a{height:48px;width:48px}.screen-reader-text{border:0;clip:rect(1px,1px,1px,1px);-webkit-clip-path:inset(50%);clip-path:inset(50%);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute!important;width:1px;word-wrap:normal!important}.blogcard-snipet{display:none}じっくり丁寧に。苦手な理系科目もきっと...。数学の公式・定理集あります。物理のヒント集もあります。数学II式と証明|絶対値を含む不等式の証明についてスポンサーリンク式と証明|絶対値を含む不等式の証明について数学IITwitterFacebookはてブPocketLINEコピー2019/04/28スポンサーリンク今回は絶対値を含む不等式の証明について学習しましょう。今回も不等式の証明の応用になります。不等式の証明では、差をつくることが基本です。前回の根号や今回の絶対値などを含む式の場合、基本通りでは上手くいきません。工夫して証明する必要があります。不等式を証明する問題において、式が根号や絶対値を含むとき、単に差をつくっても大小を比較することができません。\right|\end{align*}根号や絶対値があると、差をつくることはできても、それ以上、計算することができないことが原因です。式に根号や絶対値が含まれる場合、式の大小比較では以下の性質を利用します。0\end{align*}比較する2数が、ともに0以上であることが条件で、この条件は問題文に必ず明記されています。この条件がないと、利用できない性質なので注意しましょう。左辺や右辺が0以上である(または正である)という条件が明記されていなければ、必ず自分で断りを入れましょう。平方の差をつくることは、根号を含む不等式の証明でもすでに扱っています。絶対値を含む式では、これに加えて絶対値の性質についての知識も持ち合わせていなければなりません。\right|}\end{align*}これらの性質が成り立つことにピンとこない場合、整数などの具体的な数に置き換えてみるとよく分かるでしょう。不等式の証明では、数ではなく、文字式なので気付きにくいかもしれません。演習をこなしておいた方が良いでしょう。例題を解いてみよう例題から不等式の証明でのポイントを確認してみましょう。例題\begin{align*}&\text{次の不等式を証明せよ。例題(1)\begin{align*}&\text{次の不等式を証明せよ。\right|\end{align*}例題(1)は、絶対値を含む不等式の証明です。絶対値がついたまま差をつくっても、それ以上、計算を進めることができません。平方の差をつくります。与式から左辺と右辺が等しくなるか、右辺の方が左辺よりも大きくなることが分かります。(右辺)2-(左辺)2≧0を導くことができれば、不等式を証明することができます。平方の差をつくります。\right|}^{\scriptsize{2}}\end{align*}誰が見ても差が0以上であると言える形を導かなければなりません。\bigr)\end{align*}平方の差を整理するとき、絶対値の性質6,7を利用しています(2,3行目)。\right|\end{align*}平方の差を整理すると、平方完成できませんでしたが、大小比較が可能な形にはなりました。絶対値の性質4を利用して、平方の差が0以上であることを示します。ab\end{align*}これで、平方の差が0以上であること、すなわち左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。これを利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。\right|\end{align*}平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、断り(もとの左辺と右辺が0以上であること)を必ず記述しておきましょう。平方の差をつくって証明するのが基本的な解法ですが、絶対値の性質を利用して証明することもできます。]&\text{が成り立つ。\right|\end{align*}特に、さいごの断り(6行目)以降では、以下の性質を利用しています。慣れないと難しいですが、とても簡潔な答案になります。等号成立については指示されていないので、答案に記述する必要はありません。ここでは練習のために、求めておきます。]&\text{のときである。}\end{align*}等号成立の条件は、絶対値の性質1から得られます。例題(2)\begin{align*}&\text{次の不等式を証明せよ。\right|\end{align*}例題(2)も、絶対値を含む不等式なので、基本的な方針は例題(1)と変わりません。左辺に注意が必要です。平方の差を利用するには、左辺と右辺がそれぞれ0以上であることが条件です。値によっては負の値になる場合があります。}\end{align*}このような場合、そのままでは平方の差を利用することができません。定理や公式は、条件が揃って成り立つものだと思っておこう。公式や定理を覚える際には、どのような条件で成り立つのかをセットで覚えよう。左辺が負の値をとる場合があることが分かったので、場合分けして不等式を証明します。]&\text{となるので、不等式は成り立つ。}\end{align*}次は、左辺が0以上のときです。こちらは例題(1)と同じ要領で解きます。平方の差をつくり、(右辺)2-(左辺)2>0を導きます。\bigr)^{\scriptsize{2}}\end{align*}誰が見ても差が0より大きいと言える形を導かなければなりません。\bigr)\end{align*}平方の差を整理すると、平方完成できませんでしたが、大小比較が可能な形にはなりました。絶対値の性質を利用して、平方の差が0以上であることを示します。\right|}^{\scriptsize{2}}\end{align*}これで、平方の差が0以上であること、すなわち左辺の平方と右辺の平方との大小関係を示すことができました。これを利用して、平方する前の左辺と右辺の大小関係を示します。\right|\end{align*}平方する前の左辺と右辺の大小関係を示すとき、断りを必ず記述しておきましょう。例題(2)の不等式を変形すると、例題(1)と似た形の不等式のようになります。このことに注目すると、例題(1)の結果を利用して証明することができます。]&\text{が成り立つ。\right|\end{align*}この別解は、すでに証明された不等式の結果を利用しています。こんな置き換えが可能なのか疑問に思うかもしれません。この置き換えが可能なのは、絶対値の中にあるからです。絶対値の中の式の値が正であろうと負であろうと、絶対値が付いている以上、正の値として扱わなければなりません。絶対値の中にある限り、置き換えても問題ありません。等号成立については指示されていないので、答案に記述する必要はありません。ここでは練習のために、求めておきます。]&\text{のときである。}\end{align*}次は、絶対値を含む不等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。最新情報をお届けします。数学1|図形を扱った入試問題を解いてみよう2020/02/18運用力を鍛える英文法基礎【第8回】2020/02/162020/02/18図形と方程式|三角形の面積について2020/02/15運用力を鍛える英文法基礎【第7回】2020/02/132020/02/18図形と方程式|直線に関して対称な点について2020/02/12スポンサーリンク気になる教材があればコチラで探せます。その1(立式の基本)2017/06/052019/03/07積分法|定積分と区分求積法の関係について2016/07/012019/02/27中学数学|正負の数の四則混合算を解いてみよう2016/06/282018/06/15中学数学|正負の数の加減算を解いてみよう2016/06/272018/06/122次関数|2次関数のグラフの平行移動について2017/06/072018/08/08スポンサーリンクツイートkiriこのサイトでは、できるだけ図や表を使い、丁寧な過程を記述することを心掛けながら解説しています。このサイトの記事が、苦手意識や壁を取り除くきっかけになれば幸いです。中学生の先取り学習や高校生の受験対策、社会人の学び直しなどに役立てて下さいませ。数学1|図形を扱った入試問題を解いてみよう2020/02/18運用力を鍛える英文法基礎【第8回】2020/02/162020/02/18図形と方程式|三角形の面積について2020/02/15運用力を鍛える英文法基礎【第7回】2020/02/132020/02/18図形と方程式|直線に関して対称な点について2020/02/12スポンサーリンク気になる教材があればコチラで探せます。その1(立式の基本)2017/06/052019/03/07積分法|定積分と区分求積法の関係について2016/07/012019/02/27中学数学|正負の数の四則混合算を解いてみよう2016/06/282018/06/15中学数学|正負の数の加減算を解いてみよう2016/06/272018/06/122次関数|2次関数のグラフの平行移動について2017/06/072018/08/08スポンサーリンクタイトルとURLをコピーしました。