位相が定められていなければならない。用いられるのが実数体や複素数体である。}f_{i}}とは、対応する有限部分和の極限を表すものである。ある(実または複素)函数空間に属する函数であるとすると、この場合の級数は函数項級数と呼ばれる。函数項級数の収束の様態(英語版)は、函数空間に課された位相に依存する。そのような様態の中でも各点収束と一様収束の二つは特に際立った例である。平面ベクトルからなる。等しいような点を描いたものである。ある種の無限級数の極限の存在を保証する方法の一つは、考える空間を任意のコーシー列が収束するようなものに限って考えることである。そのようなベクトル空間は完備であるという。大まかに言えば、ベクトル空間が完備というのは必要な極限をすべて含むということである。上の多項式函数全体の成すベクトル空間に一様収束位相を入れたものは完備でない。上の任意の連続函数が、多項式函数列で一様に近似することができるというヴァイアシュトラスの近似定理による[52]。上の連続函数全体の成す空間に同じ位相を入れたものは完備になる[53]。|=0}で定めることによって、空間に位相が入る。バナッハ空間およびヒルベルト空間は、それぞれノルムおよび内積から定まる位相に関して完備な位相空間である。ノルムはどれも同じ収束性の概念を定めるから、無限次元ベクトル空間に焦点があてられる[54]。ノルムとの同値性を示すものである。ノルムに関して収束することとが同値になる。無限次元空間の場合には、一般には互いに同値でないような位相が存在しおり、そのことが位相線型空間の研究を、付加構造を持たない純代数的なベクトル空間の理論よりも豊かなものとしているのである。概念的な観点では、位相線型空間に関する全ての概念は位相とうまく合うものでなければならない。連続であるものと仮定される[55]。基礎を成すハーン・バナッハの定理は、適当な位相線型空間を連続汎函数によって部分空間に分けることに関係するものである[56]。詳細は「バナッハ空間」を参照バナフの導入したバナッハ空間とは、完備ノルム空間のことである[57]。p-ノルムが有限となるようなもの全体の成すベクトル空間である。