通じて、任意のベクトル空間はその二重双対へ埋め込むことができる。この写像が同型となるのは空間が有限次元のときであり、かつその時に限る[29]。基底ベクトルの行き先を決めることで完全に決定される[30]。対応する基底元へ写すような線型写像が生じるが、これは定義により同型写像となる[31]。従って、二つのベクトル空間が同型となるのは、それらの次元が一致するときであり、逆もまた成り立つ。これは、別な言い方をすれば、任意のベクトル空間はその次元により(同型を除いて)「完全に分類されている」ということである。「標準的」あるいはあらかじめ用意された同型というものは存在しない。選ぶことと等価である。線型写像の情報を記述するのに有効な概念である[32]。行列は、図のように、スカラーの矩形配列として書かれる。Axと書くこともできる。同様の方法で行列によって一意的に表される[33]。行列の行列式の絶対値に一致する。でないことが必要かつ十分である)[34]。線型変換が向きを保つには、その行列式が正となることが必要十分である。比較することができるから、特に重要である。