紹介した事の他にも、もし読者に研究テーマがあれば、どんどん記事に追加して欲しい。既存の先行研究などがあれば、教えて欲しい。数学で「サイクロイド」という図形がある。これは円を転がしたときに円状の一点が描く軌跡のことだ。具体的に言うと、右図のような図形だ。(サイクロイドは高校数学で習う。)さらに、円の上で、別の円を転がしたときの外サイクロイドという図形がある。3(青))円の内側上に接するように、別の円を転がすと言う内サイクロイドという図形もある。研究テーマ「円を転がす代わりに、円錐を転がしても、軌跡は曲線図形を描くのではないか?」と、私(利用者:すじにくシチュー)は疑問に思ったのです。この円錐を転がしたときの軌跡図形の、既存の呼び名を知らないので、暫定的に「円錐サイクロイド」と命名する。念のために、グーグル検索で「円錐サイクロイド」と検索したが、まったく出てこない。円錐の外表面に接触する別の円錐を転がすというパターンとか、あるいは円錐の内表面に接触する別の円錐を転がすというパターンとか、があると思う。円錐の場合は、幾何学的にも簡単に計算できると思う。(「簡単」とは言ったが、高校卒業~大学生レベルの計算力は必要かもしれないが・・・、)こうして、"円錐"という三次元図形を転がすことを考えてみると、既存の通常のサイクロイドも、二次元図形の「円」を転がすというよりも、三次元図形の「円柱」を転がすとも考えられる。なんて定義して、はたして何の役に立つのか?」と思うかもしれないが、いちおう、機械工学では、傘歯車の形状が円錐っぽいのだが、傘歯車の表面上で別の傘歯車を動かすことも行いうる。ラック・アンド・ピニオンちなみに、歯のあるレール上で別の円形の歯車を動かす機構をラックおよびピニオンという。数学では、円柱も円錐も、ともに、「二次曲面」という二次方程式で現せる曲面に分類される。双曲面と摩擦車さてさて、二次曲面には、「双曲面」(そうきょくめん)という曲面図形もある。機械工学では、摩擦車という、動力を伝えるための部品がある。この摩擦車には、いろんな形状の物があるのだが、なかには双曲面っぽい形状の物もあるらしい。調べたところ、同じような曲がり具合(「曲率」?)の別の双曲面と、うまくハマッテ、摩擦によって動力を伝えるという機構らしい。(専門家とか協力者とか募集。既存の研究があれば教えて欲しい。双曲型の摩擦車の数学モデルを文献などで探す。モデルが無ければモデルを作る。双曲型摩擦車に応用できるように、サイクロイドの理論を拡張する。みたいな方針を考えている。円錐の母線には、双曲面では線職面が対応すると思う。いう物があって、中心の歯車の周りで別の歯車を転がせる機能がある。転がる物は円だけなく円錐も転がるのは、先ほどの節で考えた。遊星歯車機構の惑星歯車の自転と太陽歯車の公転の回転比についての、多角形モデルの外角で表した場合の原理図。モデルで、多角形のまわりで、別の多角形を転がすモデルを考えた。右図では、六角形のまわりで、四角形を転がしている。対応する歯車機構は、たとえば歯数60の歯車のまわりで、歯数40の歯車を転がす場合などがありうる。(歯数の比が6:4であれば、別に何でもよい。)さて、頂点上で1回だけ転がしたときの回転角の計算には、右図のように図形の外角が使える。ところで、円錐も転がせる。円錐も傘歯車などに対応させることが出来る。・・・と私(利用者:すじにくシチュー)は思った。円錐の代わりに角錐を考えてみると、角錐が転がった時の角度の回転角は、となりあう面どうしの、垂直線のなす角である。一般的に数学では、立体曲面では、面の節平面を考えるよりも、垂直線を考えたほうが、都合がよいことが多い。立体曲面の場合、ある一点の接平「面」は、「線」ではなく「面」という二次元図形になってしまう。ある一点の接線は、一通りには定まらない。垂直線は、立体曲面でも、ある一点の垂直線は一通りに定まる。(数学的には、ある曲線上あるいは曲面上の一点での垂直線を「法線」(ほうせん)というのだが、要は垂直線であるので、この本記事では垂直線と呼ぶことにする。)だったら、「立体曲面上での、ある点の垂直線のなす角を用いれば、立体図形にも外角を拡張できるのではないか?」と思った。円錐や角錐などの転がせる図形は、転がったときの回転角を用いて外角を拡張すればいいとして、問題は「双曲線の場合の外角の定義をどうするか?」である。いまのところ、研究方針としては、双曲タイプの摩擦車を研究するしかないかなあ・・・と思ってる。インボリュートの円錐面および双曲面への拡張[編集]数学にはインボリュートという曲線図形があって、円のまわりに糸を巻きつけ、ほどいていったときの糸の先端の軌跡として説明される。これは、実験する場合は円柱のまわりに糸をまきつければよい。伸開線の法線と円の接線さて、円錐の周りに、紙を巻きつければ、その紙をほどいたときに、曲面図形あるいは曲線図形が出来る。図形の名前が無いので、仮に命名して「円錐インボリュート」とでも言おう。数学的には、簡単に計算できる。円柱も円錐も、幾何学的には2次曲面だから、だったら双曲面も2次図形なので、「双曲面にインボリュートを拡張できないかな?」といった事が気になるわけだ。数学的には、双曲面は紙を、シワ無くは巻きつけられない事が証明されている。双曲面に紙を巻きつけようとすると、かならずシワが出来てしまう。円柱や円錐のような、シワを作らずに紙を巻きつけられる曲面のことを可展面(かてんめん)という。確かに紙は双曲面には巻きつけられない。(日付は署名時の日付)テーマ:微分幾何学の曲線論における、曲率および捩率(れいりつ、ねじれりつ)を、折れ線に適用できるように拡張したい。想定する応用:機械加工における、棒材の折り曲げの自動機械。P_iと表すとしよう。各点の座標を、ぞれぞれP_i(xi,yi,xi)、または単に(xi,yi,xi)などのように書くとしよう。座標(x_0,y_0,z_0)は点P_0の位置である。同様に、座標(x_i,y_i,x_i)も点P_iの位置である。点P_0と点P_1の間は、まっすぐに、つながっているとしよう。同様に、点P_1と点P_2の間は、まっすぐに、つながっている。同様に、点P_2と点P_3の間は、まっすぐに、つながっている。点P_[i-1}と点P_iの間は、まっすぐに、つながっている。点P_iと点P_{i+1}の間は、まっすぐに、つながっている。折れ線の「曲率」の定義をする前に、まず「接線ベクトル」のようなものを考えよう。そのため、点P_0の位置ベクトル(x_0,y_0,z_0)と、点P_1の位置ベクトル(x_1,y_1,z_1)の差を求めよう。)が、接線ベクトルのようなものと見なせる。曲線論では曲率とは、接線ベクトルの(弧長あたりの)変化率だった。折れ線の「曲率ベクトル」を求めるには、この接線ベクトルの変化を見ればよいだけである。「弧長」に対応するパラメータが必要なので、折れ線の点P0からP1までの長さをL_0と書く事にしよう。同様に、P1からP2までの長さは、L_1と書くことにする。)折れ線に拡張した「曲率ベクトル」の式は、たぶん、こんな感じだろう。上の式を、ベクトルの大きさが1になるように正規化した式であろう。説明の簡単化のため、折れ線の初めのほうの点P0、P1、P2などを用いて説明したが、ともかく隣り合う点でありさえすれば良い。一般の場合の、折れ線のとなりあう点P_[i-1}、点P_i、点P_{i+1}でも、同様に曲率は定義できるだろう。折れ線の「曲率」(?)を求めるには、となりあう点が3つ以上、必要になる。となりあう3点の位置ベクトルが、「曲率」の計算に必要である。幾何学的には、ある3点が与えられれば、その3点を通る平面は一通りに決まる。この事実は中学校あるいは高校で習う。ある平面に垂直なベクトルの向きは、平面の表裏を無視すれば、一通りに決まる。ある3点を通る三角形に垂直なベクトルは、一通りに決まる。この3点と平面の関係を、折れ線に適用すると、つまり、点P0および点P1、点P2を頂点とする三角形に垂直な垂直線ベクトルの向きは、ただ一通りに決まる。この点P0、点P1、点P2を頂点とする三角形の垂直線ベクトルは、外積で求められる。書くとすれば、符号を無視すれば、(P1-P0)×(P2-P1)で求められるだろう。ベクトルの大きさを1にするために正規化したベクトルになるだろう。いう関係だろうか?折れ線の「捩率」[編集]で、興味があるというか、書きたいのは捩率の式である。先ほど求めた、となりあう点から作った三角形の垂直線ベクトルの式が、活用できそうである。ベクトル(P2-P1)×(P3-P2)との成す角で、捩率っぽい量が求まりそうである。成す角がゼロのとき、捩率もゼロにならないとマズイので、こういう計算には外積あるいは行列式が使えそうである。元々の思考では「折れ線」という1次元の図形である線を考えていたはずなのに、いつのまにか面の垂直線などのように、2次元の図形である面を考えている。1次元の折れ線から、となりあう3点を元に三角形をくっつけていくという操作を続けていくと、2次元図形の帯(おび)になる。4次元空間内の折れ線への拡張[編集]三次元空間内の折れ線では、捩率の定義には、2本の垂直線ベクトルが必要だった。4次元空間内の「折れ線」(あるいは「折れ面」?)の、曲率とか捩率は、どう定義するべきだろうか?とりあえず、ユークリッド4次元を考える。ユークリッド4次元とは、単に点Pの座標変数が、P(x,y,z,w)のように4つになっただけの空間のことである。4次元空間内では、となりあう4つの点(たとえばP0,P1,P2,P3)があれば、中学校レベルの連立方程式の事実から、平面(4次元空間内の3次元「平面」)が一通りに決まる。4次元空間内では、3次元の面を持つ図形であり、頂点の最小の図形とは、「4角形」である。3次元空間内では、2次元の面を持つ図形であり、頂点の最小の図形とは、「3角形」であった。同様に、4次元空間内つまり(3+1)次元空間内では、3次元つまり(2+1)次元の面を持つ図形であり、頂点の最小の図形とは、「(3+1)角形」つまり「4角形」である。この4次元空間内の4角形をもとに、4次元折れ線の捩率などの計算が出来るだろうか?「折れ線曲率」の英訳[編集]ちなみに円弧などのような滑らかな図形の曲率は英語で「curvature」(カーブチュア?)だ。折れ線などのように折り曲げる場合は、「bend」(ベンド)と言い、カーブとは言わない。折れ線の「曲率」を、もし「curvature」と命名してしまうと、英語圏の外国人に誤解を与えてしまう。ratio」とでも仮に命名していく。応用[編集]機械工業だと、現実に、棒材などを折り曲げる加工がある。先ほどの理論、折れ線の「曲率」および「捩率」の理論を参考にできないだろうか?というより、そもそも私(利用者:すじにくシチュー)は棒材を折り曲げるための角度計算をしているときに、先ほどの折れ線の捩率の理論が思いついたのである。機械仕掛けで、自動的に棒材を折り曲げる装置を開発しているメーカーもある。人間が手動でパイプ・ベンダーなどの工具を用いて棒材を折り曲げる場合なら、いちいち幾何学的な計算する必要は無い。機械やコンピュータなどでオートメーション化する場合は、完成予想図を元に、折れ線の捩れ具合とかの計算が必要になるはずだ。機械工学の本を読んでみたが、捩率の拡張などの話題は寡聞にして読んだことも聞いたことも無い。そもそも日本の大学の機械工学科では、微分幾何学の曲線論を習わないのが一般である。折れ線論・折れ面論[編集]これらの理論を「曲線論の折れ線への拡張」とかと毎回、呼ぶのは面倒くさい。「折れ線論」と名づけよう。ついでに、微分幾何学に対応して「差分幾何学」とでも呼ぼう。微分幾何学の本を過去に読んだ限り、少なくとも寡聞にして「差分幾何学」という用語なんて、読んだ記憶も無い。「曲線論」の差分化を「折れ線論」と呼ぶなら、じゃあ「曲面論」の差分化は「折れ面論」とでも言おう。(日付は署名時の日付)前述までの各章節の理論では、面の垂直線に注目することで、角錐とか折れ線とかのような、滑らかでない図形についての、さまざまな性質を考察してきた。面の垂直線に注目する事で、2次元的な図形を、3次元に拡張してきた。この「面の垂直線に注目する」方法で、「角度」という2次元的な量を3次元的な量として、定義を拡張できないだろうか?(このテーマは機械工学と言うよりも数学のテーマだろうが、本記事の前述までの議論を利用するので、この記事に書く。)ちなみに、私(利用者:すじにくシチュー)はべつに数学者でも幾何学者でもないので、もしかしたら私が知らないだけで、ひょっとしたら数学の理論には「角度」の定義の拡張などをした先行的な研究とかがあるかもしれない。この節で考えたいのは、難解な数学理論による幾何学量の拡張でなく、中学生とか高校生でも計算あるいは測定できそうな、もっと初頭的な発想によって、角度の定義を拡張したいのである。つぎの初頭幾何学的な事実に注目する。正四面体の1つの頂点の周りの面数は3個。立方体の1つの頂点の周りの面数も3個。正12面体でも、1つの頂点の周りの面数は3個。正多面体にかぎらなければ、直方体などを考えると分かるように、多くの多面体の頂点まわりの面の数は、少なくとも3個以上である。立体図形の1頂点まわりの面数は3個とは限らない。正多面体でも正8面体は、1頂点まわりの面の数は4個である。正20面体にいたっては、1頂点のまわりに5個の面がある。角錐では、たとえば4角錐では、1頂点のまわりに4個の面を持つ頂点がある。5角錐では、1頂点のまわりに5個の面を持つ頂点がある。どの場合も、1頂点のまわりには、少なくとも3つ以上の面がある。この現象に注目し、立方体や四面体などのように、立体図形で、1つの頂点のまわりに3個の面がある場合に、とんがり具合を表す、角度のようなパラメーターを定義したい。正8面体のような1頂点に4つ以上の面がある場合については無視をする。立方体とか正四面体のような、3個の面が1頂点のまわりにある立体図形の場合を考える。平面図形の場合は、多角形の1つの頂点あたりの角度そのものによって、その頂点での、とんがり具合を表せる。3次元図形の場合、とんがり具合の量の定義の話題を聞かない。"多角形での、1つの頂点あたりの角度"とは、1つの頂点のまわりの「2辺」のなす角度である。これから理論を拡張して定義たいのは、1つの頂点のまわりの、3つの面のなす、「とんがり具合」的な量である。面には接線ベクトルの方向が無限個あるので、接線ベクトルを考えると不都合である。面の接線ベクトルの代わりに、面の垂直線ベクトルを考える。平らな面の垂直線ベクトルの方向は、表裏を無視すれば一通りである、という幾何学的事実がある。面の垂直線ベクトルで、面の方向を代表する。面に垂直な垂直線ベクトルが、1つの頂点のまわりの3つの面に対応し、1頂点周りの垂直ベクトルも3つ出来る。この3つの垂直線ベクトルを行列または行列式で表したもので、定義できるのでは?立体図形を考えてるので、垂直線ベクトルの次元は3次元である。垂直線ベクトルを3つ並べた行列の次元は、3×3の3次正方行列である。行列式に注目したかと言うと、「ベクトル外積」は行列式と似た性質があるからである。2次元図形の場合の多角形の1頂点まわりの角度は、となりあう各辺のなす角度を求めるには、接線の為す角度を求めるのが一般的だが、かわりに垂直線どうしの為す角度を求めても、1頂点まわりの角度を求められる。垂直線を使った1頂点周りの角度の定義では、ベクトル外積で1頂点まわりの角度を計算できる。3次元以上の図形に角度の定義を拡張するには、ベクトル外積に性質の近い行列式で、拡張できるのでは?たとえば、3次元図形(つまり2+1次元図形)では、1頂点まわりの「角度」のような量の表現は、垂直線を使った定義では、1頂点まわりの3面(2次元図形の2辺に対応)のなす角度は、行列または行列式(2次元図形のベクトル外積に対応)で表せるのでは?もちろん、必ずしも立体図形の1頂点まわりの面数は3個とは限らない。4角錐では、1頂点のまわりに4個の面を持つ頂点がある。5角錐では、1頂点のまわりに5個の面を持つ頂点がある。逆に角柱では、上面と底面を無視して、柱の高さが無限長とすれば、そもそも頂点がなくなる。検証していないので適当なこといっているかもしれませんが...実はw:立体角というのがありまして、数学というよりはむしろ物理や工学方面でよく知られていると思います。平面角が単位半径の円弧の長さで定義できたように、立体角は単位半径の部分球の表面積で定義されます。いう対応があった平面角と異なり、立体角は行列式との対応関係は書き表すことができません。これは、「行列式が等しい」による頂点の同値関係と、「立体角が等しい」による頂点の同値関係が異なるためであり、解決できないものです。平面角とちがっているのは、立体角が同じでありながら「合同でない」頂点が存在するという点で、(針のように尖った頂点と、刃先のように平たく潰れた頂点を考えてみれば良い)このせいで合同変換で不変であるという条件を満たしながら、同値関係すら異なる「角度」の測り方を設定できてしまうというわけなのです。ある「立体角」なら知ってます。ここで提唱した量は、立体角とは別で、「立体角とは異なる方式の、三次元の角の定義ができるのではないか?」という提唱です。コンピューターで立体画像処理とかをするとき、3D-CGなどで見られるポリゴンのような差分的な面で近似する場合もあるのだから、そのようなポリゴン的な3次元の角の拡張も必要ではないかと思うのです。私が知らないだけで、すでに他の誰かが考えてるかもしれませんが。3Dポリゴンなんて数十年も前から研究され実用化されてるので、誰かが先行研究してるかもしれません。行われてるかもしれません、と思いました。連続体での力場の分布のような物を演算するのに用いられており、トンガリ具合を端的に表すのには対応していないと思います。三次元の角錐や円錐は、平面状で転がすことが出切る。円錐をxy平面状でy軸方向に転がし始めると、左回りに左折していく。仮に、この左折の度合いを「左折度」(させつど)と言おう。左折度をスカラー的な代表量としよう。この左折度による角度の拡張の場合、2次元の(通常の)「角度」との対応付けが難しい。集合論で考えたほうが正確である。ある頂点のトンガリ具合は、ある頂点に隣り合う面の集合として考えよう。以下、面の集合のことを「面集合」などと言うことにする。ここでいう「集合」とは、高校数学で用いるような素朴集合論である。べつに現代数学の最先端のような集合論を考える必要は無い。行列ではトンガリ具合を定義しないことにする。同様に行列式などの行列に関連する演算でも定義しないことにする。仮に行列による定義の場合、和差算などの行列演算の解釈が不明だし、それに転置行列や行列式やトレースなどの解釈なども不明だからである。そのような解釈の不明な演算を要する行列による定義よりも、解釈の分かる面集合そのもので定義したほうが良い。実際に対象の面が存在しているのだから、面の集合で考えれば済む。そもそも現代数学は集合論に基礎を置く。立体角のような数値や「トンガリ具合」のような量は、利用者の必要に応じて、面集合から演算して考えれば済む。用途によっても、どのような関数で代表したいかも変わってくるだろうから、いちいち代表の量を限定しないでおこう。角度や立体角のようなスカラー的な量を定義しない。「測度」を定義しないでおく。ここでの「測度」とは、単に、スカラー的な量、スカラー的な代表値というような意味合いで使っている。用途によって適する代表方法が変わるというのは、たとえば物理学の電磁場とか流れ場とかを演算したい場合なら、「立体角」で、数値的に代表させれば便利なだけだ。角錐や円錐、楕円錐などを転がす問題を考える場合なら、「立体角」だと異なる転がり方を区別できなくて不便だから、対策として例えば、実際の転がりでの左折具合に基づいて左折度を定義したり、あるいは各面の形状の情報に戻って必要な演算をしなおすというだけのことである。だいたい面の方向の情報だって、べつに法線でなくても現せる。その面の内部3点を指定すれば、表裏を無視すれば(正負の違いを無視すれば)、面の方向を表せる。法線の集合を考えるよりも、面の集合を考えたほうが、より一般的である。頂点まわりの面法線の集合を考えたい場合は、必要に応じて考えれば良い。3次元でのある面の向きだけを考えるときは、3点の位置ベクトルによる情報量だと3点×3次元で9変数の情報が必要だが、法線ベクトルを用いれば記録すべき情報量は法線ベクトルの各次元の3変数だけを記録すればよいので、法線の代表だと情報量が減らせるから用途によっては便利だね、というだけに過ぎない。線形代数でいう回転行列の幾何学の理論だと、(つまりアファイン幾何学、あるいは高校風に言えば一次変換の幾何学だと、)回転行列によっては2個のベクトルのなす角が変わらないことが定理である。面集合で表した3次元のトンガリ具合について、回転行列を施したい場合は、必要に応じて面集合から2個のベクトルを取り出せば良い。面集合から、どんな2個のベクトルを取り出そうが、その2個のベクトルのなす角は回転行列によって不変である。四角柱の法線ベクトルについて、正方形を積み重ねた四角柱と、長方形を積み重ねた四角柱とは、(両方とも高さは無限大とすると、)まったく違う物体であるが、しかし、法線ベクトルは一致してしまう。このため、上記の角錐の仮説は、角柱には適用できない。要するに、数学的に言えば、角柱については、法線は図形と一対一対応しない。角柱については、反例がすぐに見つかるが(正方形柱と長方形柱)、しかし、角錐については、反例を聞かない。仮説「角錐については、トンガリ部分の形状と法線はユークリッド幾何学的に一対一対応する」だろう。等方的に拡大縮小すれば同じになる相似図形は、ここでは1つの図形と見なす。ここでの前提になっている空間の定義は、3次元ユークリッド空間(日本の高校数学などで利用する立体図形用の普通の空間座標のこと)とする。下記のような理屈だろう。2÷10と、3÷10は、違う数値である。2÷1000と3÷1000とは、その誤差は小さい。2÷10000と3÷10000は、もっと誤差が小さい。本来、数学的には2と3は違う数値だが、しかし、割る数(上記の1000や10000の部分)を高くしていき、2÷10000と3÷10000を比べれば、実用的には、ほぼ同じ量である。同様に、本来は違う図形である「底面が正方形の角錐」と「底面が長方形の角錐」が、しかし、高さを高くしていくほど、法線が一致してしまうのだろう。このため、2次元ユークリッド幾何学でも、長方形と正方形の法線も、一致してしまうのだろう。ついて、この3つの法線単位ベクトルを原点Oから書いて、これら3つの法線単位ベクトルの先端の頂点を結んだ図形もまた、ある三角錐Hのトンガリ1点の周辺図形となる。このような操作を、仮に「法線共役」と名づけるとする。なんとなく、ある三角錐Aの法線共役図形(仮にBとする)の、そのまた法線共役図形(仮にCとする)は、もとの図形と相似的な意味で一致しそうな感じがする。三角錐Aと三角錐Cは、相似である。