一般に、体の拡大L/Kがあるとき、LはK線型空間である。上に挙げた例が線型空間の公理を満たすことを確かめよ。基底と次元[編集]少し具体的な線型空間について考察してみる。おいて、次の3本のベクトルの組は特別な意味を持っている。x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}}と表すことができ、またこの表し方は一意的ということである。一般の線型空間においてもこのようなベクトルの組があれば便利である。そのようなものがあるとき、このベクトルの組に特別な名前をつけよう。Vの基底(basis)であるという。注意すべきなのは、基底は一つの線型空間に対し一組とは限らないということである。