フーリエ変換について、その導出方法から工業分野への応用例などについてご紹介こんにちは。筆者のma2ka(マニカ)です。今回は『フーリエ変換』について(全三編に渡ってご紹介している本シリーズですがいよいよ今回で最後の第三編)。理工系の大学生から技術系の職種に就かれている社会人の方であれば必ずや聞いた事があるワード、それがフーリエ変換!画像解析や音声解析、X線や紫外線・赤外線などの光を用いた固体物性に関する解析など、工業的に様々な分野で使われている『フーリエ変換』は非常に重要な数学のテクニックだと思います。いざそれを説明しろと言われるとしっかり説明できる人は多くはないのでは?と思います。私もその一人ですが、言葉の概念だけを知っていて分かったつもりになっていますが、その詳細については理解していない所が多い為、今回は筆者の備忘録がてらフーリエ変換についてまとめていきたいと思います。※以降で記述する内容で間違いなどがあるかもしれませんので、その際は本記事の最後にあるコメント欄にてビシバシご意見頂けましたら幸いです。まとめスポンサーリンクフーリエ変換についてフーリエ変換をいきなりご紹介したい所ですが、いきなり紹介するのは難しいので、以下の3編(3ステップ)に分けてご紹介してきました。■第1編:フーリエ級数について(実数のみ)■第2編:虚数を用いた複素形式のフーリエ級数について■第3編:フーリエ変換とは前回の第2編では『虚数を用いた複素形式のフーリエ級数』についてご紹介しました。今回は、第3編という事で『フーリエ変換とは何ぞや?』と『工業的にはどういう使われ方をしているの?』についてご紹介していきたいと思います。ちなみに、第一編、第二編に関しては下記の記事をご参照下さい。(フーリエ級数について)まずは実数形式のフーリエ級数は以下の式で表現されます。導出方法は第一編をご参照下さい。※スマホで閲覧の場合は画面スワイプでスクロールできます。\tag{3}$$続いて、複素形式のフーリエ級数は以下の式で表現されます。こちらの導出方法は第二編をご参照下さい。\)軸)の単位に関して一点補足があります。これまでは角度(ラジアン)を前提でお話ししていましたが、より汎用性を持たせる為にどんな単位でも使えるように変換していきたいと思います。その詳細について次章で説明していきます。\)の単位は角度(ラジアン)を前提としていました。\)がどんな単位でも対応できるようにフーリエ級数の式に少しばかり手を加えていきたいと思います。\)を1周期としている)。\)と置くことにします。\)この置き換えに特に大きな意味はありません。\)を使いたい為の作業です。\)にこだわらず、アルファベットであれば何でもOKです。\)をとっかかりの最初は使いたかったので使用しています。\)を使って定義すると以下のようになります。\tag{7}$$となります。\)に掛けただけのものです。\)ですよって話です。\)で表すと以下のようになります。※スマホで閲覧の場合は画面スワイプでスクロールできます。\)が残ってしまいます。ならないように、ここで置換積分のテクニックを使いましょう。\)を置換すると、(1)~(5)式は以下のように変換されます。※スマホで閲覧の場合は画面スワイプでスクロールできます。\)にして、周期を持たない(非周期)関数の近似を可能にする為の作業に入ります。ここからは、簡略化する為に複素数も含む形式の(5)式のみ扱う事とします。\)になると考えます。式で表すと以下のようになります。※スマホで閲覧の場合は画面スワイプでスクロールできます。\tag{11}\end{eqnarray}$$となります。\sqrt{2\pi}\)と2つに分けて表記しましたが、これは後述のフーリエ変換とフーリエ逆変換のそれぞれの式の見た目を同じようにする為です。\)のままでもOKです。その場合はフーリエ変換とフーリエ逆変換の見た目が少し変わるだけの話です。スポンサーリンクいよいよフーリエ変換さあ、やっとやっとフーリエ変換です。\)にフーリエ変換した式となります。\)で表現した式になります。\)で表現した式が以下の式で、これをフーリエ逆変換といいます。※スマホで閲覧の場合は画面スワイプでスクロールできます。\tag{フーリエ逆変換}$$フーリエ変換の工業分野への応用ここでは、フーリエ変換が工業分野でどのように使用されているかを一つの例を出して説明します。(フーリエ変換赤外分光)物質を形づくっている分子は、分子によって吸収又は透過する光の波長が違いますが、その違いを逆手にとって、吸収する波長から分子の状態を同定する分析手法がFT-IRです。詳しくはググるといくらでも出てきますし、化学系の方なら聞いた事ある測定器のはず。FT-IRは名前にもある通り、フーリエ変換を応用した機器になります。\)を縦軸にとったスペクトルをフーリエ変換して、横軸が波数(波長の逆数)のスペクトルに変換する事が出来ます。波数ごとにどういう分子でどういう状態かについて、これまでの研究結果からデータ化されているので、それと照らし合わせて解析していくという感じです。ちなみに日本分光(JASCO)の以下のページが非常に分かりやすいのです。Amazon調べ-詳細)Amazon楽天市場まとめという訳で、第3編でお送りしたフーリエ変換シリーズですが、やっと導き出すことができました。今後の為にしっかりと頭に叩き込みましょう!私自身がダメ学生だったので偉そうにいえませんが、技術系の道に進むのであればしっかり基礎を学んでおくと、後々めっちゃ楽になるし、知っていると知らないとでは、ある事象を観た時の解析の幅に大きな差が出ると感じます。はい、こんな感じで自分の備忘録がてらにまとめたフーリエ変換でした。\)について式とグラフを用いて解説した記事になります。