不等式が絞り込みに利用できる場面にはある程度パターンがあります。難関大入試でよく出題されているパターンです。この型に慣れておけば、得点源間違いなしです。(例題1)$n^2=2^n+1$を満たすような自然数$n$をすべて求めよ。着眼点はズバリ「オーダー」です。「オーダー」とは大雑把に言えば「大きさ」のことで、2つ以上の数について、どのくらい大きくなるのかを比較するときに用いる数学用語です。指数関数は多項式関数に比べて非常に速く増加します。このことを利用して等式の成り立つポイントを探るのがこのパターンの攻略法です。4$のとき、$n^2<2^n+1$を数学的帰納法により示す。$n=4$のとき、(左辺)$=16$、(右辺)$=17$より、成立。\end{align}$$となる。>0$だから、$n=k+1$のときでも成立する。4$のとき、$n^2<2^n+1$であることが言えるから、可能な$n$は$1,2,3$に限られる。(\text{答})$$である。以上は典型題ですが、こうした問題は頻繁に出題されているので、よく練習しておきましょう。絞り込みと言えばこのタイプを思い浮かべる人も多いのではないでしょうか。(例題2)$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2}$を成立させる自然数$a、b$の組をすべて求めよ。b$と設定しても一般性は失われない。故に可能な$a$の値は$1,2,3,4$である。$a=1$のとき、与式の左辺は$1$より大きくなるが、右辺は$1$より小さいので不適。$a=2$のとき、与式の左辺は$\dfrac{1}{2}$となり、与式は$\dfrac{1}{b}=0$と変形できるが、このような$b$は存在しないので不適。$a=3$のとき、与式は$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{6}$と変形できる。故に$(a,b)=(3,6)$を得る。$a=4$のとき、与式は$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{4}$と変形できる。故に$(a,b)=(4,4)$を得る。(\text{答})$$である。上記の例題は数え上げるタイプの典型題です。このタイプの整数問題も頻出です。条件式がすべての文字について対称であるときは、文字の大小を自分で勝手に設定しても解の一般性が保たれるので、最後に大小の制限を外せばOKです。自分で大小を設定した方が解答しやすい問題も多く出題されていますから、こうした手法に慣れておきましょう。これとは別のタイプの分数特有の条件を使う問題を見てみましょう。(例題3)$\dfrac{2x}{y^2+1}$、$\dfrac{2y}{x^2+1}$がともに整数となるような自然数$x、y$の組をすべて求めよ。分数式が整数になるということは分子が分母で割り切れなければなりません。ここで(分子)≧(分母)という大小関係が必要条件として出てきます。整数となるためには分子が分母より大きいことが必要である。x^2+1$が必要である。\end{align}$$となる。x^2+1$より、$x=1$を得る。$(x,y)=(1,1)$のとき$\dfrac{2x}{y^2+1}$、$\dfrac{2y}{x^2+1}$はともに整数となるから題意に適する。(\text{答})$$である。「分子が分母より大きい」というのは言われてしまえば何ということも無い条件ですが、意外に盲点だったりします。分数式を扱っているという意識のない時に見落としがちな条件です。最後にもう一つ、分数式パターンで頻出の例題を紹介しましょう。(例題4)$\dfrac{n^2+4n+5}{n+1}$が整数となるような整数$n$をすべて求めよ。与式は$$\dfrac{n^2+4n+5}{n+1}=n+3+\dfrac{2}{n+1}$$と変形できる。$n+3$は整数だから、与式が整数となるためには$\dfrac{2}{n+1}$が整数となる必要がある。よって$n=-3,-2,0,1$を得る。$n=-3,-2,0,1$のとき与式はそれぞれ$-1,-1,5,5$となり整数となるから題意に適する。(\text{答})$$である。このタイプの問題はほとんどワンパターンなので類題を経験しておくだけでも大きなアドバンテージとなります。3.隣接整数このタイプは大学入試ではあまり見られません。出題されても大抵の場合は誘導が付きます。具体的に言うと「整数$n$と$n+2$の間にある整数は$n+1$である」ということを利用します。...これだけ聞くと何を当たり前のことを言っているんだと思われるかもしれませんが、このことに気付かないと延々と時間ばかりが過ぎていく問題も出題されています。仕組みと解き方くらいは理解しておきしましょう。(例題5)$4n^2+n-3$が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。(2n+1)^2$$が成立する。よって、$4n^2+n-3$が平方数となるためには$4n^2+n-3=(2n)^2$が必要であるから、これを解いて$n=3$を得る。代入すると$36$となり、確かに平方数となっている。(\text{答})$$である。いった問題を解く際には、「整数で挟む意識」が大切です。置いて$$n-3=(N-2n)(N+2n)$$と変形しても一向に解決の糸口が掴めませんが、不等関係を見つけようと常に意識していれば、$4n^2$に近い平方数で挟めるんじゃないか?と一歩前進できます。実際、$(2n-1)^2$や$(2n+1)^2$を持ち出しているのはこうした考察に基づいています。ここでも「オーダー」の視点が役に立ちますね。逆に考えれば、$4n^2+n-3=N^2$などと置いてもダメな場合は「もしかして挟むタイプか?」と勘ぐることができるとも言えます。何にせよ「整数で挟む意識」があれば、この例題のように誘導設問がカットされていても正答に辿り着くことができるはずです。隣接整数タイプではもう一つ重要な概念が登場します。皆さんが大好きな「ガウス記号」ですね(笑)。個人的な推測ですが、ガウス記号の苦手な人が多い理由は恐らく単に慣れてないからだと思います。ガウス記号は離散的な値を表すためなかなか取っ付きにくいということもあり、入試の現場では出来不出来を大きく左右しかねない存在です。ガウス記号の定義は以下のようなものでしたね。実数$x$に対して、$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す。これだけなんですが、負の数を考えたりすると頭の中がこんがらがる人が続出します(笑)。不等式で表すと、以下のようになります。要するに、実数$x$の小数部分を切り捨てた数を$[x]$と表しているということです。小数部分がゼロのとき、つまり$x$が整数のときは切り捨て後も$x$ですから、$[x]=x$です。いう得体の知れない記号が出てきたときはまず具体例で考えることが大切です。$[8.61]=8$、$[\pi]=3$、$[2]=2$となります。x$$となるので、$[-8.61]=-9$、$[-\pi]=-4$、$[-2]=-2$となります。グラフは以下のようになります。function)とも呼ばれています。このグラフは頭に入れておきたいですね。成立していることも分かります。床関数があるなら「天井関数」もあるのではと思われた方、鋭いですね。存在しますが、あまり需要が無いのでここでは割愛します。興味のある人は調べてみてください。このガウス記号ですが、入試にはそこそこ出てきます。整数分野が絡むと結構難しめの問題に仕上がってしまうので、今は簡単な問題で練習しましょう。=n^2-1$を満たすような整数$n$をすべて求めよ。\dfrac{n}{2}$が必要である。\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$$を得る。$n$は整数だから、$n=0、1$に限られる。\right]=0$、$n^2-1=-1$となり不適。\right]=0$、$n^2-1=0$となり適する。(\text{答})$$である。実際に出題されている問題はこんなに可愛いものではありませんが、不等式を利用する、もしくはガウス記号を整数($N$などの形)に置き換えてしまうなどのアプローチが基本となります。このように不等式は答えを求める道具であると同時に、解答を書く労力を軽減する役割も持っています。不等式は「答え以外の余計なものを削ぎ落とす道具だ」という感覚で使って下さい。不等式を作り出すということは大小関係を設定するということです。対称性を持つ条件が与えられたとき、あえてその対称性を崩した方が答えに辿り着きやすくなることがあります。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。