\}$は有界で単調増加であることを示し、極限を求めよ。問題(2)と同じく逆数をとる方法が使えない分数型の漸化式です。《解答例》$$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+3}=3-\dfrac{7}{a_n+3}$$と変形できるから、$a_{n+1}<3$である。$0<a_1=1<3$より、帰納的にすべての自然数$n$について$0<a_n<3$が成立する。故に数列$\{a_n\}$は有界である。\end{align}$$となる。故に数列$\{a_n\}$は単調増加である。以上より、数列$\{a_n\}$は有界な単調増加数列であるから収束する。\text{(答)}$$と求められる。