2sin2xになるのですが、2cos2xになります。合成関数f{g(x)}の微分は[f{g(x)}]'=f'{g(x)}*g'(x)です。今回の質問ではf(x)=sinx,g(x)=2xなのでf'(x)=cosxg'(x)=2ゆえに(sin2x)'=[f{g(x)}]'=cos(2x)*2質問文の場合、最後の*2、つまりg'(x)が足りません。02:12まず、(sin(2x))'=2*cos(2x)です。合成関数の微分は、y=f(u)、u=g(x)と書ける時、dy/dx=(df(u)/du)*(dg(x)/dx)の計算をします。yをuで微分し、uをxで微分するわけです。今回の場合、y=sin(u)、u=2xとおいて、dy/dx=((d/du)sin(u))*((d/dx)2x)=cos(u)*2=2*cos(2x)となります。0°≦x≦180°の時の、sinx+sin2x+sin3x+sin4x>0を解け。回答数ランキングです。(e^x)'=e^xの証明がわかりません。高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。e^xを無限級数に直して微分1)の場合d(logx)/dx=1/x...(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが...微分の定義に沿って証明しようともしましたが、(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)となり、ここで行き詰ってしまいました。(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?よろしくお願いします。(e^x)'=e^xの証明がわかりません。高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。e^xを無限級数に直して微分1)の場合d(logx)/dx=1/x...(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読むAベストアンサーorangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。(e^x)'=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}となるので、結局問題はlim[h→0]{((e^h)-1)/h}......(*)の収束性に帰着します。そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。h>0のときについて考えましょう。このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いてexp(h)=1+1/t......(1)と表すことができます。指数関数は連続ですから、lim[h→0]exp(h)=1ゆえにlim[h→0]t=∞つまり、h→0のときt→∞......(2)が成り立ちます。h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)......(3)ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}と書き直すことができます。対数関数も連続ですから、lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。(1-1/n)(1-2/n)......(1-(n-1)/n)/n!......(4)と展開できます。(1+1/(n+1))^(n+1)を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べてイ:項数が増えロ:個々の項が増大することが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。(1-(1/2)^n)/1-1/2<3ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。ここで公理を使います。「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。載っていると思います)さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところlog{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。整理すると、(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)これが一番最初にあります。これを用いて、(2)e^xを指数関数とする(3)logxをその逆関数とするこれが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。e^x=1+x/1+x^2/2!+......と先に指数関数を定義してしまう方法。これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。(e^x)'=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}となるので、結局問題はlim[h→0]{((e^h)-1)/h}......(*)の収束性に帰着します。そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。h>0のときについて考えましょう。導関数を定義に従って求めよ。いう問題でどうすればいいかわりません。どなたか教えていただけないでしょうか。