diary2018-06-02解析幾何学の意義ゼノンのパラドクスとは何についてのパラドクスだったのか、ブロック宇宙モデルと現在主義はどこが異なるか、「可能無限」と「実無限」は何が同じで、何が異なるのか、等々の問題を通じて、世界の中の運動変化を表現する言語、装置としての幾何学に迫ってみよう。「自然の数学化」は「幾何学の代数化」、つまりは解析幾何学によって可能になったことを見てみよう。デカルトと解析幾何学1637年にデカルトは、「我思う、ゆえに我あり」と唱え、自らの哲学の核心をフランス語でわかりやすく書いた『方法序説』を出版する。これは近世合理主義哲学の基礎を築いたとされる書物だが、序説はあくまでも序説で、その後に大部の科学論考が三つ続く。このうちの『幾何学』は座標を使って幾何学の問題を代数的に解く「解析幾何学」を創始した重要な書物である。<記号代数学の完成>ギリシャ時代に既に無理量の発見があったが、それが「実数」の発見とは必ずしも一致しないことに注意したい。「A」:「B」=「a」:「b」を立てることは、私たちにはできても、彼らにはできなかった。長さbというような変形は、(面積と長さの比という,ギリシャ的にみると全く意味のないものになるために)許されなかった。aという積に関する式の方は、両辺を立体の体積とみることによって、理解できる。ギリシャの理論数学においては、一般的な意味での実数の概念がなかったし、それに伴って一般的な意味における実数の商や積の概念もまたなかったようである。世紀においてすら公認の学問的論証に使える最高の理論だったということは,十分わきまえておかねばならない。デカルトの『幾何学』の成果の一つは、記号を使った代数学の完成である。z,...で表わし、区別した(つまり、固有名詞と指示代名詞の区別である)。デカルトは古代ギリシャ以来の伝統だった「次元へのこだわり」を取り払ってしまう。長さという量を2つ掛け合わせると面積になり、3つ掛け合わせれば体積になるが、面積と長さを加えたり、面積と体積を加えたりすることは(形而上学的に)意味がないものとして、それまでは固く禁じられていた。デカルトは巻頭で「幾何学のすべての問題は、作図するために必要ないくつかの直線の長さを知りさえすればよいということに容易に還元することができる」と述べた後で、加減乗除および累乗根の作図法を述べている。単位を導入して、何次の式でも直線上の長さとして表されるとしたのである。これによって古代ギリシャの次元の束縛から離れることができたが、これこそが近世数学誕生の瞬間なのである。<変量の導入>もう一つ重要なことは、この融通無碍の数式の表現法完成と密接に関連している。どんな曲線も式で表すことができ、その式を分析することによって曲線のすべての性質が明らかにできる、とデカルトは考え、いくつもの曲線を取り上げて分析をしている。indeterminèes,不定量)の考え方が初めて可能になったのである。17世紀全般にデカルトとフェルマーによって解析幾何学が導入され、ヴィエトにも既に幾何と代数の融合の試みが見られる。Infinitorum)』(1748)では現在とほとんど変わらない扱いになっている。2005)を使って確認してみよう。ユークリッド幾何学は直定規とコンパスによって描くことができる(構成可能な、作図可な)幾何学的図形を対象にし、ユークリッドは「任意の二点間に直線を引くことができ、任意の中心と半径の円を描ける」と仮定した。彼が証明する命題はみな直線と円からつくることができる図形についてのものである。中でも直角と平行線が作図において特別の役割を演じている。図形が動くことを使った合同の証明を見てみよう。命題4の証明が最初である。二つの三角形の二つの対応する辺が等しく、それら辺の間の角が等しいなら、残りの辺や角も等しい、という内容である。ユークリッドは一つの図形を動かし、角と辺が一致することによって合同を証明したが、現在ではこれを公理として認めてしまう。その方が運動という概念を幾何学に導入することより簡単だからである(同書、p.24)。このような直接の「動き」の導入は直定規とコンパスによって合理的にどのような作図が可能かの範囲を明らかにすることにつながる。よる操作と同じものであることが明らかにされる。p.41)ユークリッドの幾何学には多くの暗黙の前提が使われている。正三角形の作図という彼の最初の証明においてさえ二つの円の交わりが点をもつとされているが、彼の公理からはそのような点の存在は保証されない。ヒルベルトの公理系には基本的な公理のほかにアルキメデスの公理、デデキントの公理が採用されている。gaps.と表現できる。繰り返しになるが、座標系の導入は1630年代にフェルマーとデカルトによって考えられ、それを最初に出版したのがデカルトだった。それによって、幾何学は大きく変わり、幾何学の算術化が具体的に実行された。実数Rは線のモデルに適していた。実数はギャップをもたない。実数の各数は点が線の上に並んでいるように順序良く並んでいる。それゆえ、ユークリッド平面幾何学のあらゆるもののモデルをつくるのに使われた。各点が各実数である実数直線Rが存在すると、各点が実数の順序対である実数平面も存在する。すべての直線は同じような形式の方程式をもち、一般的に次のように表現できる。0.このように表現できることから、方程式が直線や曲線が何かを定義し、それら方程式がユークリッドの公理が何かのモデルを供給し、幾何学は実数の性質から導き出されると言ってもよいことになる。ここからその後の幾何学のさまざまな展開が出てくることになる。<ユークリッド幾何学=点のある幾何学、点から始まる幾何学>ユークリッド幾何学は定義から始まるが、その最初は「点とは部分のないもの」という点の定義である。無定義語の「部分」を使って、点が部分をもたないものと定義されている。その点にサイズがあれば、その半分のサイズが考えられ、それは元のものの部分であることから、点には部分があることになり、これは定義に反する。それゆえ、点にはサイズがないことになる。ユークリッド幾何学はサイズのない点から始まる幾何学、サイズのない点からなる幾何学、つまり、大きさをもたない点の幾何学である。点から始まり、点を集めて線が、線を集めて面が、さらにはいろんな図形がつくられることになる。『原論』のこの出発点は大変奇妙である。サイズのないものは存在できないし、存在したとしても感知できない。物理的に存在せず、知覚経験もままならない。サイズのある点からスタートする、現在のように数学と物理学が協同して世界を探求することができなくなってしまう。ここにユークリッドの、そしてギリシャ数学の格段に優れた慧眼を見出すことができる。この神秘的な、サイズのない「点」が図形だけでなく、すべてのものの表現を司るものとして現在に至るまで、そして私たちの生活世界にまでその効力を発揮しているのである。その後、点は実数と対応関係があることから幾何学の代数化が進み、いわゆる解析幾何学がデカルトによって生み出される。空間内の点の偏在は空間内の対象の位置や運動変化を表現する値として使われ、いつでもどこでも確定した値がある世界のモデルとなった。有限の点しかない幾何学は無限の点、それも連続した点をもつ幾何学とは随分異なっている。私たちには点のない幾何学は考えたこともないような幾何学であり、それは非ユークリッド幾何学より想像しにくいだろう。<点の効力の拡大>「点」の役割はユークリッド幾何学で初めて気づかれ、解析幾何学でその範囲が飛躍的に拡大する。ような4段階で「点」の効力が拡大し、点によって対象が構成され、点によってそれが表現され、点によってそれが測られるというモデルが確立する。これが力学モデルの基本であり、古典的な時間、空間と、その中での運動変化の記述が、点からスタートする表現装置=実数によって成し遂げられることが見て取れる。零の発見がインド数学の優れた功績と言われてきた。それは、例えば、次のように表現されている。「かくして零の発見、単なる記号としてばかりでなく、数としての零の認識、つづいては、この新しい零という「数」を用いてする計算法の発明、これらの事業を成就するためには、けっきょくインド人の天才にまたなければならなかったのであった。p.20)この引用の中には二つの零の発見が述べられている。それらは、次のようにまとまられるだろう。:位取り記数法を採用すれば、空位を表す記号が必要になる。位取り記数法は、数字を入れる位置、いわば「箱」が指定されているから、そこに何かの数字をいれなければ記法が完成しない。このような意味での零の用法は、エジプト、バビロニア等の古代文明の中でそれぞれ独自の形で見られる。:演算の対象としての零を最初に発見したのがインド人で、記号としての零の段階までではまだ「零の発見」と呼ぶには十分ではないだろう。零は他の数と同じように計算でき、真に数の一つとなった。同じように、点の二つの意味を考えることができる。記号としての点と、図形(あるいは幾何学の対象)としての点である。零は記号としての発見の方が遥かに早く、インドでも数としての零が最初から存在していた訳ではなかった。『原論』の定義の最初にあるように、点は幾何学的な対象としてまず登場する。それが記号として認識されるのは解析幾何学においてであり、対象の位置を表現する記号として重要な役割を担うことになる。表示するための記号としての点と存在するものとしての点は零の二つの意味と対応しており、後に点と数との対応が明示的になる出発点となっている。対象として認識され、それがさらに別の対象を表示するための記号として使われる、これが点の歴史である。次の事柄も大変興味深いものである。『原論』をベースにしてユークリッド幾何学を学び始めて気づく...2018-05-31『原論』あるいはユークリッド幾何学とはどのような知識なのか?人類が生活世界で発見し、大いに頼った原初的な数学概念は「多...2018-05-25理論と物語と、そして...以後の話に登場する主人公は理論と物語である。戸隠、鬼無里の伝説:地名の由来ハコベ(春の七草)私たちの心の働きは自然数論をどのように変えるのか月別アーカイブはてなブログをはじめよう!huukyouさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。