前回次回予告でn点関数を計算すると書いたが、今日は番外編(気分屋なので許してくださいρ(~~))。Feynman核から経路積分というものを導入する。そもそも普通量子力学は正準量子化(物理量が数から演算子として非可換な世界に置き換わる)によって導入される理論であるが、ここ最近では正準量子化よりもこの経路積分を量子化のformalismとしていきなり採用して量子力学の講義をしている大学があるらしい。実際後で見るようにこの経路積分の考え方はとても直観的に納得しやすいものであるためそうなるのもうなずける。ウワサの経路積分をみてみよう。Feynman核の形をみてみると時間発展演算子\(U(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t-t_0)}\)が基底\(\bra{x}\)と\(\ket{x_0}\)にsandwitchされているが、この時間発展演算子を\([t_0,t]=[0,T]\)の区間の中で\(N\)等分することが可能である(下図を参照)。t\right)\ket{x_0}\end{align}$$とすることができる。t\)を連続的に繰り返して得られるものであるから最後に\(N\to\infty\)の極限を取るべきである。t_{N-1}\)に座標の完全系を挿入する。T)\end{align}$$このように全体のFeynman核は微小時間でのFeynman核の”積み重ね”で表される。続けてHamiltonianが運動量に関してQuadratic(\(2\)次)で表される場合すなわち$$\hat{H}(t)=\frac{1}{2m}\hat{P}^2+V(t,\hat{Q})$$で表されるときに(1)式が具体的にどのような形になるかを見ていく。t\right)\ket{x_{j-1}}$$となるが、\(\hat{P}\)は\(\bra{p_j}\)に作用する一方で\(\hat{Q}\)は\(\ket{x_{j-1}}\)に作用して時間発展演算子はc-数となる。t\right)$$次に上式の運動量積分は平方完成をした上でGauss積分として計算できる(この計算は自由粒子Feynman核の計算でも出てきた)。t\right)$$となる。t}}\)は(2)式を代入した時点では\(N\)個あるが一つ目の\(\Pi\)は\(N-1\)までしかCountしないのでその外に残りの1個を出している。j=N\)での和はそれを\((x_0,t_0=0)\)から\(N\)回繰り返すという事であるから\([0,T]\)での時間積分を与える。\left(S[x]\equiv\int_{0}^{T}dt\left(\frac{1}{2}m\dot{x}(t)^2-V(t,x(t))\right)\right)$$となる。この(3)式をFeynman核の経路積分表示と呼ぶ。\(S[x]\)は\(x\)が時刻\(t\)の関数である、つまり\(x(t)\)が粒子の古典的な軌跡である時(一般に量子力学では座標と時間は独立であることに注意)の作用そのものである。普通の関数と違って角括弧を使っているのは粒子の軌跡\(x(t)\)の汎関数(=関数の関数)であることを明示するためである。(3)式がどうして経路積分と呼ばれているのかについて最後に見てみよう。1\)の間を激しく振動する。このように激しく振動する部分は積分をとると上下で互いにCancelしてしまい全体の結果に寄与するのは\(S[x]\)が停留する部分のみとして扱える(下図を参照。この近似は停留位相近似と呼ばれしばしば場の理論をやっているとでてくる。作用が停留するというのは作用原理と同じなので結局この古典極限の下でEuler-Lagrange方程式(運動方程式)が導かれ、経路積分全体には古典解のみが効いてくることになる。(3)は\([0,T]\)までの間を\(N\)分割した各時刻で計\(N-1\)個の無限積分を含んでいるがこれは各時刻で粒子がどの位置\(x_j\)を通過するのか、\((-\infty,+\infty)\)の範囲でその確率を足し合わせている(Feynman核は\(0,x_0\)での状態から\(T,x\)での状態への遷移振幅を表していることを考えると各時刻でその位置を通る確率を考えてそれを全領域で足してあげると見れる)。このような意味があって(3)式は経路積分と呼ばれる。ある状態からある状態まで考えられる全ての”経路”を足し上げて遷移振幅を考えるのが<経路積分での量子力学の考え方>であり、これは古典極限の下である古典解に帰着する。個人的には経路積分の考え方は作用原理に結びつくところもあるため個人的には冒頭で話したように量子力学の講義で量子力学の捉え方(つまり量子化の手法)として最初から経路積分を採用するのは賛成(僕の一番好きな物理法則が作用原理ということもあって(^^))。次回は約束どおりn点関数の計算をします・・・!本ブログは神様を信じている学生の物理ブログです。日々思うこと2019.11.02LCWS2019に行ってきた件。ー物事を深くみるためにーLCWS2019に行ってきた件。ー愛に生きるとはーLCWS2019に行ってきた件。LCWS2019に行ってきた件。