おける1次独立と1次従属についてわかりやすく解説する今回は行列のランクについて見ていきます。ランクを調べれば逆行列もわかる行列のランクってなんなの?ではまず行列のランクがどのようなものなのか、というところから押さえていきましょう。行列のランクとは?行列\(A\)を簡約化した行列を\(B\)としたとき\(B\)の零ベクトルでない行の個数を行列のランクといい、\[rank(A)=Bの零ベクトルでない行の個数\]と書く。次の簡約化された行列は零ベクトルでない行の個数が3つなのでランクが3ということ。rank(B)=3$$また、この簡約化された行列は零ベクトルでない行の個数が2つなのでランクは2ということになります。rank(C)=2$$では、実際に行列が与えられたときにその行列のランクを簡約化を使って求めてみましょう。行列のランクを求めることが出来たね!このように簡約化した行列に零ベクトルが含まれる行列をランク落ちした行列と言います。零ベクトルが含まれていなければランクが3だったのに、零ベクトルが1つ含まれているためにランクが3から2に落ちてしまったということでランク落ちした行列と言うんですね。行列のランクと1次独立の関係性さて、行列のランクには前回勉強した1次独立と深い関係があります。行列のランクと1次独立\[rank(A)=Aの1次独立な列ベクトルの最大個数=Aの1次独立な行ベクトルの最大個数\]例えば先ほどランクを求めたこちらの行列、実は1次独立な列ベクトルや行ベクトルの数がランクと一致しているんです。0\end{array}\right]$$実際に1次独立なベクトルで1次従属なベクトルを表してみるとこんな感じ。先生このように1次独立とランクを関連付けて覚えておくとより理解が深まるね!例えば「行列の中で1次独立な数ベクトルの個数を求めたい」というときは行列を簡約化してランクを調べるだけで求めることができる、といったような使い方ができるわけですね!正方行列におけるランクさて、先程はランクと1次独立の関係について見てきましたが、実はランクは逆行列とも深い関係があるんです。以前の記事で逆行列は存在する場合と存在しない場合があるというお話をしました。存在しないってどういうこと?掃き出し法を使って逆行列を求める手順を徹底解説!実はランクを使えば正方行列に逆行列が存在するかどうか調べることができるんです!学生それってめっちゃ便利じゃない?先生そうだね。実際に逆行列が存在する場合と存在しない場合をランクを使って調べてみるよ!ランクを使って調べる方法は至って簡単。ランクで逆行列の存在を調べる手順ランク落ちしてなければ逆行列が存在するランク落ちしていれば逆行列が存在しないでは実際に計算してみましょう!まずはこちらの行列、逆行列はこのように表されます。\\\end{array}\right]$$では本当にこの行列\(A\)がランク落ちしていないか調べてみましょう。今度は逆行列が存在しない場合を見てみます。こちらの行列は逆行列が存在しません。\\\end{array}\right]$$簡約化してみた結果、左側に単位行列が現れないことからもそれがわかりますね。実際にランクを計算してみるとどうなるでしょうか?確かにランク落ちしていることがわかりますね!このように、逆行列が存在するかどうかはランクを調べることによって容易に知ることができるんです。ランクを調べれば逆行列もわかるさて、今回は行列のランクについて1次独立、逆行列との関係性を見ながら学んできました。行列のランクと1次独立な数ベクトルの最大個数は等しい逆行列の有無はランクを調べればわかる行列のランクは線形代数でもかなり重要な概念です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト線形写像とは何かをわかりやすく解説してみる!線形代数における1次独立と1次従属についてわかりやすく解説するRECOMMENDこちらの記事も人気です。