下記にその証明の一例を挙げる(より厳密に証明しようとすればより多くのステップを要する)。規則の健全性と完全性[編集]個々に挙げられた規則の重要な性質は健全性と完全性である。直感的には、これらの規則は正しくしかも他に必要な規則はないということである。これは以下のようにして形式化される。)の値を対応させる関数だと考えることにする。形式的でない言い方をすれば、真理値の割り当てとは、特定の叙述が真になり他は偽になるような「おきうる事態」(またはありうる世界)についての説明だと理解できる。その「事態」においてそれぞれの式が正しくなるのはどんなときかを定めることで式の意味論が定式化できる。どんなときに特定の整式を充足するか、ということを以下の規則によって定める。従うとはどういうことなのかを定式化できる。成立していることだ、といえる。意味論的に帰結する(または導かれる)、という。統語的に帰結する、として定める。これによって推論規則の集合が健全だとか完全だとかいうのはどういうことなのかを定式化できる。統語的に帰結する上記の自然命題論理の規則の集合についてはこれらが成り立っている。別の論理計算の定式化[編集]文法と論理演算子のほとんどを公理によって定め、推論規則を一つだけしか持たないような、他の方式の命題計算を定義することもできる。整式を表すことにする。個々の整式自体はギリシャ文字を含まず、ローマ字と結合子と括弧のみからなっている。公理系1[編集]スティーブン・コール・クリーネによって導入された体系[5]では11の公理と一つの推論規則が用いられる。「含意の推移性」に対応。フレーゲの三段論法[7]と一般的に呼ぶ。「論理積の消去」に対応。「論理積の消去」に対応。「論理積の導入」に対応。「論理和の導入」に対応。「論理和の導入」に対応。矛盾からは何でも導出できる」。平行性は論理積の可換性を反映している。平行性は論理和の可換性を反映している。何らかの制限を加えて論理体系を構成する方法は矛盾許容論理と呼ぶ。命題式の意味論的値付けの可能性を反映している:式の真理値は真か偽のどちらかである。少なくとも古典的論理学においては第三の真理値という可能性は考慮されない。認めないで論理体系を構成する方法は直観主義論理と呼ぶ。推論できるのみを規約する。上記の公理系とこの推論規則から#推論規則節で述べられたのと同じ演繹が可能になる。推論できる」のみを規約する。公理系3[編集]公理系2の、はじめの2つの公理を、以下の4つに置き換えたもの。))}上の3つの公理は、シークエント計算における構造規則の弱化[9]、縮約[10]、転置[11]に対応する。他の命題計算[編集]命題計算は、現在用いられている論理計算の中でも最も単純なものだと言える(アリストテレスの三段論法は、後述の述語論理に吸収されるため、現代論理学では取り扱われることは少ないが、命題計算とくらべて、言語表現を忠実に分析するという意味では、より素朴な考え方だとも言える。推論形式が限定されている点で、形式的にも一見単純である。現代論理の立場から省みると、そのような推論形式の制限は、かえって理論を複雑にする。文構造を主語と述語に分け、量化の概念を導入するなど、より精密だと言える。いくつかのやり方で命題計算を拡張することができる。複雑な論理計算を作り上げるうえで最も直接的な方法は、用いられる式についてより細かいことが言えるような規則を導入することである。分解することを考えると一階論理、または一階述語論理と呼び、命題論理の規則をすべて保ちながらさらに新しい規則を加えたものを得る。(例えば「すべての猫はほ乳類である」から「たまが猫なら、たまはほ乳類である」を推論できる、など。)一階論理の道具立てを使うと、公理あるいは推論規則によって様々な理論を定式化し、論理計算として取り扱えるようになる。有名な例は算術だが、ほかにも集合論やメレオロジーが挙げられる。様相論理は命題計算ではとらえきれないような様々な推論を可能にしている。可能である」が推論できる。多値論理では文の真理値として真と偽以外のものも許容される。(例えば「真でもあり偽でもある」とか「真でも偽でもない」がよく追加される。ファジィ論理では真と偽の間の無限にこまかい「真実である度合い」が導入される。)これらの論理学ではしばしば命題計算とは異なった計算手法が必要になる。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。