Explorer(IE)のバージョンをサポートしておりません。最適なウェブサイトパフォーマンスを実現するため、最新バージョンのブラウザへアップデートしていただくことをお勧めします。簡単な4つの検索方法1.検索したい用語を入力した後、そのままエンターキーを押すか、サーチアイコンをクリックしてください。入力された用語でそのまま検索されます。2.検索したい用語を入力すると、ドロップダウンで検索の提案が表示されます。提案された項目をクリックすると、関連のページが直接表示されます。3.検索の提案の右端にマウスを持っていくと「検索」のリンクが表示されます。これをクリックすると、提案された用語に基づく検索結果が表示されます。4.検索結果のページには、結果を絞り込むフィルタが表示されます。こちらもご活用ください。まで、スミス・チャートに関する話題をご説明してきました。つづけてスミス・チャート活用方法を説明してみたいと思いましたが、とある日のとある方との、とあるメールのやりとりで、横道の興味が湧いてきました。それは以前から気になっていた「アクティブ・フィルタ」についてです。この技術ノートではそんな話題に突入します(笑)。「なんと行き当たりばったりな...」ではありますが...(笑)。リニアテクノロジーとの統合により、私もLTspiceを使えるようになりました。始めてのお出ましとなったのでした(汗)。使っていたのでは?」と穿った見方をされる方もいらっしゃるかとは思いますが、使ってしまうと、もうブレーキが利かなくなるぞ!と思い、統合までは一切使っていませんでした(ホントです...)。上記の「穿った」とは、その意味をまちがって理解されているケースが多く...、本来は「物事の本質を的確に捉えた見方をする」という意味でありますし[1]、その意図でございます...。PassFilter(LPF)について考えてみますが、フィルタの考え方は「とても」奥が深いこと、一方でこのフィルタ理論/技術に関してはいろいろと興味をそそるものがあるので、書き始めた時点で、一体何冊の技術ノートになるか見当がつきません。いってもどこかで一旦切って「宴も酣/闌(たけなわ)でございますが」(「たけなわ」はこのように書くのですね...)、という感じで、別の話題に移る必要性は認識しておりますが...。本題に入る前にまたまたヨタ話が続いてしまいます...。版」というものを以前献本いただきました(図1)。とおりオーム社さんです。使うわけにはいかないし、とりあえず本棚へ...」という感じでずっとそのままにしてありました。年ほど前だったかもしれません。リニアテクノロジーと統合以降に、別のとある出版社の役員の方から電話がありました。電話の主は「渋谷さんが会いたいと言っている。会食したいのだが」と言います。版」の筆者の方だったのでした。お声がけいただいたこと、大変うれしく思い、即答で承諾させていただきました。様」といただきました。何も考えずに手ぶらで行ってしまった自らを恥じ、そのときはお礼とあわせてお詫びをいたしました(拙書は後送しました)。Engelhardt(マイク・エンゲルハート)との交友のお話しなど、大変楽しいひとときでありました。第2版」サレン・キー型フィルタとは図2のような構成のアクティブ・フィルタを「サレン・キー型フィルタ」と呼びます(なお図はLPFの形状です)。図2はLTspiceで描いた回路図です。この回路の見た目はご存知の方も多いでしょう。OPアンプ1段の回路で「2次フィルタ」というものになります。この「2次」の意味は、次の技術ノートTNJ-045に持ち越して、「2次系の回路」として説明していきます。Keyが1955年にMITリンカーン・ラボラトリで発明...、というか論文発表[2]しました。[3]によると、[4]の論文がそれにあたるようです。Engineers)はIEEEの前身なのです...[5]。サレン・キー型フィルタでQを変えてシミュレーションしてみるこのサレン・キー型フィルタは大変よく使われる回路です。OPアンプのボルテージ・フォロワの代わりに、トランジスタのエミッタ・フォロワにすることもできます。出力も反転せずに得られますし、回路が簡便であるという特徴もあります。いう私も多用してきました。この回路定数の決め方をみてみましょう。LPFとして設定したいカットオフ周波数をf0とすると、その角周波数ω0はとなります。ふたつの抵抗をとして、等しい条件にすれば、コンデンサC1,C2の値をと決めることができます。Factor)というものです。0.5として、VOUTをACシミュレーションした結果(このLPFの伝達関数になります)を示します。1/√2を超えると振幅にピークが生じることも分かります。ここではLTspiceの.stepコマンドという、パラメータを変化させて複数回のシミュレーションを行える、便利な機能を用いてみました。Q値をRLC型LPFから考えるQ値はLC共振回路の共振の鋭さこのQ値というのは、LC共振回路の共振の鋭さを表すものです。LC共振回路に抵抗が接続されることで、抵抗の大きさが(直列共振回路に抵抗が直列接続されていたなら)大きくなると共振の鋭さが低下するというものです。数式としては以下で表すことができます。ここでLはインダクタンス、Cは容量、Rは抵抗値です。RLC型2次LPFでQを変えてシミュレーションしてみる図4は、LC直列共振回路と抵抗で構成されたLPF(これも2次LPFといいます。ここでは抵抗が入っているので「RLC型」とします)のLTspiceのシミュレーション回路です。値による共振の鋭さを、Rを変えながらシミュレーションした結果を図5に示します。0.5として、VOUTを測定しています。Q値による特性変化のようすは図3と全く同じだということが分かります。回路動作としては「2次サレン・キー型LPFと、RLC型2次LPFとは等価」になるわけです。カットオフ周波数とはここまで「カットオフ周波数」というものを示しました。これを少し考えてみましょう。図4の回路のQ値ごとによる入出力位相特性となり、この周波数で振幅伝達特性が1/√2になります。図4の2次LPFは、図5のように周波数1Hzでは振幅伝達特性は1/√2になっていません...。値によって1Hzでの振幅伝達特性が変わっています。これではカットオフ周波数という定義を、振幅伝達特性として一意で決定できないことになります...。この2次LPFのカットオフ周波数を、もう少し見方をかえてみます。図6のように入出力の位相特性であれば、1Hzでどれも同じ「90°」という状態になっていることが分かります。N(Nはフィルタ次数)きざみにはなりません。バタワース特性のフィルタなら45°きざみです。理論検討では、別に「カットオフ周波数を1/√2(-3dB)にする」という決まりもないようで、どうやら「カットオフ周波数での減衰量はオレが決める」という感じのようで、注意が必要です。RLC2次LPFの特性とQ値の関係を式で表してみるここまでの説明で、サレン・キー型LPFとRLC型2次LPFは回路動作として「等価」になると説明しました。サレン・キー型LPFであっても、理論的/原理的な解析は、RLC型2次LPFをモデルとして考えればよいのです。LTspiceのシミュレーションだけですと、いまひとつ信憑性に欠けるので、式でフィルタ動作の振る舞いを見ていきましょう。答えだけ示せばよいのですが、「理解不能な伝達関数多項式と実回路の関係を把握したい」という目的のため、基本的な解析方法の考え方も含めて、ずらずらと式を並べてみます「丁寧に説明しているのだな」と思ってください(汗)。図4の回路に流れる電流はここでsはラプラス演算子で、s=j2πf=jωと考えてください。「j2πfと表すのが面倒なので、そのかわりにsとしている」、「sなんて使っているが、数学の普通の記号xと同じだ(ちょっとこれは乱暴ですが)」というくらいに、ざっくり考えていただいてかまいません。R1の抵抗値をR、L1のインダクタンス値をL、C1の容量値をCとしています。C1に生じる電圧VOUTはこの式を変形します。この回路の共振角周波数ω0はですから、式(9)の1/LC以外のところの分母はとなります。値の定義である式(5)から、上記の赤部がイコール1/Qとなり、としてQとω0をもつ変数sの関数になります。ところでこれは「1/LC以外のところの分母」でした。式全体としては〔ここでも式(10)を使って〕この式を入出力の比の特性である「伝達関数」にするとこのようにしてRLC型2次LPFの素子定数による伝達関数H(s)と、Q値そしてω0とを関連付けることができます。伝達関数の式を因数分解してみるここでこの式(14)の分母を因数分解してみます。因数分解するには、式(14)の分母をイコール・ゼロとしたときの解、つまり根を求め、根ごとに1次式(因数項)を構成して、それぞれを掛け算するという操作を行います。2次方程式といったほうが分かり易いですね)なので、根はふたつになります(sp+とsp−とします)。ここでは、この根をQ>0.5の条件で詳しく考え、以降に示す共役複素数(共役根)sp+とsp−だとして取扱います。一括してsp±とも表していきます。すると、として因数分解(式変形)できます。このsp+とsp−は「極」と呼ばれます。「なぜ極と呼ばれるのか?」ですが、以降に示すようにsを複素変数とすると、sが変化していき、この式、H(s)の分母がゼロになるときに、H(s)全体は無限大の大きさ(∞)になります。この「無限大になる」ところ、これが極です。英語ではpoleといいます。数学的には「特異点」といいます。「極大点」とでも考えればよいでしょう。複素関数論から来ている考え方です。このときs=sp±であり、このsp±が式(14)、式(15)の伝達関数H(s)の「極」となります。「極はH(s)が無限大になるときの変数sの大きさ」とでも考えておけばよいでしょう。「大きさ」といっても、sp±は多くの場合で(とくにこの技術ノートで考える、Q>0.5の条件では)複素数になります。実際に因数分解してみる(極をもとめてみる)それでは実際にsp±を求めてみましょう。中学校のときに習った解の公式を用いて、この解、つまり根sp±(sp±とsp±のふたつの根)が、「極」です。ここでsp±が実数になるのはルートの中が正ですから、Q≤0.5が条件となります。このQ値の領域では、得られるフィルタ特性はなだらかになります。そのためこの条件のときは、わざわざアクティブ・フィルタにすることもなく、また利用シーンも限定的です。Q>0.5だと、ルートの中がマイナスになりますので、ルートの項は「虚数」となります。するとsp±(sp+とsp−)は共役複素数となるふたつの根(極)になります。このときが多岐な特性のアクティブ・フィルタを実現できる条件になります。次の節、そして以降の技術ノートTNJ-046で、Q>0.5での複数の条件のときの根、つまり極が複素数となるケースを細かく見ていき、極を複素数平面で表すとどうなるかを考えます。分母の根つまり「極」が複素数のケースを考える式(14)の分母の多項式の根sp±(sp+とsp−)、つまり「極」を、もう少し詳しく考えてみます。Q>0.5だと式(16)のルートの中がマイナスになりますので、ルートの部分は「虚数」、また極自体は共役複素数となります(上記に説明したとおりです)。この条件のことを検討してみましょう。ふたつの極は共役複素数になる!式(16)での解の公式から得られたとおり、式(14)の分母多項式の根(つまり「極」)は±のふたつがあり、これらはQ>0.5だと共役複素数(共役根)になります。実数部と虚数部を考えるここでそれぞれの実数部と虚数部を考えます。実数部は以降の式(19)のとおり簡単です。ルートの項は虚数(Q>0.5の条件で)になりますが、「虚数部」(虚数としての大きさ)を得るためには、ルートの中の二項をひっくり返すことが必要です...。しないと虚数単位記号jと、虚数部の「大きさ」を得ることができません。式で示すと、となるわけです。sp+,sp−それぞれの実数部の大きさは虚数部の大きさは、式(18)のjの項からとなります。このsp±の位置を複素数平面上(実際はラプラス平面上)に表してみると、図7のように表記することができます。この図ではω0=1として、Q=1の条件(Re=1/2,Im=√3/2)でプロットしてみました。この位置になるのですね...。ω0=1としている別に難しい計算をしているわけではないここまでの計算は、別に難しい計算をしているわけではありません。中学のときに習った解の公式と複素数さえ理解していれば、式の展開(ストーリー)を理解することができると思います。ところで...ところで虚数部については、「ルートの中の二項をひっくり返す...」ということがポイントなのでした。私としては「ω0=1のとき根の大きさ|sp|=1になるはず(|sp|=ω0という関係)」ということは理解していましたが、いざ式(17)を考えてみると、どうしても答えが合わず...。「ひっくり返す」ことに気がつかず、「なぜ合わないのだろうか?」と気がつくまでに半日を要してしまいました(笑)。以前執筆した書籍を見てみると、ちゃんとやっていましたね...(汗)。この実数部の大きさと虚数部の大きさ、そしてQとの関係については、次回の技術ノートTNJ-045であらためて取り上げてみます。まとめということで、今回の技術ノートでは「サレン・キー型LPFはRLC型2次LPFと等価」というお話しをいたしました。それぞれ共振の鋭さQというものをパラメータとして特性が決まってくることが分かりました。伝達関数の分母多項式をイコール・ゼロとしたふたつの解、つまり根が「極」というものであり、この極がQ>0.5の条件のとき共役複素数になるとも説明しました。共役複素数を複素数平面上でどうなるかを簡単に見てきました。この根を得るという行為は「式を因数分解していくこと」なわけです。次回の技術ノートTNJ-045では、今回の理解を基礎として、いよいよ「理解不能な伝達関数多項式と実回路の関係を把握する」というお話をしてみたいと思います。「うがった見方」は、良くないのか。聡1963年千葉県生まれ。メーカ入社、長く電子回路設計業務に従事。1994年技術士(電気・電子部門)合格。