平面やより高次の空間におけるベクトルには、直観的に、近さや角度や距離という概念が存在する。一般的なベクトル空間においてはそれらの概念は不要であり、実際、そういうものが存在しないベクトル空間もある。(#付加構造を備えたベクトル空間)。これをベクトル空間の公理に独立した条件として加えている文献もある[2]。抽象代数学の言葉で言えば、先の公理系の最初の四つは「ベクトルの全体が加法に関してアーベル群を成す」という条件にまとめられる。上の加群となる」という条件にまとめられる。存在すること」と言い換えることもできる。ベクトル空間の公理系から直接的に分かることがいくつかある。それらのうちのいくつかは初等群論をベクトル全体の成す加法群に適用することで得られる。一意に存在することなどはそれである。歴史編集ベクトル空間は、平面や空間に座標系を導入することを通じて、アフィン空間から生じる。1636年ごろ、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、二変数の方程式の解と平面曲線上の点とを等化して、解析幾何学を発見した[4]。座標を用いない幾何学的な解に到達するために、ベルナルド・ボルツァーノは1804年に、点同士および点と直線の間の演算を導入した。これはベクトルの前身となる概念である[5]。概念を用いて構築されたものであった[6]。概念で、これは一方の端点を始点、他方の端点を終点とする有向線分である。ベクトルは、ジャン=ロベール・アルガン(英語版)とウィリアム・ローワン・ハミルトンにより複素数の表現として見直され、後の四元数や双四元数の概念へと繋がっていく[7]。元であり、これらに対する線型結合を用いた取扱いは、1867年のエドモン・ラゲール(英語版)(彼は線型方程式系も定義した)まで遡れる。1857年にアーサー・ケイリーは、線型写像とよく馴染み記述を簡素化できる、行列記法を導入した。研究していて、算法を伴う抽象的対象の成す集合を構想していた[8]。グラスマンの研究には、線型独立性や次元あるいはスカラー積などの概念が含まれている。実際、グラスマンは1844年に、考案した乗法を以ってベクトル空間の枠組みを推し進め、今日では「多元環」と呼ばれる概念に到達している。ジュゼッペ・ペアノはベクトル空間と線型写像の現代的な定義を与えた最初の人で、それは1888年のことである[9]。ベクトル空間の重要な発展がアンリ・ルベーグによる函数空間の構成によって起こり、後の1920年ごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式化された[10]。ヒルベルト空間などの重要な概念が生み出されることとなる[11]。して無限次元の場合をも含むベクトル空間の概念は堅く確立されたものとなり、多くの数学分野において用いられ始めた。自身(に、その標準的な加法と乗法を考えたもの)である。元であるようなものである[12]。場合が上記の導入節で論じたものとなる。よって、実数体上のベクトル空間になる(ベクトル空間の公理は複素数の算術が同じ規則を満足するという事実から従う)。実は、この複素数体の例は本質的には(つまり、同型の意味で)導入節に挙げた実数の順序対の成すベクトル空間の例と同じものである。表すものと考えると、複素数体における和とスカラー倍の規則が、先の例のそれらに対応することが理解される。一般に、代数学および代数的数論における体の拡大は、ベクトル空間の例の一類を与える。F-ベクトル空間になる[13]。上のベクトル空間である。函数全体もまた、よくある点ごとの和とスカラー倍によって、ベクトル空間を成す。g(w)で定義される函数であり、スカラー乗法も同様である。そのような函数空間は多くの幾何学的状況で生じる。他の部分集合などのときである。位相空間論や解析学における多くの概念、例えば連続性、可積分性や可微分性などは、線型性に関してよく振る舞う。そのような性質を満たす函数の和やスカラー倍もまた同じ性質を持つ[14]。従って、そのような函数全体の成す集合もまたそれぞれベクトル空間を成す。これら函数空間は、函数解析学の方法を用いてかなり詳しく調べられている(後述)。代数学的な制約からもベクトル空間を得ることができる。元)の全体によって与えられる[15]。ベクトル空間と近しい関係にある[16]。三つ組として与えられる。これらの三つ組の成分ごとの和とスカラー倍はやはり同じ比を持つ三つの変数の組であるから、これも解となり、解の全体はベクトル空間を成す。A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}にすることができる。零ベクトルをそれぞれ意味する。同様の文脈で、斉次の線型微分方程式の解の全体もまたベクトル空間を成す。