三角形の一つの角が二等分され、角を分割する直線が底辺を分割するとき、分割された底辺の二つの部分は残りの二辺と同じ比をもつ。底辺が残りの二辺と同じ比をもつように分割されるとき、その分割点と頂点を結ぶ直線はその角を二等分する。γωνίαν.三角形の一つの角が二等分され、角を分割する直線が底辺を分割するとき、分割された底辺の二つの部分は残りの二辺と同じ比をもつ。底辺が残りの二辺と同じ比をもつように分割されるとき、その分割点と頂点を結ぶ直線はその角を二等分する。ABCを三角形とし、角BACが直線ADにより二等分されるとする。このとき、BD対CDはBA対ACに等しいと主張する。CEをCを通り、DAに平行に引き、BAを延長して交わる点をEとする。直線ACは平行線ADとECに交わっているから、角ACEは角CADに等しい[命題I-29]。ここで、角CADは角BADに等しいと仮定されているから、角BADは角ACEに等しい。直線BAEは平行線ADとECに交わっているから、外角BADは内角AECに等しい[命題I-29]。角ACEは角BADに等しく、また角AECとも等しい。よって、辺AEは辺ACに等しい[命題I-6]。ADは三角形BCEの一辺ECに平行であるから、BD対DCはBA対AEに等しい[命題VI-2]。AEはACに等しいから、BD対DCはBA対ACに等しい。次にBD対DCはBA対ACに等しいとし、ADを結ぶ。このとき、角BACは直線ADによって二等分されると主張する。BD対DCはBA対ACに等しく、BD対DCはBA対AEにも等しい。ADは三角形BCEの一辺ECに平行に引かれているからである[命題VI-2]。よって、BA対ACはBA対AEに等しいから[命題V-11]、ACはAEに等しい[命題V-9]。角AECはACEに等しく[命題I-5]、AECは外角BADに等しく、ACEは錯角CADに等しいから[命題I-29]、角BADはCADに等しい。したがって、角BACは直線ADによって二等分される。ゆえに、三角形の一つの角が二等分され、角を分割する直線が底辺を分割するとき、分割された底辺の二つの部分は残りの二辺と同じ比をもつ。底辺が残りの二辺と同じ比をもつように分割されるとき、その分割点と頂点を結ぶ直線はその角を二等分する。これが証明すべきことであった。