商空間と線型写像はじめに[編集]「線型代数学」という教程では、実数体、あるいは複素数体上の行列や線型方程式などの具体的な対象を扱うことが主である。実は線型代数学という分野はその範囲にとどまるものではなく、一般の体上においてより一般的な議論を行うことが可能である。その一般論は、より抽象的な数学を学ぶ上での基礎の基礎となるものである。この項目では、そのような一般の体上の線型空間に関する一般論を述べる。線型空間の定義[編集]線型空間の公理[編集]以下、特に断りなければKを体(field)とする。読み替えても概ね差し支えない。space)とは、次の公理を満たすような集合(set)のことである。Kを体、Vを集合とする。Vの元どうしの演算「+」と、Vの元に対するKの元によるスカラー倍「・」が定められていて、次の条件のすべてを満たすとき、VはKの上の線型空間であるという。x=x}これを線型空間の公理という。公理3の「0」をVの零元という。公理4のyは「-x」と書き、これをxの逆元という。以下、特に断りなければこの本の中ではKは体、VはK線型空間であると約束する。公理から出発するのは抽象的で少しわかりにくいかもしれないが、公理だけから議論をはじめると、この公理を満たすものすべてについて同時に議論することができ、便利である。この公理を満たすような具体的な集合にはどのようなものがあるかを知ることも重要である。Knは通常の演算によってK線型空間である。K係数の多項式の集合K[X]は通常の演算によってK線型空間である。