場を量子化する際、波動関数の振幅を演算子に置き換えると、なぜ生成消滅演算子になるのか考えます。スポンサーリンクはじめに歴史的に見ると、場の量子化は、量子力学で粒子を量子化したことを参考に、電磁場を量子化して光子を表す研究からはじまっている。簡単に、電磁波の編光を無視した実スカラー場で考察され、他の場に応用されたようである。「運動量\(k\)の粒子が何個ある」と言い換えて、場の粒子性を表した。スカラー場の量子化を考える前に、古典的な調和振動子が、量子力学で生成・消滅演算子を使ってどのように量子化されるか見てみる。(第一項の複素共役を第二項で足しているので、\(x\)が実数であることが保証される)ここで\(a\)は\(t=0\)の時の振幅を表し、定数であることを強調しておく。t})\\&=&2m\omega^2a^*a\end{eqnarray}$$となる。a+\frac{1}{2}\right)\end{eqnarray}$$との対応が見てとれる。基底エネルギーの1/2の項は、\(x\)と\(p\)の交換関係から出てきた値で、古典論では0になる。従って調和振動子\(x\)を量子化するには、\(t=0\)で$$a(0)→\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}a(0)$$のように係数(演算子\(a\)の規格化因子)を取り、振幅を生成・消滅演算子で書き換えれば良いことがわかる。t}\right)\end{eqnarray}$$となる。e^{-i\boldsymbol{kx}+i\omega_\boldsymbol{k}t})$$となる。(調和振動子の\(x\)にあたるのが\(\phi\)になっており、先程と同様に第一項の複素共役を第二項で足しているので、\(\phi\)が実数であることが保証される)そして、ここでも\(a\)は\(t=0\)、\(x=0\)の時の振幅を表していることを強調しておく。この式は、\(\boldsymbol{x}\)を固定して見てみると、\(\boldsymbol{k}\)が異なる独立した調和振動子の重ね合わせになっており、調和振動子と生成・消滅演算子の議論をそのまま適用して量子化できる。ここで調和振動子の質量\(m\)(場なので、以下、密度\(\rho\)とする)を考える。場においては、振動している場自身の質量(のような量)にあたり、実際の粒子の質量ではない。調和振動子を量子化する議論で、質量\(\rho\)は、あくまで演算子\(a\)の規格化因子の中でのみ表れ、質量\(\rho\)がどのような値でも実際の物理(観測値)には影響しない。従って、これより式が簡単になる\(\rho=1\)を採用する。e^{ikx})\)}$$となる。場の運動量(のような量。e^{ikx})\end{eqnarray}$$となる。e^{ik(x-x’)}dk=\delta(x-x’)および\delta(x-x’)=\delta(-x+x’)より)\end{eqnarray}$$となり、場の正準交換関係が確かめられる。確認しているが、それだとなぜ生成・消滅演算子が導出されるのか明確で無いため、逆に生成・消滅演算子から量子化し、場の正準交換関係を確めた。$$[a_\boldsymbol{k},a^\dagger_\boldsymbol{k’}]=\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)、[a_\boldsymbol{k},a_\boldsymbol{k’}]=[a^\dagger_\boldsymbol{k},a^\dagger_\boldsymbol{k’}]=0$$は、断りなく使用している。(”調和振動子の量子化”では、\(\boldsymbol{k}\)が異なる演算子の交換関係を議論しなかった。場のラグランジュ方程式に代入すると、クライン-ゴルドン方程式(波動方程式)が再現されるようにラグランジアンを考えると、$$\fbox{\(\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2\)}$$となる。\phi)}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\right\}\\&=&-m^2\phi-□\phi=0\end{eqnarray}$$となり、確かにクライン-ゴルドン方程式が導かれる。a+\frac{1}{2}\right)([a_k,a_k^\dagger]=1より)\end{eqnarray}$$となる。a_\boldsymbol{k}\)}$$となる。a=N\)は個数演算子であるから、場として計算したエネルギーと生成・消滅演算子から粒子として計算したエネルギーが一致することがわかる。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。