は$5$で最大何回割り切れるか。本問は単純に$5$で何回割り切れるかを調べるだけでOKですが、その前に与式について調べておきます。順に求めれば良いことになります。順に調べていっても良いですが、ここでは$$2018=2000+18$$と表せることに注目してみましょう。\end{align}$$赤字部分は$5^4$の倍数なので、$2018^{30}$を$5$、$5^2$、$5^3$、$5^4$で割った余りは、$18^{30}$を$5$、$5^2$、$5^3$、$5^4$で割った余りにそれぞれ等しくなることが分かります。$5$で4回以上割り切れるときは、末尾から数えて2つ目の項も考えなければなりませんが、今のところは$5$で割り切れる回数が$3$回以下と仮定して$18^{30}$のみを計算することにします。ここで$18^{30}$の計算に突き進む前に、もう少しラクができないか考えてみます。何回$5$で割り切れるかを調べることが目的でした。因数分解できるため、次数を減らすことができてかなりラクができそうです。考えることにしましょう。\end{align}$$となるので、$2018^{5}$を$5$の冪で割った余りがポイントになりそうです。これより、$18^{30}$を直接計算するのではなく$18^{5}$について調べれば比較的簡便に余りが求められそうだと予想できます。$18^{5}$の下4桁は$9568$となるので、$18^{5}$を$5^4$で割った余りは$193$と求められます。\end{align}$$と計算できます。$498$となることが言えます。負の剰余計算が苦手という方は素直に正の値で計算していくべきでしょう($-57$が$568$になっても大して計算の手間は増えませんよね?)。$5^4$で割った余りは$500$であることが分かりました。は$5$で割り切れないことが言えます。(コメント)二項展開からせっせと計算するのも手ですが、計算ミスが発生しやすいので今回は因数分解を利用してみました。これにより、ある程度は計算を省力化できるのではないでしょうか。「$5$で割り切れる回数が$3$回以下だろう」というのは完全に当て推量です。考えている、というだけです。18^{29}$も計算に含めて考える必要があります。さんコメントありがとうございます。ご提示頂いた方法だと煩雑な計算はほとんど不要ですね。合同式の法の取り方に悩むこともありませんので、非常にスマートな解法だと思います。別解のご提供に感謝致します。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。