前回はFeynman核のEuclid化を導入、Euclid-Feynman核が有効な量であることを見た。今回はこれらの量をより具体的なケースで計算してみる。自由粒子の場合を簡単のために1次元で考える。この場合のHamiltonianは$$\hat{H}=\frac{1}{2m}\hat{P}^2$$で与えられるからこれをFeynman核の中の位相部分に入れてあげればいい。実際には初期時刻\(t_0=0\)として時刻\(T\)でのFeynman核は$$K(x,x_0;T)=\bra{x}exp\left(-\frac{iT}{2m\hbar}\hat{P}^2\right)\ket{x_0}$$となる。ここからどのように進めるかだが、運動量演算子が入っているので運動量の完全系を挿入してあげることでこれはc-数(演算子でない普通の数)に置き換えることができる。exp\left(-\frac{iTp^2}{2m\hbar}\right)\braket{x}{p}\braket{p}{x_0}\end{align}$$次に後ろについている2つのbraketを計算したいが、これは簡単に求まる。運動量演算子の行列要素\(\bra{x}\hat{P}\ket{p}\)を考えることから始まるがこれは2通りにみることができる。x}\)に置き換わるというものである。x}\braket{x}{p}=\frac{i}{\hbar}p\braket{x}{p}$$となり、結局\(\braket{x}{p}\)を求めるためにはこの微分方程式を解けば良いと言うことになる。Const.)$$とすぐに求められる。(C>0)$$と決まる。よって本来求めたかったbraketは$$\braket{x}{p}=\sqrt{\frac{1}{2\pi\hbar}}exp\left(\frac{i}{\hbar}px\right)$$となる。exp\left(-\frac{iT}{2m\hbar}p^2\right)exp\left(\frac{i}{\hbar}p(x-x_0)\right)$$これで運動量積分を実行できるexplicitな形に持ってくることができた。これを単純なGauss積分に持っていくためには位相部分で\(p\)に関して平方完成をすればよい。T}\right)\tag{1}\end{align}となってこれが最終的な答えである。最後にこの計算結果が確かにFeynman核の初期条件を満たしていることを確認しよう。0\)の極限のもとで(1)式が\(\delta\)関数になっていればよい(Feynman核の満たすべき初期条件は\(K(x,x_0;t_0,t_0)=\delta(x-x_0)\)。詳しくは前のPartを参照)。T}{m}\)の置き換えの下で等しいことがわかる。ちなみに\(\delta\)関数の定義にはよくFourier変換(1をFourier変換すると\(\delta\)関数になる)が有名だがこの表式はGaussianの幅を\(0\)にとる極限で\(\delta\)関数を定義している。言っても(1)式に対してこのような極限をとっても結局は振動してしまうためこの対応が本当かどうか疑わしい。そこで(1)式に\(x\)積分を実行すると確かに\(1\)になりこれが\(\delta\)関数であることが保証された。自由粒子とは言えどこれで記事1つになってしまった...次回は自由粒子の場合のn点関数を計算する。本ブログは神様を信じている学生の物理ブログです。日々思うこと2019.11.02LCWS2019に行ってきた件。ー愛に生きるとはーLCWS2019に行ってきた件。LCWS2019に行ってきた件。