一辺$x$の正方形の面積Sは$S=x^2$という式で表現できる$y=x^2$ではなく${S}=x^2$としたが、これはこの図の場合$x^2$に「面積」という意味があるからである。どんな文字を使うかは本質とは関係ない。dx}(x)=2x$であることは、という図から理解できる。dx^2$の部分は無視されている。$y=x^3$の微分を図で考えるとすると立方体が大きくなるところを想像するとよい。\end{equation}となる。dx}=3x^2$である。$x^4$だと絵は描けますか?う〜ん、そりゃ難しい。書くと、のような展開図の物体を「折りたたむ」と4次元立方体ができます(図で同じ色で書いた面を貼り付けるように折りたたむ。不可能に思えるが、4次元に生きる人ならできる!)。8個でできるんですか?はい。それはどういうふうに考えるかというと、「立方体は正方形を動かした後の軌跡」(↓の図)と同様に「4次元立方体は3次元立方体を動かした後の軌跡」(↓の図)と考えて数を数えるとわかります。これは授業が終わった後で思いついたのだけど、x^2の微分の2xの係数を二倍した4は、正方形の境界の線の数。x^3の微分の3x^2の係数を二倍した6は、立方体の境界の面の数。x^4の微分の4x^3の係数を二倍した8は、4次元立方体の境界の立方体の数。\end{equation}と分かる。上の式は$n$が自然数なら正しい。指数が負の整数ならどうなるだろうか。-n$と置き換えただけの式になっている)。指数が整数でない場合についても考えよう。dx$が出せるだろう。\end{equation}がわかる。\end{equation}としてよい。ここまでくれば、「無理数に対しても極限操作で定義すればよさそうだ」とわかる(たとえば、$y=x^\pi$の微分を計算したければ、それは$y=x^{3.14}$の微分に近く、こちらは$y'=3.14x^{2.14}$のように微分できる)で、$\alpha$は任意の実数でよい。この式を見ると微分により${x}$の冪を1ずつ下がることが言える。x}$になる関数はないのかというと、ちゃんとある。微分という演算の持つ性質:線形性よく使う微分の性質について説明しておこう。g'({x})$という言葉はこの後もよく出てくる。dx}g({x})\right)$。dx}f({x})\right)$。二つの性質を合わせ持っているということである。「線形性」とか聞くと「難しい話が始まった」「線形性怖い」と構えてしまう人が時々いるが、上に書いた二つの性質を表現しているだけの言葉だから、心配することはない。自然科学ではこういう性質を持っている計算がたくさん現れるので、名前をつけているだけのことで、たいして難しい内容ではない。ここまで微分の計算をやってきたのだから、以上の性質も納得できるはず。g({x})$を微小変化させてみればよい。dx)^2)$には興味がないので、常に省略する)。この式をあえて図で表現しておくと以下のようになる。\end{equation}のように冪の和の微分も簡単にできるようになった。dx}g({x})$または$(f({x})g({x}))'=f'({x})g({x})+f({x})g({x})$という式。関数の積の微分は「前の微分×後そのまま」+「前そのまま×後の微分」になる。dx$の1次のオーダーの係数(つまり、微係数)が$f'({x})g({x})+f({x})g'({x})$であることがわかる。下の図はこの微分演算の時に行われている微小変化のイメージである。受講者の感想・コメント受講者の感想・コメント青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。グラフだけではなく図形を使っても微分ができることに驚いた。考え方もわかりやすかった(同様の感想多数)。図形的イメージを持って関数の微分を考えるのはとても大事です。微分が面白くなってきた(同様の感想多数)。1.01001000100001...う〜ん、どうだろ。高校までとは違った微分のやり方に慣れてきました(同様の感想多数)。こんな感じの微分のやり方は今後よく使うことになると思うので、慣れていきましょう。高次の微小量は便利だ。使いこなしてください。4次元の世界はどこにあるんですか?現実世界にはありません。x}$を$xy=1$にするやり方は思いつかなかった。いろんな方法を考えてみましょう。「線形」ってもっとすごいものだと思ってた。授業で4次元についてやりますか?残念ながらそのあたりをやっている時間はないです。線形性とライプニッツ。