★★★☆$2^n+3^n+4^n$が平方数となるような正の整数$n$をすべて求めよ。平方数の話題その2です。#B019には「ヒント」がありましたがこちらはありません。「平方数となるような正の整数$n$をすべて求める」ということは「平方数にならないような正の整数$n$をすべて求める」ということです。《解答例》$N=2^n+3^n+4^n$と置く。$n=1$のとき$N=9$となり平方数である。\pmod{3}\\\end{align}$$3$で割ったときの余りが$2$であるような正の整数は平方数になり得ないから、$n$は偶数でなければならない。あるような正の整数は平方数になり得ないから、$n$は奇数でなければならない。とき$N$は平方数になり得ない。本問は数学コンテスト向きの問題なので、ヒント付きでなければ入試問題には出ません。ヒントが特に与えられておらず、文字で置いたりしてもなかなか難しいときは剰余類の利用を考えましょう。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。