稲荷塾のブログ稲荷塾のホームページ上で連載している「塾長奮闘記」をベースに、塾の情報やためになると思われる話題を提供する。ミニ講座(1)の続き1回に書ける量の範囲に制限があって、収まり切らなかったので2つに分けました。分かり易くするために対応する線分と角に印を付けてみました。すると左の図では円周角が「1本線足すちょぼ」で中心角が「2本線足す2ちょぼ」になっているのに対し、右の図では円周角が「1本線引くちょぼ」で中心角が「2本線引く2ちょぼ」になっていることが確認できます。いずれの場合も中心角は円周角の2倍になっています。いった対応関係を見抜き、「同じ話だ」と感じれるようになると数学の観点が分かって来たことになります。言えばこの2つの場合の違いを、普段のお母さんとパーマをあてたときのお母さんの違いぐらいに感じることが大切だということです。これは簡単な例でしたが、以前チェバの定理を説明したとき、三角形の内部に点をとるときと外部に点を取るときでの議論を「同じですね」と軽く言った生徒がいたのには驚かされました。彼には同じに見えるんだなぁと正直言ってショックを受けました。私には、三角形の外部に点をとるときの議論の方がずっと難しく見えていたものですから、「同じだ」と感じる感性はすごいと思いました。「同じだ」と指摘されてよく考えてみると、不思議に「あぁ同じなんだなぁ」と思えるようになりました。いうことで、理解度にはかなりの個人差があるのですが、数学の勉強を難しいと感じている諸君も、高校数学レベルならある程度の努力で克服して行けるものだと信じてやってほしいと願っています。:このページのトップへミニ講座(1)図を見れば、三角形の2つの内角の和が、残る内角に対する外角に等しいことが分かります。これを簡単に「内角の和は外角」と表現しておきましょう。「内角の和は外角」を使って二等辺三角形の場合は外角が内角の2倍になります。(図)これを組み合わせて、円周角と中心角の比が1対2になっていることが確認できます。すると円周角はどこにとっても同じ大きさになることになりますが、次の図のような場合でも同じでしょうか?これが同じだと感じることが一般化の始まりです。:このページのトップへ中学数学の高校数学に対する位置付け先日東京から家庭教師業をされているという方から電話がありました。私がブログで、教育関係の方に稲荷塾方式を使ってもらうように訴えたからだと思いますが、大体次のような内容でした。「東京の中高一貫校では2年間かけて中学数学をするというのが当たり前になっている。要するに、中学数学の高校数学に対する位置付けを確認しておられるのだと思いました。中学数学はとりあえず一通り終わらせればそれでいいのか、それともある程度の演習は必要なのかということを聞かれていたと思います。これに対して私の思うところを書きます。中学数学は高校数学の準備です。高校数学に入ったときに困らなければいいのです。するとこの「準備」に含まれるものは、知識以外にもいろいろあることが分かって来ます。文字を使って一般化された議論ができないといけないし、逆に一般化された知識が具体的事例に適用できないといけません。いった数学的な見方が自然にできるようにトレーニングする必要があります。数式の処理スピードが遅いのも問題になるので、速くて正確な処理能力も要求されます。幾何の問題を通して思考力を鍛えること、論理的に誰にでも納得してもらえるような証明がかけることも大切です。関数概念を理解し、2つの変数の関係が把握できたり、グラフの利用もできるようにならなければなりません。結局中学数学を一通り終わらせただけでは、これらのことが身に付いたことにはならないと思います。一通りの学習が終われば、全体を短い時間で復習し直し、知識の定着をはかり、さらにその後、できる限りの演習をすることによって初めて高校数学に入って困らない「準備」ができることになると思うのです。それではこれだけの作業をするのにどれだけの時間がかかるでしょうか。2年間かかるというのであれば、それは途中での演習をし過ぎだからじゃないでしょうか。全体像が分からない段階での演習はあまり効果がありません。ドリルはすればするほどいいでしょうが、やり過ぎると飽きてしまいます。うまく計画してやれば、1年あれば十分だというのが私の見解です。以前のブログにも書きましたが、上記「準備」を1ヶ月でこなす子もいます。それは相当に優秀な子についての話ですが、そうでなくても中高一貫校の平均的なところであれば、1年あれば何とかなる筈だと思います。「2月特訓」をした新中1と新中2の子にとって、3月から高校数学に入るのが結構難しかったことを4回のレポートで紹介しました。これから先が長いので、いくらでも挽回することができます。彼らが中学受験をせずに、「小学生の頃から稲荷塾に来てくれていたら」と考えると、もっと可能性を広げることができただろうにと感じてしまいます。この「もし」をもう少し拡大して、中高一貫校でない高校に通う生徒に適用してみれば、もういてもたってもいられない気分にさせられます。この中には優秀な子がいっぱいいるのですが、彼らは自分でじっくり考える間もなく、補習だ、宿題だと追いまくられているのです。まわりのみんなも同じように頑張っているので、その不自然さに気付かずにいるのです。進学実績を最優先事項として追い求めている学校にも問題があります。効率がいい方法があるのにそれを見つけられないでいるからです。問題の本質がカリキュラムにあるのは明白です。今後稲荷塾の主張は徐々に世の中に浸透して行くことになるでしょう。稲荷塾の小学生部に在籍していた子が大学への進学実績を上げ始めるのは、まだ大分先のことになりますが、それを待つ必要はないと思います。それは「稲荷塾の方法が圧倒的に有利だ」ということが明らか過ぎるほど明らかだからです。:このページのトップへ「2月特訓レポート」その4新中1生が3人、新中2生が4人で計7人が参加した2月特訓が一応終了しました。これは2月中に残された中学数学をやってしまって3月から高校数学に入ろうとする試みでしたが、結局3月から高校数学に入ることになったのは、新中2の子ひとりだけでした。無理をすれば、やってやれないわけではないというところまで来た子はほかにもいたのですが、無理をするのが良いのか、じっくり準備をするのが良いのかは結果を見ない限り分からないので、最終的には本人に決めてもらいました。そんなことで、中学数学のクラスの人数が予定していたより多くなってしまいました。要するに定員オーバーになってしまったので、水曜日の7時10分から8時50分までにも中学数学のクラスを作り、金曜日の人数を一部分散させることにしました。定員オーバーと言えば、小学生部の水曜日の5時から6時までのクラスがいっぱいになっており、その他の小学生部のクラスもそんなに余裕があるわけではないので、今年度のようにそこで高校数学のクラスの生徒の補習をすることができません。補習は基本的に土曜日にすることにします。それに伴い、土曜日の利用時間を増やします。チューターは6時からでないと来ませんが、4時から6時の間も2階の教室を使えるようにしました。part2昨日、京大の数学の入試問題が異常に易しかったことに対する不満を述べましたが、これには伏線があります。このところ京大からの論文数が減少し、阪大に抜かれるのは時間の問題だという話を耳にします。これは大学の研究活動の活発さを測る一つの尺度として用いられますが、部外者から見ていてもそうだろうなという感じがします。いうのは、入試問題のレベルが低下して来ているのに合格最低点も低下して来ているからです。塾という立場から京大の入試を20年以上に亘って観察して来た者の実感として、京大の学生のレベルはかなり下がって来ています。これの一つの原因として、工学部の学科統合を挙げる人もいます。統合してできたものですが、そのようにすることによって「何がしたい」という明確な目的を持って入学して来る学生が減ったというのです。同じような現象は北大でも起こっており、細分化された学科を統合することにより、大学のレベルは落ちに落ち、旧帝大としての輝きを失ったと主張しています。要するに文科省の言うことを聞いたところは下がり、そうでないところは生き延びているというわけですが、どうなんでしょうか。東大を見るとこれは初めから学科が統合された形になっていますが、だからと言って東大のレベルが落ちたという話は聞いたことがありません。正直に言って、この学科統合の是非についてはよく分かりません。京大のレベルが落ちて来ていることだけは確かだと思うし、そこに来てこのような稚拙な入試問題を出されると、京大を愛する者としてがっかりさせられてしまうということなのです。:このページのトップへ京大の数学2次試験の1日目が終了しました。みんなの出来はどうだったのでしょうか。そんなことを気にしながら、私はとりあえず京大の理系数学を解いてみました。すると、あまりの簡単さに残念な気分になりました。医学部以外なら、これでもある程度点数がばらけて入学試験になるのでしょうが、医学部合格者はおそらく全員満点になるだろうと思います。入学試験はその大学の品位を表すものであり、その大学を目指す者からすると「こんなに難しいのか、じゃあもっと頑張ろう」と思うようなものでないといけないと思います。それなのに、特に1番などは、稲荷塾の小学6年生の子でも相似の知識だけですぐに解いてしまいましたし、4番の微分を用いて最大値を求める問題も、はっきり言って入門レベルでした。近年京大の問題が易しくなっていることに対して、京大の先生からは採点基準を厳しくしているという話もあったようですが、それは全く方向違いであるように感じます。受験生のことを心配していた筈でしたが、京大の問題があまりにもお粗末だったものですから、ついつい愚痴を書いてしまいました。:このページのトップへいよいよ2次試験が始まる昨日walkmanを買ったと言って喜んでいましたが、語学学習機能の付いていない機種を選んでいたようで、失敗だったそうです。1万9千円もしたので、今更もう1個とは行きません。「真剣勝負を短刀で闘う」を載せたばかりですが、この機械で闘おうと思います。今日から2次試験が始まりました。受験生たちには「自分のできることをすべし」でやってもらいたいと願っています。今日の中学数学のクラスでは、3月11日から始まる数IAの新クラスのためのクラス分けテストをします。同様に数IAのクラスでは数IIBのクラスのためのクラス分けテストをします。それから3月1日から3月10日までは、塾はお休みです。ウォークマンを買いました。使えるようになるまでが大変でした。何らかの設定をして、CDから情報を機械に入れて、そして聴こうと思うところを選んで聴くわけですが、機械オンチの私にはいちいちつまずくことばかりです。そのたびに娘に助けてもらって、やっと一人歩きできるところまで来ました。長い説明書ははなから読む気がせず、どうももっといろんな機能があるようですが、どれどれと学ぶには気力不足です。英語学習のヒヤリング力強化のために使うという最低限の目標が達成されれば、それでいいと思っています。私が大学生のときに使っていたウォークマンはカセットを入れて使うものだったのですが、今はコンピューターから情報を入れるのです。ボタンなどはなく、若者達が使っている(おじさんも使っているって?)スマホのような画面をたたいたり、さっと一掃きするというような動作で操作するのです。機械を傾けたら画面が横を向いてしまったときには驚いてしまいました。そんなレベルでブログなどを書いているなと思われるかも知れませんが、大丈夫、煩わしい作業は全部岡村さんがやってくれました。Part2今日は昨日の続編で、「小さな数学塾のヒミツ」から関連記事を紹介します。稲荷塾の演習のクラスでは4問の課題を各自が自宅で解いて来て、それについて私が解説するという形式を採用している。本来、「塾に来てからその場で考えて、即解答」というふうにやれば、予習時に考えたときから説明を聴くまでのタイムラグもなく、また予習が甘く、十分には考えて来なかった子がいたりするようなこともなく効果的な授業ができる。1つのコマに充分な時間を取ろうとすると、かえって集中力が下がってしまうこともあるし、何と言っても全体の時間割が回らなくなってしまう。そこで、生徒自身の自覚に期待して、意味のある準備がなされていることを前提にいきなり講義を始めることにしている。最初にみんながどの程度できているかをチェックすることは大切で、これは4問の説明に割く時間配分や、どこを重点的に話すかといったことを考える上でとても参考になる。ときに誰も解けなかった問題があり、かつ時間の余裕が作れるときなどはひとつのチャンスで、解法に必要な知識などを確認して、もう一度トライさせることもある。自分でヒントを探し出し解決の糸口を見つけ出すという作業が、できないレベルからできるレベルへ、今まで見えなかったものがその瞬間に見えるようになるという境界線を通過することにより、次は自分で処理することができる段階に一歩近付けると思うからだ。ところで「解けない」理由について考えると、それは単に必要な技術が身に付いていない、要するに勉強不足ということもある。なく、「すみません、勉強不足です」と頭を下げること自体が問題であることも少なくない。最近の授業でこの典型と思われる例があったのでそれを見てみよう。見たことがないような問いかけだった。「意味が分かりにくいし、どうすればいいのかも浮かびにくい。」もちろん誰も答えない。私は続けて「一般的な表現になっているし、内容も抽象的でどこから手をつけたらいいのか見当もつかない。」と聞いてみたところ、O君が何か気付いたようだった。解法のはじめだと私がよく話しているのを思い出したように見えた。手を動かし始めた子もいたし、まだ迷っている子もいたが、2分もしないうちにY君の顔がニタッと緩むのが目に入った。結局この問題、短時間のうちに大半の子が正解にたどりつくことになった。予習段階では誰一人として手がつかなかったにもかかわらずだ。いつもいつも万全の準備をして闘いに臨めるわけではないので、あれができていない、これが不足だと負債感を背負い込み易く、それを言い分けにして一番大切な闘志を失っているようなことがけっこうあるように思う。テニスの西村コーチがこんな話をしていた。「真剣勝負の場に出て鞘(さや)から刀を抜いてみれば、何を間違えたか短刀だった。やるべきことは、短刀でできることをすることだ。逃げることでもなく、自暴自棄になることでもなく、できないことをしようとすることでもなく、今持っている力で戦うことが大切だということだと私は解釈したが、これが難しい。敗戦の理由を自らの外に求めるが、だから自分はどう考え、どうしたのかを反省すべきで、「そんなことないって、稲荷さんの方が強いって!」とコーチに諭されてはじめて、もっと違う闘い方があったことに気付かされることがしばしばだ。:このページのトップへ自分のできることをすべし今日は第4金曜日ということで、ニッシーレッスンに行って来ました。実は来月、約1年ぶりに京都市の試合にエントリーしています。試合に出なくなると練習が甘くなり、ついついお楽しみのテニスになってしまい、気が付いたら肺活量も大分落ちてしまっていました。「これではいかん!」ということでこの1週間軽い走り込みをトレーニングに加えています。その甲斐あって、少し息が続くようになって来ています。そんなことで、今日はかなり食い下がれるのではないかと意気込んでニッシーレッスンに行って来たのですが、ダメでした。「今日は試合が近いから、実戦的にやろう」とコーチは言いましたが、これってどういうことだか分かりますか?レッスンでは約70分基礎練習をして、その後約50分ゲーム練習をするのですが、今日も約70分の間基礎練習はしました。ゲーム中心の練習をするということではありません。上の発言はゲーム練習の前に飛び出したのですが、私も大して気に留めず、私が対戦する相手を想定したようなプレーでもしてくれるのかなぐらいのことを思っていました。ところが全然違いました。実戦で一番いけないのは、無意味なミスをすることです。すごい球を打ってポイントを取れば、気持ちはいいのですが、当然そのようなプレーにはリスクがついて来ます。そこでミスをすると失ったポイント以上の精神的ダメージを受けてしまいます。次は必要以上に慎重になったり、今度こそと無理を重ねたり、正常な判断力も失いかねません。「実戦的にやろう」とは、こういうミスを一切しないという意味だったのです。言って消極的なプレーをするという意味ではなく、自分のコントロールできる範囲で戦略的なプレーをするということなので、1本で決められるよりずっとしんどいのです。私の足が鉛が入ったようになり、その直後息も上がり、それでも走らされるので、地獄を見ました。かかわらず、今日は2時から補習、それに高3生の最後の授業だったのです。初めは起きているだけでつらかったのですが、次第に頭が冴えて来ました。必死に問題を解いている彼らを見ながら、西村哲学を思い出しました。自分のできることをすべし突然ひらめいて実力以上の力が発揮できるとか、何かの起こりそうもない幸運が訪れるというような白昼夢を見るのではなく、自分のできることをきっちりするということが一番大切です。浮き足立ってはいけません。無意味なミスにより滅びてはいけません。そのためにはまず精神的武装が必要です。自然体でリラックスして、持てる力を十分に発揮してほしいと願っています。:このページのトップへ英語に燃える前々回の数IIIの授業で、eが無理数であることを証明して盛り上がりました。調子に乗って昨日、π(円周率)が無理数であることを証明しましたが、難しすぎて、いまいちの反応でした。面白い内容だったとしても、適正な難易度の題材でなければだめだと反省しました。このクラスは高1生と高2生を対象に数IIIのイロハを学ぶことになっています。この頃英語を勉強していると何度も書いていますが、その効果があって少し読めるようになって来ました。これまでは読む内容が簡単なものだったとしても英文が2ページ以上になると、そのまま読み進めるのに苦痛を感じていました。努力の甲斐あって、今は2ページ目に入ろうが3ページ目に入ろうが大丈夫という状況になったのです。すごいだろうということで、「Facebookの面白い友達」に自慢しようとしたら「それは簡単なんです」とあっさりと退けられてしまいました。日本の英語教育を受けて来た我々は、「読む」ことに関してはかなり鍛えられているんだというわけです。問題はちゃんと聴けるかどうかということで、これができるようになるには相当の時間がかかるということでした。しおれましたが、ちゃんと対策は指南してもらいました。ウォークマンにはリピート機能がついており、聞き取れない箇所を何度も繰り返して聞くのに最適だということでした。この週末それを買いに行こうと思います。:このページのトップへ戦略以上に大切なこと戦略を理解することは大切です。稲荷塾の受験戦略を繰り返すと次のようになります。「高3になって受験勉強を始めるとき、入試で問われる内容についてのイロハが身に付いているかいないかが、その後の1年間、順調に成長して行けるかどうかの鍵を握っている。高1の終了とともに高校課程を学び終え、高2の1年間はその演習に充てるのが良い。これを実現させるために中2(または中1)から高校数学に入れるように準備すべきだ」これは稲荷塾の重要な考え方なので、いくら強調しても、し過ぎることがないぐらいです。それ以上に大切なことは数学を学ぶこと自体を楽しむということです。この2月は、新中1と新中2の新入塾生に対して3月から高校数学に入るための特訓をしているという記事を何回かに分けて書いてきました。結論を言えば今年は全員苦戦です。場合によっては3月からは1人も高校数学に入ることができず、1年間じっくり学んだ方がいいということになるかもしれません。そこで、微妙なラインにいる子について、本人と、あるいは保護者の方と「無理を通すべきか、そうするべきではないか」ということについて話し合いを始めています。その中である保護者の方から面白いメールがあったので紹介します。これこそが全てに優先することだと思います。関連する記事を「塾長奮闘記」から転載しておきます。昔、篠原という生徒がいた。「環境問題は俺が解決するんだ」と意気込みながら高2のときに既に難しい化学式を含んだ学術論文を読んでいた。現役で東大に進んだだけあって勉強もよくしたけれど、ソフトボールをするために仲間達と我が家を訪ねて来たり、何か余裕をもった子だった。あるとき彼が「むっちゃおもしろかったけど、読んでみませんか」と言って「ご冗談でしょうファインマンさん」という本を持って来た。確かにむっちゃおもしろかった。結局彼が持っていた5、6冊のシリーズ本を全部借りて読むことになった。言えこれはもう18年も前の話なので、本の内容となるとそのほとんどは忘れてしまっていた。ところが先日息子を連れて本屋さんに行ったとき、彼が選んで来た本がこの本だったのだ。「おお、これおもしろいねん」と言いながら過去の記憶がどんどん蘇って来るのを感じた。このとき買ったのはシリーズのうちの1冊だけだったが、ちらちらとページをめくるとおもしろいことおもしろいこと、どんどん引き込まれて読みたい気持ちを抑えることができない。息子に買ってやった本を「俺が先に読む」と言って取り上げるわけにはいかないから、仕方なく本屋にもう一度行って、関連の本を棚に置いてあるだけ全部買って持って帰って来た。以来2週間に渡って読み続けているものだから、もうすっかりその世界に入り込んでしまった感じがする。感心したり、思わずぷっと笑ってしまったりしながらどんどん読み進めることができるのだが、2つ3つ心に残るところがあって、あれこれと考えさせられた。今回はそのことを書いてみようと思う。ファインマン先生は「ノーベル賞はありがた迷惑。つきとめる楽しみこそが僕のご褒美!」と語っているけれども、これは凄い言葉だ。凡人はどうしても世の中に評価されることが目標になってしまって、それがうまく行かないときに「どうしてなんだ!」と情熱を失い易いものだが、どんなことであれその分野を探求すること自体が楽しければ、どこまでも行くことができる。次に「名前を知ることとそのものを知ることは違う」という科学の姿勢を父親との散歩を通して学んだというくだりにも多くのことを感じさせられた。偉大な人の背後には偉大な両親があったんだと再確認する一方、自分は子供の本性を刺激するような接し方ができて来たのかと問い直す機会が与えられた。それに加えて、点数を取る子と将来伸びて行く子の微妙な違いについても納得のいく判別法が与えられたような気がした。やり方を知っているのと、それが分かっているのとは確かに違うということだ。今チューターとして活躍してくれている中山君は実に不器用な男だった。技術を使って「こうすりゃいいやん」というところを自分流のやり方でするものだから随分損をしていた。数IIIなどの知識量を問う分野に弱点があって高3の秋頃まで「大丈夫だろうか?」と心配したものだった。ところが結果は京大工学部地球工のトップ合格だったのだ。これは彼のやり方が正しかったということだが、いくらなんでもトップは凄い。ここでひとつ注意しておくが、何でもかんでも自分流のやり方が良いと言っているわけではない。ひとつひとつの技術を自分が自然に使えるレベルにまで理解して進んでいこうとする姿勢が大事だということを言っているのだ。これには時間がかかるし、遠回りすることもあるけれども、そういうことは気にするべきではない。このように目の前の点数には不安があっても将来伸びるであろうと思われる子がいるのに対して、全く逆のタイプも存在する。悪い言葉で言えば点取り虫ということになるが、定期テストレベルではそういうアプローチが成功したとしても、もう少し本質的な見方ができるようにならないと早晩だめになることが見えている。自分がこれに近いタイプだと感じたら、取り組み方を早急に改善してほしい。最後にもう1つ、「聞かせてよファインマンさん」の中で「世界一頭のいい男」というタイトルでインタビューを収録した部分があるが、その中で物理学がますます数学的で抽象的なものになって行くのかと問われたことに対して彼が答えているところがある。その答は当然イエスだが、だからこそ「もっと問題がわかりやすくなるように、だれかがその考察のしかたを創り出してくれるか、あるいはますます早くから数学を教えることになるかも知れない」とファインマンは自らの見解を述べている。これこそ我が意を得たりという発言だ。ひとつは大学の数学があまりに広く、かつ抽象的で、一体何に使われるのか非常に見えにくいということが問題だ。工学部の学生などははじめから分からないものだと決めてしまって、単位をとるためだけにわずかの勉強をするというのが一般的なやり方になってしまっている。これではだめなので、誰かがもっと学び易い形に作り直さないといけないし、その上で「だれかがその考察のしかたを創り出す」ということが起こるのだと思う。これは私の守備範囲外の話なので「誰か」に期待するとして、後半の「ますます早くから数学を教えることになるかも知れない」に注目してみたい。現段階では塾の運営上、大学受験に有利になるための方策として「中2から高校数学に入ろう」と訴えているわけだが、実際上この時期はいくらでも早くすることができると私は考えている。高1の年令にならないと高校数学を理解することができないなどということは全くない。中1生にだって小6生にだって正しく準備さえすればちゃんと分かるようになっているのだ。この試みは始めたばかりなので「確かな手ごたえを感じている」という報告をするに留めておくが、近い将来灘を越える集団がここ長岡京市に出現する筈だと予言しておきたい。:このページのトップへアマゾンのレビュー2月の初めから走り続けて来たので、疲れが出ました。