面積が等しく、底辺が同一直線上にあって長さが等しい三角形が、同じ側にあれば同じ平行線に挟まれている。ἐστίν.面積が等しく、底辺が同一直線上にあって長さが等しい三角形が、同じ側にあれば同じ平行線に挟まれている。三角形ABCとCDEの面積、底辺BCとCEがそれぞれ等しく、同じ側にあるとする。このとき、それらが同じ平行線に挟まれていると主張する。なければ、Aを通り、BEに平行な直線AFを引くことができる[命題I-31]。すると三角形ABCとFCEの面積は等しい。同じ底辺BCをもち、同じ平行線BEとAFに挟まれているからである[命題I-38]。三角形ABCとDCEの面積は等しいから、DCEはFCEと等しく、大きいものが小さいものに等しいことになり矛盾である。したがって、AFはBEと平行ではない。同様にしてAD以外のどんな直線もBEと平行ではないことがわかる。よってADとBEは平行である。ゆえに、面積が等しく、底辺が同一直線上にあって長さが等しい三角形が、同じ側にあれば同じ平行線に挟まれている。