(gradient)ベクトル解析における「勾配(gradient)」は回転(rot)や発散(div)に比べてわかりやすいと思う。そのことを平面と身近な例から種明かししていこう。読み終わる頃には、なぜベクトルか、なぜ勾配と呼ばれるかがスッと理解できるはずである。4変数以上の場合も同様である。数学をする前に:坂道と勾配のイメージ微分やら何やらを扱う前に、まず身近な例として坂道を考え、勾配のイメージを身につける。ベクトルになるか坂道の前にいる人にとって、その坂道の勾配はもっとも急な方向を意味するはずだ。軸方向を任意にとった。方向に沿って考えないことは簡単にわかるだろう。軸方向にあるとは限らない。方向にどれだけ傾いているか」によって決定される。したがって、勾配はその方向を示すためにベクトル量となる。まとめると、勾配とは「どの方向にどれだけの大きさ傾いているか」を表すベクトルである。1変数と2変数(直線と平面)次に数学的な話をしよう。平面に入る前にもっと簡単な直線から微分の意味を考えていこう。直線の傾きと微分まず直線の傾きを考えよう。おける接線の傾きに対応するためである。このことを基本にして、平面の傾きである「勾配」を求めていく。例として説明するため、平面の式を与えておく。原点を通る平面の式になる。この平面をある面で縦にスパッと切れば直線になる。すると図の右のように直線になる。直線なので傾きは容易に求めることができる。関数を微分するという意味である。定数であるとして普通に微分すれば良い。偏微分したものとなる。それぞれの偏微分は、坂道の勾配の大きさを表すものではない。それぞれの偏微分は、それぞれの方向に向かって進んだ時の傾きを表す。登るということである。方向に登ったほうが急であることを表す。先に答えを書くと、この例の平面の勾配はとなる。偏微分したものを並べてベクトルを作れば良い。平面の勾配の大きさは上のベクトルの大きさに等しく、となる。登るということを意味する。上の式でなぜ偏微分が現れたのかを説明していこう。直線の場合は、傾きはであった。平面の場合も同様に表すことができるということを示す。勾配(gradient)のベクトルの大きさベクトルの方向について考えていく。ここからは数式が多くなる。