pencil創作整数問題#12解法&創作整数問題#13多忙のため更新ができない日が続いています。まとまった休みができれば作りかけの固定ページの方も製作が捗るのですが・・・。(創作問題)ディオファントス方程式の良い練習問題だと思います。閉じる創作整数問題#12(解き方)問題#12は剰余の話題でした。範囲に何組存在するか。偶数であることに気が付きましょう。これにより$b$は偶数でなければなりません。どのような偶数になるのかで場合分けします。\end{align}$$となるので、$b$は$8$の倍数であることが必要です。よって$(a,b)=(1,8)$、$(3,8)$、$(5,8)$、$(7,8)$は求める組です。\end{align}$$となるので、$5b$を$8$で割った余りが$6$であることが必要です。範囲でこの条件を満たす$b$は$6$のみです。よって$(a,b)=(2,6)$、$(4,6)$、$(6,6)$、$(8,6)$は求める組です。以上i)、ii)より題意を満たす組の数は$8$個となります。このことは是非覚えておきたいですね。解答では「$5b$」の方ではなく「$7^a$」に着目していますが、これは割る数である$8$に近いため、$8$で割ったときの余りが考えやすいからです。1997年の一橋大学(前期)第1問に本問の類題がありますが、一橋大の問題は今回の問題#12より文字が1個増えるのでやや複雑になります。問題#12が簡単に解けてしまった方は挑戦してみてください。様より、コメントを頂きました)$5$と$8$が互いに素であることを利用すれば、1$a$を固定すると$7^a+1$を$8$で割った余り$r_1$が取り敢えず定まる。8$を満たす整数$b$に対して、$5b$を$8$で割った余り$r_2$は$8$個の$b$の値に1対1で対応する。3よって$r_1$の値に対して、$1$~$8$の中から適切な$b$の値を選べば、$r_1+r_2$の$8$で割った余りを$0$にすることができる。$N$を$8$の倍数にすることができる。4故に、ある$a$の値に対して$N$が$8$の倍数になるような$b$の値を1対1で対応させることができるから、求める正の整数$a$、$b$の組は「$8$個」となる。いう手順によって細かい計算をすることなく求められます。さんの説明に少し冗長な日本語を付け足してみますと、1$a$を固定すると$7^a+1$を$8$で割った余り$r_1$が取り敢えず定まる。8$を満たす整数$b$に対して、$5b$を$8$で割った余り$r_2$は$8$個の$b$の値に1対1で対応する。3よって$r_1$の値に対して、$1$~$8$の中から適切な$b$の値を選べば、$r_1+r_2$の$8$で割った余りを$0$にすることができる。$N$を$8$の倍数にすることができる。4故に、ある$a$の値に対して$N$が$8$の倍数になるような$b$の値を1対1で対応させることができるから、求める正の整数$a$、$b$の組は「$8$個」となる。いう寸法になりましょうか。この理屈によれば、明らかに合同式を持ち出すまでもありませんでしたね。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。