含まれる情報を「忘却」したものとなる。部分空間である[41]。F)上のベクトル空間の圏がアーベル圏(つまり、数学的対象とそれらの間の構造を保つ写像の集まり、即ち圏、であってアーベル群の圏と非常によく似た振る舞いをするもの)を成すことの要件の一部である[42]。im(f)や第二、第三の同型定理が群論における相当の定理と同様な仕方できちんと定式化と証明をすることができる。属する斉次線型方程式系の解空間に他ならない。函数)に対しても拡張できる。ような項が現れないという意味で)線型に現れている。成り立つ)から、上記作用素の値も線型である(線型微分作用素と言う)。上の)ベクトル空間となる。全体の成す集合[43]に、加法とスカラー乗法を成分ごとの演算によって定める。Vi)は先の順序組において有限個の例外を除く全ての成分が零ベクトルであるようなものだけを許して得られるものである。有限ならばこの二つの構成は一致するが、そうでないならば違うものを与える。線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。何れについても線型であることを言う。固定した時も同様であることを意味する。テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。w2なる規則で縛られている[44]。双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという(進んだ抽象代数学ではよく用いられる)手法の一例である。観点からは、任意のベクトル空間が(同型を除いて)その次元によって特徴づけられるという意味で、ベクトル空間については完全に分かっている。ベクトル空間というものは「本質的に」、函数列が別の函数に収束するか否かという(解析学では重要な)問題について取り扱う枠組みを提供していないし、同様に加法演算が有限項の和のみを許す線型代数学では無限級数を扱うのには適当でない。従って、函数解析学ではベクトル空間に更なる構造を考える必要が求められる。ほとんど同様に、付加的な情報を持つベクトル空間が有効に働く部分を抽象的に見つけだすことで、公理的取扱いからベクトル空間の持つ代数学的に本質的な特徴を浮き彫りにすることができる[要出典]。これによりベクトルの比較が行えるようになる[46]。ベクトルを成分ごとに比較することで順序づけることができる。負部分)表すことができることに依拠しているから、順序線型空間(例えばリース空間)はルベーグ積分において基本的である[47]。詳細は「ノルム線型空間」および「内積空間」を参照ベクトルの「測度」は、ベクトルの長さを測るノルムや、ベクトルの間の角を測る内積を決めることによって与えられる。