円において、中心を通らない二つの弦が交わっているとき、互いに他を二等分することはない。δίχα.円において、中心を通らない二つの弦が交わっているとき、互いに他を二等分することはない。ABCDを円とし、中心を通らない弦ACとBDが点Eで交わっているとき、互いに他を二等分することはないと主張する。互いに他を二等分するならば、AEはECに等しく、BEはEDに等しい。円ABCDの中心をFとし[命題III-1]、FEを結ぶ。中心を通る直線FEが、中心を通らない弦ACを二等分しているから直角に交わる[命題III-3]。したがって、FEAは直角である。弦BDも二等分しているから、FEBも直角である[命題III-3]。ここで、FEAも直角であるからFEAがFEBに等しくなるが、小さいものが大きいものに等しくなり矛盾する。よって、ACとBDは互いに他を二等分しない。ゆえに、円において、中心を通らない二つの弦が交わっているとき、互いに他を二等分することはない。これが証明すべきことであった。