与えられた円に等辺で等角な十五角形を内接させること。ἐγγράψαι.与えられた円に等辺で等角な十五角形を内接させること。ABCDを与えられた円とする。円ABCDに等辺で等角な十五角形を内接させることが求められている。ACをこの円に内接する正三角形の辺とする[命題IV-2]。ABをこの円に内接する等辺で等角な五角形の辺とする[命題IV-11]。円ABCDが十五等分されたとすれば、弧ABCは円の三分の一なのでそのうちの五個から成り、弧ABは五分の一なので三個から成る。残りの弧BCは二個から成る。弧BCがEで二等分されたとすると[命題III-30]、弧BEとECの各々は円ABCDEの十五分の一である。BEとECを結び、それと等しい直線を連続して円ABCDに差し合わせる[命題IV-1]。すると、等辺で等角な十五角形が円に内接される。これが求められていたことであった。五角形の場合と同じように、円周を分割する点に接する直線を引くことによって、等辺で等角な十五角形を円に外接させることができる。五角形の場合と同じように、与えられた等辺で等角な十五角形に円を内接または外接させることができる。