一変数関数のため係数は偏微分ではないのに注意します。全微分できるという連鎖構造となります。微分できることを示します。\frac{df}{dt}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt}これはいわゆる合成微分の連鎖律そのものです!ラグランジュの記法に書き直せば見覚えがあるかもしれません。関数の定義と結果を見比べれば、外から中に向かって微分が進行していると解釈できます。f=f(x(t),y(t))全微分を連鎖させます。\frac{df}{dt}=\frac{∂f}{∂x}\frac{dx}{dt}+\frac{∂f}{∂y}\frac{dy}{dt}このように、多変数関数の連鎖律は個別に変数を割り込ませて足し上げた形で現れます。混ぜて約分できないとも解釈できます。よる微分が多用されます。よる微分をドットで表記するニュートンの記法が使用されます。よる微分が成分分解のように見えます。物理でよく現れる例です。f=f(x(t),y(t),t)全微分を連鎖させます。増えていることが分かります。左辺に来るように移項して整理すれば、微分と偏微分は異なることがはっきりします。後ろの2項がゼロとなるような特別の関係がある場合に限り、微分と偏微分が一致します。ハミルトニアン物理で重要なエネルギーの関数です。H=H(p(t),q(t),t)全微分を連鎖させます。q+H_tところでハミルトニアンには正準方程式と呼ばれる特別な関係があります。詳細は省略しますが、作用が最小となる条件を表します。よる微分と偏微分が一致します。連鎖律は約分として捉えられます。\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dx}=1式変形すれば逆関数の微分法と呼ばれる関係が得られます。\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}この関係は偏微分でも成り立ちます。偏微分の連鎖は単純に約分できないため注意が必要です。f(x,y,z)=0この場合、偏微分の連鎖は単純に約分できません。これをオイラーの連鎖式と呼びます。\frac{∂x}{∂y}\frac{∂y}{∂z}\frac{∂z}{∂x}=-1直観的に理解しにくいですが、約分の際に符号が反転することに由来します。うち2つを決めれば残りの1つが決まります。