理系大学生の数学駆け込み寺お問い合わせLINE:理系大学生が勉強でつまるところや悩むところを大学の100倍わかりやすく解説するサイトです。大学生活を楽しむために必要なことを徹底的に解説しています。-ナベヤン浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、これまで普通の、つまり実数のフーリエ級数展開を中心に説明してきましたが、実数のフーリエ級数からオイラーの公式を使うと複素フーリエ級数が導出できます。ここでポイントはオイラーの公式です。オイラーの公式は数学の数ある公式の中で最も美しい公式ともいわれている有名な公式です。指数関数と三角関数の関係だったような......。理系大学生ケイスケ今回はオイラーの公式さえ知っていれば簡単に複素フーリエ級数展開が導出できるんだ。先生とはいえ、複素フーリエ級数もこれまでにさらりとですが触れてきました。今回は、複素フーリエ級数の導出を深く掘り下げての説明をしてゆきます。まとめオイラーの公式さあ、ケイスケくん、まず、オイラーの公式を覚えてゐるかな。先生いやあ、先生、うろ覚えで忘れちゃった。理系大学生ケイスケオイラーの公式はあまりに有名で、理系の数学ではあらゆる場面で登場してくる大変重要な公式なのです。i\,sin\,ix$$ですね。今回のポイントは全てオイラーの公式に集約されます。上記の式から次の式が導出できます。\mathrm{e}^{-ix}\right)\tag{2}$$これさえ導出できれば後は実数のフーリエ級数展開に代入するだけです。複素フーリエ級数展開ケイスケくん、実数のフーリエ級数展開は覚えているね。理系大学生ケイスケフーリエ級数展開は次のとおりです。b_n\,sin\left(\frac{2\pi}{L}nx\right)\right]\tag{3}$$そして、係数$$a_nとb_n$$は次のとおりです。\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)sin\left(\frac{2\pi}{L}nx\right)dx\tag{5}$$それではいよいよ複素フーリエ級数です。実数のフーリエ級数展開の(3)に(1)と(2)を代入します。\end{align*}$$先生、最後のところがどうしてそうなるのかわかりません。理系大学生ケイスケそう、最後のところは辻褄を合わせるために力業を使ったんだ。$$ここは、第一項と第二項の指数関数を同じにするためにちょっとわかりにくいことをしています。最後のところがそのすぐ上の式と同じことを意味しているのはわかるはずです。してこのようなことをしたのかは次に説明するとおりです。\end{align*}$$が成り立つと仮定します。あんなに複雑だったものがとってもシンプルになっちゃったぞ!理系大学生ケイスケ本当にスッキリしましたね。あの力業はこのためだったのです。指数関数を合わせることでとってもシンプルになりました。ここでさらに突っ込んでみると$$c_nもa_nとb_n$$から指数関数で表せるのです。0の場合を見てみましょう。dx\end{align*}$$どちらも同じ結果になりました。0のときはどうでしょうか。0を代入$$したときと同じですね。\tag{7}\end{align*}$$で表せるのです。なんとスッキリしたことか!まとめ実数のフーリエ級数から複素フーリエ級数が導出されました。それはちょっと数学的な力業を用いましたが、複素フーリエ級数がシンプルな形になるということを見通してのことです。最初に結論ありきはいけないのですが、複素フーリエ級数に関して実数のフーリエ級数からどう導出されるのか書いてある参考書があまりにも少ないので、どのように導けばいいのか、その道筋をここで説明してみました。-ナベヤン浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。-リーマン・ルベーグの補助定理の証明をサクッとやってみた区分的滑らか区分的連続とは?世界一わかりやすく説明してみた。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。