近いのですがこの3人のなかでは中間の人です。お金もちの順で並べるとAは3位、Bは2位、Cは1位となります。この中に数値の単位は円と順位という二つの要素が存在します。加法性のあるのは円で無いのは順位です。足し算や引き算ができるのは円の方で順位はこうした演算は無意味です。この順位はテレビのチャンネルとは違って数字に何らかの量的な意味があります。すくなくとも1位より2位は貧乏で2位より3位は貧乏です。3位は1位よりも貧乏であることが疑う余地もありません。足し算はできないけどその順番には厳然とした規則が存在しているわけです。加法性はないけれど何らかの規則性は存在する数が世の中にはあるということですね。した規則性で順番だけは保証されているようなものを数学では単調といってその性質のことを単調性といいます。加法性はないけど単調性はあるといった数の例をあげてみてください。空手の段位とかミスユニバースの順位とかモースの硬度計とかはそうですね。空手の段位は数が多いほうが少ない方より強いということですかそうです。実際の強さというより客観的な権威の順位のようなものですが。話が少し混乱してきました。順位という尺度自体が厳密な定義によって規定されていないことが混乱の原因です。ミスユニバースの3位は5位より絶対美人であるかどうかは微妙なところですが、その大会のなかでは順位は絶対的な数字の少ない方が美人ということになっているわけです。空手の段位でも、二段の人と三段の人を足したら五段の強さになるわけではありません。あるなら加法性が成り立つということになります。加法性が成り立たない数字というものは思ったより世の中に多そうですね。実際加法性がないのにあたかもあるように装って人をだますような数値が世の中には氾濫しています。たちの悪いのは元々加法性がある数値を巧妙に手を入れて単調整しか保証できない数値に変換しそれをあたかも加法性があるように見せかけたものです。経済指標のようなもの、特にグラフであらわされたものにそれが目立ちます。加法性があるかないかを簡単に見分ける方法はありますか。足し算引き算をしてみて意味が見出せるかどうかです。引き算というのは思ったより意味が深いのです。引き算の意味というと?足し算は皆直感的に理解できます。引き算は結構高等な思考を要求されるのです。われわれは簡単に行っていますが。引き算なんて少なくとも単純な数であればとても簡単な計算のように思うのですが。コンピュータは基本的に引き算はできません。え、コンピュータってどんな計算でも超高速で行うんじゃないですか?いや、超高速に行うことができるのは基本的に足し算だけです。コンピュータは補数というテクニックを使って引き算を足し算に変換して計算を行っているのです。人間でもこのテクニックを使って演算できます。簡単ですが手間がかかります。コンピュータは手間は厭わない訳です。スピードだけはやたら速い。凄い、やはり人間は凄いのですね。いや人間以外にも引き算ができる動物がいます。カラスはテントに3人の人間がいて2人出てきてもテントの中の食料を盗もうとはしないということです。一人残っていることが分かるからです。引き算ができているのです。その引き算の本質的の意味とはなんですか足し算との差は?まず引き算はA-BとB-Aでは答えが違います。足し算ではAB入れ替えても答えは変わらないですよね。引き算は順序に意味があります。引き算の第一義は比べるということです。子供のころ身長を柱に傷をつけて計りました。その差でどれだけ伸びたかが分かります。大人になってくるとやがて差がでなくなり伸びが止まったことが分かります。友達と背比べをします。どっちが大きいか分かります。テストの点を比べるときも引き算をします。物事を相対的に見る眼ができたとき行う脳内の処理が引き算です。客観的に物を見る最初の処理が引き算なのです。足し算は主観的、引き算は客観的という捉え方で良いのですか?そうです。生まれたばかりの赤ん坊やちっちゃな子供は、お腹が減れば泣きます。お腹いっぱいになれば満足します。成長すると自分がお腹が減っていても弟の方がもっとお腹が減っていれば分けてあげようという気持ちが生じます。2人の欲望を天秤にかける、つまり引き算をする能力ができたからです。思いやりというのは引き算ができるということの証明になるのですか。いやいやまだそこまでは行きません。思いやりの段階は物事を相対的に見る眼ができた。引き算というもののアウトラインが分かったという段階です。アウトラインが分かったということと理解したということは違うのですか。アウトラインが分かるということを科学の世界では定性的な理解と言います。具体的な足し算や引き算が可能な程の理解を定量的な理解と言います。思いやりの心は定性的な理解でもできますが、とちらにどれほどの食料を配分するのが適当かという議論になると定量的な理解が必要になるわけです。数学を理解するというのは物事を定量的に扱えるということなのですね。言いたいのですが実はそうとも言い切れないのです。ここが数学を楽しく理解できるか、受験勉強のための理解になかの分かれ道なのです。定量的な理解ができれば定性的な理解は当然できているはずですよね?いやじつはここに落とし穴があるのです。定量的な理解とは、具体的には公式を覚えたり計算ができるということです。受験のための数学や物理はこの定量的な理解とその演算能力が試されます。短時間の間に相当量をこなさなければなりません。そのためには、まず定型的な問題をすばやく解くという能力が必要です。その能力を伸ばすには数多くの演習が必要になってきます。選抜試験で公平に順位をつけようとすると、発想や真の理解といったものより、演算のスピードで評価するほうが評価のばらつきが少なくなり選抜しやすいからです。そのため、受験のためには問題をすばやく解く能力が合否の決め手となりますので、学校でも予備校でもそのための演習ばかりになってしまい、結果数学を面白くないものにしてしまっているのです。面白く無くとも定量的な理解ができれば定性的な理解も包含していますよね。包含とはまた数学的な表現ですね。いや実はそうでもないのです。掛け算は何のためにあるのか、と聞かれたらそれは足し算では面倒な計算が一発でできて便利だからと答えられますよね。それは掛け算を定性的にも定量的にも理解しているからです。対数ってlogですよね。これってなんのためにあるんでしょう。簡単な対数の計算はできても何のためと言われると即答できない人は多いと思います。これは一言で言えば掛け算を足し算で行うためです。一般に桁数が多い掛け算は面倒ですよね。足し算ならばはるかに楽です。対数は掛け算や割り算を足し算や引き算に変換して簡単に計算を行うために考え出されたのです。ついでに言うと三角関数の存在意義は、渡れない川の向こうまでの距離を角度で知る事ができることにあります。そこに行かなくても、つまりメジャーで計らなくても距離が計算できるテクニックなのです。このおかげで我々は月や星までの距離を居ながらにして知ることができています。微分・積分はもっと楽しく理解できますので後の楽しみに残しておきます。学校では定性的な説明をもっときちんとしないのでしょうか。いや実は殆どの先生はちゃんと説明しています。数学や物理の教科書があればをもう一度ぱらぱらとページをめくってください。それぞれの章のあたまには結構詳しくこういう定性的な説明があります。ここの説明は受験にはあまり関係ないのです(実は多いにあるのですが)そのため、どうしてもこうした「そもそも論」はさらっと流されてしまいがちなのです。学校によってはいきなり演習問題から入るところもあります。多くの高校生は数学とは問題を解く学問だと誤解しています。え、数学は問題を解く学問ではないのですか。純粋に論理だけで構築された仮想空間に遊ぶ学問なのです。解くというより問題を解釈する、創造するといったほうが近いでしょう。音楽を演奏したり作曲することに似ています。話が発散してきましたのでまた引き算に戻ります。引き算の次は割り算です。割り算も難しいのですかそうですね、割り算は引き算の発展型としてとらえるとわかりやすいです。引き算の本質は比較でした。比較の対象が似たもの同士なら引き算だけで十分用が足ります。対象がかけ離れていた場合はどうでしょうか。人間にとって身長が10Cm伸びることは大変なことですが、これがキリンにとってはどうでしょうか。キリンにとっての10Cmなんて誤差の範囲でしょう。いう比較は割り算でなければ成り立ちません。何パーセント伸びたかという比較をすれば公平な議論になります。割り算は比較主体自体も相対化してより普遍的、客観的な比較を可能にする手段なのです。割り算の意味が理解できたようです。変化の値そのものを知るのが引き算でその割合を知るための手段が割り算ということですね。