編集(リーマンゼータ函数から転送)複素数平面におけるリーマンのゼータ関数。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。上の黒い点は零点である。素数分布の研究を始めとした解析的整数論における重要な研究対象であり、数論や力学系の研究を初め数学や物理学の様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数のうち、最も歴史的に古いものである。リーマンのゼータ関数とも呼ばれる。よる表記に因み、リーマンゼータ関数と呼ぶ。一位の極としそれ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる。外部リンクゼータ関数の特殊値編集ゼータ関数に整数を代入したものをゼータ定数またはゼータ関数の特殊値と言う。)^{2n}}{2(2n)!}}}と表せる。{\,B_{n+1}\,}{\,n+1\,}}}が成り立つ。あり、これらをリーマン・ゼータ関数の自明な零点と呼ぶ。これらの表示はオイラーによる。{n}{(2n+1)!}}}が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。表す簡潔な表現は得られていない。それでもラマヌジャンなどは次のような表示式を得ている。}などが数値的に成り立っている。n}-1)}}}という級数が知られている。無理数である(1978年、ロジェ・アペリ)。オイラー積編集ゼータ関数と素数との最初の関連はオイラーによって示された。{1}{1-p^{-s}}}}という表示を持つ。これをオイラー積あるいはオイラー表示という。した極限を考えることで示すことができる。含まれるため、上のようなゼータ関数のオイラー積表示が成り立っている。関する積はリーマン・ゼータ関数の複素零点全体をわたるものとする。{1}{s-1}}}は整関数であることが分かる。スティルチェス定数と呼ばれているものである。{(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}という式を推測している。(1-s)}という関数等式を持つことが示された。これは複素解析的関数の解析接続が初めて明示的に行われた例である。ゼータ関数の零点である。(1-s)}(リーマンのクシー関数も参照。)ゼータ関数と数論的関数編集ゼータ関数を適当に組み合わせることにより、様々な数論的関数を係数とするディリクレ級数の母関数を得ることができる。(n)}{n^{s}}}}と表せる。^{2}}}}であることが証明できる。(n)}{n^{s}}}}なども成り立つ。ゼータ関数との関係を述べる。(x^{1/n})}と置いて、最終的に上式は次のように書かれる。表示する公式を求めることができる。(x^{1/n})}と書けることを注意しておこう。ゼータ関数の零点の分布に関する未解決問題であるリーマン予想は、素数公式の近似精度に関連している。岩波書店、1985年。朝倉書店、2005年。共立出版、2015年。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。