このうち非対称性は,Scitovsky原理のもとでのPを考える上では(p.41の定義2*8より)当然ですので,問題は推移性が成立するかどうかです。→xPzを示すのが証明の目的です。以下,証明の手順を考えます。y'#Pz」が成立するのは,これまでの定義から理解できます。前ページの定義2*8の「Scitovsky原理によるxPyの定義」(もともとは定義2*7の「Kaldor原理によるxPyの定義」に依拠している)から,以下の2式が得られます。y'#Pzこの2式の左辺同士,右辺同士をandで結ぶと得られます。z#Py」としてもよいでしょう。,⇔が成立するのはKaldorの場合で,Scitovskyの定義では制限があるため右矢印(→)のみになります。y'#Pz」を考えます。部分に仮定(補題2*h本体の3行目の式)を適用しました(∀y"∈S(y)ではy'を使えるとよかったのですが,∃y'∈S(y)と重複するので新しいy"の記号を使っています)。判りやすくなるように括弧をつけました。〕さて,上の式で前半には∀y"∈S(y),後半には∃y'∈S(y)があります。y"は任意なのですから,後半の∃y'∈S(y)として選んだy'でも成立するでしょう。y'#Pz]〔本書の証明の4行目は,(∃y'∈S(y):が省略されていますが)この式として理解できます。〕つづけて式を簡単にしていきます。y'#Pz]〔内側の括弧をひとつ外しました。∃x"∈S(x)の影響範囲が広がりますが,y'#Pzは∃x"∈S(x)と関係がないので問題ありません。〕さらに式を簡単にします。→x"#Pzの計算を使いました。〕この計算の妥当性は以下のように確認できます。y'#Rzより,x"#Rzが判ります。〔#Rが推移性を満たすためです。,〜(z#Rx")も背理法で確認できます。x"#Ry'→z#Ry'となりますが,これが上記の〜(z#Ry')と矛盾するためです。→x"#Pzが示されました。なると,∃y'∈S(y)はもう関係ないので,外しても構いません。x"#Pz〔これが本書の証明の5行目の式です。〕さてこの式のかたちから,すでにKaldorの意味においてはxPzになっています。問題はScitovskyの意味でxPzになるかどうかです。証明の6行目で「xPzであるのは...成り立たないときである」というのは,定義2*8(p.41)に基づいてScitovskyの意味でxPzである条件を述べたものです。,~(zPx)が必要十分条件であることを確認しました。以下,~(zPx)を背理法で証明しています。zPxが成立するとすれば,∃z'∈S(z):z'#Pxです。(ここでxPyはすでに推移性証明の仮定にあったものです)。zをyと置き換えたかたちです。x'#Py」(本書の証明の7行目)が得られました。この式は,さらに本書の5行目のように簡単にできます。zをyと置き換えたかたちです。z"#Py」が得られましたが,ところで,もともと推移性証明の仮定に「yPz」もあったのでした。~(∃z"∈S(z):z"#Py)となり,ここに矛盾が見出されました。して~(zPx)を確認しました。→xPzとなり,推移性が満たされることが証明されて終了します。特定の記述項目について,読む上でのポイントを考えるものです。本ホームページの主旨や注意などについては,こちら(「読解のポイントを探る」項目リストページ)をご覧下さい。(最終アップデート:2015年9月1日)。