2^{-n}=1}である。}|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}}をノルムとして備えている。ルベーグ空間は何れも完備になる[58](が、もし上記の積分をリーマン積分としたならば、空間は完備にならない。}|{f}(x)-{f}_{k}(x)|^{p}\,dx=0}を満たすようにすることができる。函数自体だけでなくその導函数にも有界性条件を課すことでソボレフ空間の概念が導かれる[59]。5-項までの和を順に示すことによって示したもの。11]を入れたものは主要なヒルベルト空間の例である。求めることが重要になる。多項式列による近似が確立された[62]。上の任意の連続函数は適当な多項式列によりいくらでも近く近似できる[63]。三角函数を用いた同様の近似法は一般にフーリエ展開と呼ばれ、工学において広く応用される(後述)。一般に、またより概念的に言えば、これらの定理は「基本函数族」とは何であるかということを端的に記述するものになっている。位相的に生成するに十分であるかをいうものである。ここで、位相的に生成する(あるいは単に生成する)とは、それらの位相的線型包と呼ばれる、線型包の閉包(即ち、有限線型結合およびその極限)が、全体空間に一致することである。これらの定理は適当な基底函数族が近似の目的で十分性を示すことのみならず、シュミットの直交化法を用いて互いに直交するベクトルの族からなる基底が得られることも意味している[64]。そのような直交基底は、有限次元ユークリッド空間における座標軸をヒルベルト空間に対して一般化したものと考えることができる。様々な微分方程式に対して、その解をヒルベルト空間の言葉で解釈することができる。物理学や工学にけるかなり多くの分野でそのような方程式が導かれ、特定の物理的性質を持つ解が(しばしば直交する)基底函数族としてよく扱われる[65]。物理学からの例として、量子力学における時間依存シュレーディンガー方程式は、その解が波動函数と呼ばれる偏微分方程式として、物理的性質の時間的な変化を記述する。エネルギーやモーメントのような物理的性質に対する明確な値は、ある種の線型微分作用素の固有値とそれに属する固有状態と呼ばれる波動函数に対応する。