(G,·)を、モノイド(monoid)という。足し算の単位元は、0である。掛け算の単位元は、1である。単位元も、必ずしも存在するとは限らない。自然数の集合をN、足し算を+とする。自然数の集合ということは、1以上の整数であるから、0は含まないので、この場合、代数構造(N,+)には、単位元がないことになる。自然数の集合N、足し算を+とする。先ほどは、0がなかったので、次の性質を満たす、0という数を考える。{0},+)には、単位元があることになる。いわゆる、インドにおける0の発見とは、まさしくこのことである。それまでの、単位元のなかった足し算に、0という単位元を導入する作業が、0の発見であったといえる。群さて、ようやく群の話題にうつろう。Gが定義されているとする。逆元は常にあるとは限らない。逆元が存在する元と存在しない元がともに混在している代数構造も考えられる。自然数の集合をN、足し算を+とする。以外のすべての元について逆元は存在しない。群の定義さて、群とは、任意の元について逆元の定義されたモノイドだった。まとめると、次の1から3を満たす代数構造(G,·)を群と呼ぶ。