有限次元ならば、これは行列式を使って言い換えることができる。0となることと同値である。固有多項式と呼ぶ[36]。代数閉体ならばこの条件は自動的に満たされる)ならば任意の線型写像は少なくとも一つの固有ベクトルを持つ。f)に対応する固有空間と呼ばれるベクトル空間を成す。無限次元の場合の対応する主張であるスペクトル定理に達するには、函数解析学の道具立てが必要である。加えて、与えられたベクトル空間から別のベクトル空間を得る標準的な線型代数学的構成がいくつか存在する。他の任意の線型空間への線型写像によって特定することができるという性質によっても特徴づけられる。