Vの基底とすると、n=n'つまり、(もし基底が存在すれば)基底の元の数は一定である。言い換えると、基底の元の数は各線形空間に固有の数値である。そこで、この数に名前をつけることにする。このときVはn次元K線型空間であるという。そのような有限個の元からなる基底が存在しないとき、Vは無限次元であるという。無限個の元からなる「基底」が存在することが知られている。上で例としてあげた線型空間は最初のKn以外は無限次元の線型空間であるが、K[X]には1,X,X2,X3,...という基底がある。上の基底はここまで簡単に書き表すことはできないが、存在することは知られている。部分空間[編集]線型空間の部分集合がまた線型空間になっていることがある。そのようなとき、この部分集合を線型部分空間(あるいは単に部分空間)という。正確に書けば以下のとおりである。subspace)であるという。W}公理3は一見すると公理2から導かれるように見えるが、そうではない。空集合は公理1,2を満たすが、公理3を満たさない。公理3は空集合は部分空間と呼ばないようにするための公理である。線型写像[編集]線型写像の定義[編集]近代的な数学は、ある性質を満たす集合と、その集合たちの間の写像(mapping)とを調べることを基礎として発展してきた。ここでも、線型空間から線型空間への写像について調べてみる。先ほどと同様にして、どのような写像を調べる対象とするか、公理的に与える。mapping)を以下のように定義する。V,Wを体KにおけるK線型空間とする。次の性質を満たすとき、fはK線型写像であるという。f(ax)=af(x)}少し例を見てみよう。Aをm×n行列とする。