0の逆元が存在しないからである。\{0\}}は積を演算として群である。これらの群は明らかにアーベル群である。次のような群の例もある。X}をすべて集めた集合をSym(X)とする。Sym(X)は写像の合成を演算として群になる。単位元は恒等写像、逆元は逆写像である。これは一般にアーベル群にはならない。i_{m})}と表記する。このような元を巡回置換(permutation)と呼ぶ。対称群の元はいくつかの巡回置換の積として表される。m=2}の巡回置換を互換(transposition)と呼ぶ。巡回置換はいくつかの互換の積として表されるので、結局対称群の元はいくつかの互換の積として表される。Gであり、なおかつ、Hが群であるものを指す。Hただし、eは、Hの単位元である。簡単に証明できる事柄として、Gの単位元とHの単位元は一致する。