小数で表現するさて、最初に目次のページで触れたように、実数は必ず小数で表すことができるのか、ということについて考えてみます。実数であるということは、その実数に収束する有理数のコーシー列が存在するということです。ここで、前回の数列にもう一度登場してもらいましょう。ここで各項は有理数なので小数に展開できることが重要なポイントです。今回は分数を小数にしてみましょう。計算を続ければ、必要なだけ精度をあげて小数を計算することができます。実数はかならず小数で表すことができるのです。そのものにはならないので、割り切れたり循環したりする小数ではありません。ここに無理数が無限小数になる理由があります。一つ目の疑問、実数とは何か、それは必ず小数で表されるものなのか、ということの答えに辿りつきました。厳密な証明などをはしょっていますので、もっと本格的に勉強したい人はこの章の文末に参考文献を挙げておきましたのでそれで勉強していただきたいと思います。次に、いままで自然数から有理数まで確認してきた「濃度」について考えたいと思います。いままでの議論では、自然数も(その部分集合の偶数や奇数も)有理数も、可算無限という、大きさとしては同じ無限大の濃度を持つということを見てきました。実数はどうなのでしょうか。実数全体は0より大きく1未満の実数と1対1に対応させることができますので(適当な関数を与えることができます)、いま自然数と0より大きく1未満の実数とを比べることにします。この2つに1対1対応が作れたならば、これは「玉入れ方式」によって同じ濃度となります。適当になにか対応表が作れたとしましょう。いまから、これが矛盾を含むことを示します。