増減、グラフの凹凸、変曲点を調べて、そのグラフをかけ。横浜市立大学(2017年/前期理系第1問(3))関数$f(x)$を$$y=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$$とする。このとき、導関数$f^{\prime}(x)$の最大値を求めよ。上に定点$\mathrm{A}(0,1)$と動点$\mathrm{P}(x,y)$(ただし、$0<|x|<1$)をとる。この2点を通り$y$軸上に中心をもつ円を$C$とする。点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$に限りなく近づけると、円$C$の半径はどんな値に近づくか。(1969年/第1問小問(1))辺の長さが$a$の正八面体(合同な$8$つの正$3$角形で囲まれている立体)について、次の問いに答えよ。(a)相対する頂点の間の距離を求めよ。(b)相対する平行な面の間の距離を求めよ。名古屋市立大学(1975年/第1問小問(1))(1)1辺の長さが1の立方体がある。この立方体の$8$つのかどから合同な正三角錐を切り捨て、立方体のもとの面が正多角形になるようにする。このようにして得られる立体の体積を求めよ。※正八面体お茶の水女子大学(1991年/前期理系第3問)半径$1$の球に内接する正四面体の$1$辺の長さを求めよ。北海道大学(2005年/前期文系第4問/前期理系第5問)半径$1$の球に内接する正四面体の一辺の長さを求めよ。(2012年/(医)第4問)一辺の長さが$a$の正八面体の体積と、その正八面体に内接する球、外接する球の半径を求めよ。奈良教育大学(2015年/(教育)第1問)一辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$a$で表せ。\mathrm{ABC}$は鋭角三角形とする。\mathrm{ABC}$と合同な四面体が存在することを示せ。$\mathrm{OABC}$は、各面が互いに合同な三角形である。して、$a$、$b$、$c$は互いに異なるとする。辺$\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$、$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{A_1}$、$\mathrm{B_1}$、$\mathrm{C_1}$、辺$\mathrm{BC}$、$\mathrm{CA}$、$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{L}$、$\mathrm{M}$、$\mathrm{N}$とする。\mathrm{OAB}$の2辺$\mathrm{OA}$、$\mathrm{OB}$の長さをそれぞれ$a$、$b$、$c$で表せ。本の直線$\mathrm{LA_1}$,$\mathrm{MB_1}$,$\mathrm{NC_1}$は一点で交わることを示せ。本の直線$\mathrm{LA_1}$,$\mathrm{MB_1}$,$\mathrm{NC_1}$は互いに直交することを示せ。$\mathrm{Q}$とする。垂直であることを示せ。切って2つの部分に分ける。このとき、2つの部分の体積は等しいことを示せ。4つの面の面積のうち最大のものを超えないことを示せ。(1975年/第4問)愛知県立大学(2009年/情報科学部第4問)以下の問いに答えよ。\dfrac{1}{x^2}dx$$が成り立つことを示せ。(2)$n$を$2$以上の自然数としたとき、$$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<1-\dfrac{1}{n}$$が成り立つことを示せ。(1997年/(人文/経済)前期第1問)$a$、$b$は正の実数とする。2(a^2+b^2)$$を証明せよ。2^{n-1}(a^n+b^n)$$を数学的帰納法を使って証明せよ。c^3(a^4+b^4)$$が成り立つような$c$の範囲を求めよ。$B=2^{n-1}(a^n+b^n)$の大小関係を調べよ。埼玉大学(2004年/(工)前期第3問)任意の正数$x$に対して次の不等式が成り立つような正の定数$a$の範囲を求めよ。東京大学(2015年/理科第3問)明治大学(2019年/(理工)第3問)以下の問に答えよ。解答は最終結果だけでなく、途中経過も記述せよ。$n$を自然数、$a$を正の実数とする。は点$\mathrm{P}$で接しているとする。これらの曲線は点$\mathrm{P}$を共有し、点$\mathrm{P}$で共通の接線をもつ。