上無限次元のベクトル空間になる。一般のベクトル空間は、ベクトルの間の乗法を持たない。二つのベクトルの乗法を定める双線型写像を付加的に備えたベクトル空間は、体上の多元環と言う[68]。主な多元環は、何らかの幾何学的な対象の上の函数の空間から生じる。体に値をとる函数は、点ごとの乗法を持ち、それら函数の全体が多元環を成すのである。ストーン=ヴァイアシュトラスの定理(上述)は、バナッハ空間にも多元環にもなっているバナッハ環において成立する。可換多元環は一変数または多変数の多項式環を使ってたくさん作れる。可換多元環の乗法は可換かつ結合的である。これらの環およびその剰余環は、それが代数幾何的対象上の函数の環となることから、代数幾何学の基礎を成している[69]。別の重要な例はリー環である。0[70]によって制限されている。交叉積を入れたものなどが含まれる。任意のベクトル空間に積を導入して多元環を得るための形式的な方法である[71]。任意に動かすものとする)。結合することで与え、一般には加法に対する分配律を以って基底元に対する積を延長する。可換であるものとする。間には何の関係も成立しない。それぞれ得られる[72]。F-代数という言葉がよく用いられる。応用編集ベクトル空間の多様体に対する応用は様々な状況で生じてくる。多様体上で定義され、ある体に値をとる函数を考えれば、そこにはベクトル空間が生じるのである。そのようなベクトル空間を考えれば、解析学や幾何学における問題を取り扱う枠組みが提供される。いったベクトル空間はフーリエ変換などにおいても利用される。ここで挙げた例は網羅的なものではなく、例えば最適化など、ほかにももっと多くの応用が存在する。ゲーム理論のミニマックス定理は全てのプレイヤーが最適な試行を行うことができるならば一意的なペイが得られることを述べるもので、これはベクトル空間法を用いて証明できる[73]。表現論は、よく分かっている線型代数学およびベクトル空間に関する内容を、群論など他の領域に実り豊かに引き写すものである[74]。)に数を連続的な仕方で割り当てる線型写像をいう。シュヴァルツ超函数の空間は、試験函数の空間の(連続的)双対である[75]。それ自体のみならずその高階導函数までを考慮するような位相が入っている。}f(x)\,dx}である。シュヴァルツ超函数は微分方程式を解くための強力な道具である。微分は線型であるといったような、解析学の標準的な概念は、自然にシュヴァルツ超函数の空間へ延長することができるから、従って問題の方程式をシュヴァルツ超函数の空間へ引き写すことができて、しかもシュヴァルツ超函数の空間はもとの函数空間よりも大きいから、方程式を解くためにより柔軟な方法が利用できる(例えば、グリーン函数法)。基本解は真の函数でなくシュヴァルツ超函数解(弱解)となるのがふつうであり、弱解から所期の境界条件を満たす方程式の真の解を求めるには、見つかった弱解が実際に真の函数となることを確かめればよく、証明できた場合にはそれがもとの方程式の真の解である(例えばリースの表現定理の帰結であるラックス・ミルグラムの定理が利用できる)[76]。熱方程式は、冷たい環境におかれた熱源の温度の低下のような、時間とともに散逸する物理的性質を記述したものである。正規直交基底を与える[78]。}[a_{m}\cos(mx)+b_{m}\sin(mx)]}である。}f(t)\sin(mt)dt}で求められる[79]。物理学の言葉で言えば、函数は正弦波の重ね合せとして表され、その係数は函数の周波数スペクトルについての情報を与えるということになる[80]。複素型のフーリエ級数も広く用いられる[79]。上記の具体的な公式は、より一般のポントリャーギン双対と呼ばれる双対性からの帰結である[81]。この双対性を適用すれば古典的なフーリエ変換が得られる。物理学では逆格子に応用される。付加的なデータとして原子や結晶の位置を符号化した束を与えたものを基礎の群として双対性を適用したものである[82]。フーリエ級数は偏微分方程式の境界値問題を解くのにも利用される[83]。1822年にフーリエが初めてこの方法を熱方程式を解くために用いた[84]。フーリエ級数の離散版は標本化において、函数値が等間隔に並んだ有限個の点でしかわかっていないところで用いられる。この場合、フーリエ級数は有限項で、その値は全ての点で標本値に等しい[85]。(レーダーや音声符号化や画像圧縮などに応用を持つ)デジタル信号処理の重要な道具の一つである[86]。画像フォーマットJPEGは、近しい関係にある離散余弦変換の応用である[87]。高速フーリエ変換は離散フーリエ変換を高速に計算するアルゴリズムである[88]。これはフーリエ係数の計算だけでなく、畳み込み定理を用いて、二つの有限列の畳み込みを計算するのにも利用できる[89]。二次元球面のある点における接空間とは、この点で球面に接する無限平面である。曲面のある点における接平面は、自然に接点を原点と同一視したベクトル空間になる。三次元ユークリッド空間の場合でさえ、接平面の基底を指定する自然な方法は点綴的には存在せず、またそれゆえに接平面は、実数ベクトル空間というよりはむしろ抽象ベクトル空間として考えられる。接空間はより高次元の可微分多様体への一般化である[93]。リーマン多様体はその接空間が適当な内積を備えた多様体である[94]。そこから得られるリーマン曲率テンソルは、それ一つでその多様体の全ての曲率を表すことができるもので、一般相対論では例えば時空の質量とエネルギー定数を記述するアインシュタイン曲率テンソルなどに応用がある[95][96]。リー群の接空間は自然にリー環の構造を持ち、コンパクトリー群の分類に用いることができる[97]。詳細は「ベクトル束」および「接束」を参照メビウスの帯。よって連続的に径数付けられたベクトル空間の族である[93]。ベクトル空間を成すようなものを言う。「自明な」ベクトル束にする。直積でなければならない。形に依存して)「捻じれ」ているのである。(と大域的に同型)である必要はない。後者は向き付け可能だが、前者はそうではない[98]。ある種のベクトル束の性質は、台となる位相空間についての情報を提供する。接空間の集まりからなる接束は可微分多様体の点によって径数付けられる。上の接ベクトル場で至る所消えていない者は存在しない[99]。K-理論は同じ位相空間上の全てのベクトル束の同型類について研究するものである[100]。ない)というような純代数学的な帰結も存在する(フルヴィッツの定理を参照)。可微分多様多の余接束は、多様体の各点において接空間の双対である余接空間が対応するベクトル束である。概念は環に対するものである。置き換えることで得られる[101]。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて(環の元に必ずしも乗法逆元が存在しないことで)より複雑なものになっている。ように、必ずしも基底を持たない。基底を持つような加群(ベクトル空間もそう)は自由加群と呼ばれる。拘わらすベクトル空間は、係数環が体であるような加群として簡単に定義することができて、その元をベクトルと呼ぶ。可換環の代数幾何学的解釈は、それらのスペクトルを通じて、ベクトル束の代数的な対応物である局所自由加群の概念などを展開することを可能にする。いうのはベクトル空間からその原点をわからなくしたものである[102]。正確には、アフィン空間とは自由かつ推移的なベクトル空間の作用を備えた集合を言う。}を考えることによって、自身の上のアフィン空間となる。平行移動することによって得られるものを言う。形のベクトル全てからなる。場合を一般化するものである[103]。成す集合は射影空間と呼ばれる。これは平行線が無限遠において交わるという概念の定式化に用いられる[104]。1)-次元象限(標準錐体)との交わりになっている。順序体(特に実数体)上で、凸解析の概念を考えることができる。なる非負線型結合全体からなる凸集合である。n-単体がアフィン超平面と象限との交わりであることを反映したものになっている。このような空間は特に線型計画問題において用いられる。有限列全体の成す)普遍アフィン超平面上の代数であり、また錐体は普遍象限上の代数、凸集合は普遍単体上の代数である。これは、「座標に対する(可能な)制限和」を用いて公理を幾何化したものである。ような)双対性などが含まれる。線型代数学において任意のベクトル空間やアフィン空間が標準空間に同型となるのとは異なり、任意の凸集合や錐体が単体や象限に同型となるわけではない。単体から多面体の上への写像が一般化された重心座標系によって常に存在し、またその双対写像として多面体から(面の数と等しい次元の)象限の中への写像がスラック変数によって存在するが、これらが同型となることは稀である(ほとんどの多面体は単体でも象限でもない)。物理学で、矢印を上に載せる記法も広く用いられる。「ベクトルをラテンアルファベットで表し、スカラーはグリークアルファベット(ギリシャ文字)で表す」などの流儀や、場合によってはまったく文字種の区別をしないこともある。この公理は演算の結合性を仮定するものではない。関係性を考えているからである。(無数に存在する)区間の指示函数はどれも線型独立である。ジョルダン・シュヴァレー分解も参照。この仮定からは、得られる位相が一様構造を持つことが導かれる。関する三角不等式はミンコフスキーの不等式から得られる。技術的な理由から、この文脈ではほとんど至る所一致する函数は互いに同一視する。すれば上記の「ノルム」は半ノルムなだけでなく本当にノルムを与える。属する多くの函数はルベーグ測度が有界でなく、古典的なリーマン積分では積分することができない。それらに対する直交分解も適用できない。ヒルベルト空間でない。ヒルベルト空間の基底というのは、既に述べた線型代数学的な意味での基底と同じものを意味しない。区別のためには、後者はハメル基底と呼ばれる。L2-函数に対して、函数を区間の外側へ周期的に延長することによって適用できる。距離よりも無限に小さいようなものである。準同型で、その制限がファイバーの間の同型となるものが存在する。接束の切断というのは、ベクトル場に他ならない。