pencil創作整数問題#9解法&創作整数問題#10適当に始めた創作整数問題も遂に10作目です。素数に関する問題をピックアップしたいと思います。今まで求値問題ばかりだったので今回は証明問題にしてみました。存在しないことを示せ。(創作問題)英語で付けてあるのは単に趣味です。英語は数学と同じくらい大切ですよ。English!・・・大きなお世話でしょうか。証明問題なので答えはここに書きません。創作整数問題#9(解き方)問題は以下のようなものでした。誘導が無いので手こずった人もいるかもしれませんね。互いに素であるとする。$$\dfrac{m^2+n^2}{m+2n}$$が整数となるような組$(m,n)$をすべて求めよ。\end{align}$$となります。$n$を定数とした$m$の2次式と見なして割り算しました。ここからが問題ですね。整数となることが必要です。そこで分子と分母の倍数関係に着目するのですが、ここで「互いに素」という条件が効いてきます。は$5$の約数になるしかありません。$3$以上の$5$の約数と言ったら$5$しかありませんね。よって$$m+2n=5$$となります。これを満たす正の整数の組$(m,n)$は$$\color{red}{(1,3)、(3,2)}$$です。この2組は確かに適しています。(コメント)「互いに素」と限定しなければ幾らでも解が存在していまいます。シンプルながら互素性の偉大さを味わえる問題に仕上がったのではないでしょうか・・・。AMまたもご指摘を頂いてしまいましたね...。「正の完全平方数」としなければこれも不備と言わざるを得ません。問題文を修正させて頂きました。他にも欠陥問題がありそうです。今後とも宜しくお願い致します。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。