理系大学生の数学駆け込み寺お問い合わせLINE:理系大学生が勉強でつまるところや悩むところを大学の100倍わかりやすく解説するサイトです。大学生活を楽しむために必要なことを徹底的に解説しています。-ナベヤン浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、ベクトルの直交から関数の直交を定義づけます。ここで重要な考え方は内積です。ベクトルの内積で0になる場合がお互いのベクトルが直交しているということでした。関数の内積を定義しました。それを使って関数の直交を導きます。直交する関数を直交関数系といいます。それは三角関数などが含まれます。フーリエ解析でも直交関数系が存在します。それにも触れながら直交関数系を説明します。まとめ関数が直交するって?まず、$$ベクトル\vec{A}と\vec{B}$$が直交するとはどのようなとき、直交するといったでしょうか。B_3e_3$$に展開できます。0$$ならばベクトル$$\vec{A}と\vec{B}$$は直交するといいます。思い出したでしょうか。これはベクトルでの話です。これを拡張して関数に応用するのです。あるxに対するA(x)はベクトルの成分とみなせます。関数をベクトルとみなしてしまうのです。するとxは連続変数ですので、A(x)は無限個の成分をもつベクトル(無限次元のベクトル)とみなせるのです。このことからベクトルの場合にならって積の和(実際には積分です)を作ります。b]で直交するといいます。フーリエ級数展開のおさらいさて、フーリエ級数展開を覚えていますか。ここでおさらいします。フーリエ級数展開の実数値は、以下のとおりです。b_nsin(nx))$$ここで上記の式を周期2πのものとして書き直します。その方がわかりやすいのでそうします。nx)$$ここまではよいでしょうか。複素フーリエ級数ここで、複素数のフーリエ級数を考えます。\mathrm{e}^{inx}............(1)$$となり、これを複素フーリエ級数といいます。dx$$ここに(1)を代入します。$$これは()内を展開すると、次の式が期待されるのです。n)\end{array}\right.$$これの証明は各自にまかせます。そんなに難しくありません。,\cdots\}$$という関数の集まりが得られます。この関数の集まりから任意に二つの関数を選んでかけ合わせると0になります。直交関数系が成り立っているのです。背伸びをして複素フーリエ級数を扱いましたが、わかったでしょうか。複素フーリエ級数を取り扱うときにはオイラーの公式を利用します。オイラーの公式は次のとおりです。\,sin\,x$$オイラーの公式は非常に重要ですのでしっかりと覚えてください。まとめ直交関数系はベクトルの直交、つまり内積が0になることを拡張して、それを関数に応用したものです。任意の関数A(x)とB(x)の積分しての積が0になれば、それを直交関数系といいます。ここでは背伸びをして複素フーリエ級数を扱い、直交関数系ということがわかりました。この後は、正規直交関数系やディラックのδ関数などはまだここでは触れていません。それらはまたの機会に必ず触れます。そのためにも直交関数系を理解してください。-ナベヤン浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。