\end{align}$$から3次方程式の解の公式を導出する方法をご紹介しました。(参照:「3次方程式の解の公式」)そこで今回は公式を用いて、色々な3次方程式の解析解を求めてみます。●まず、チルンハウス変換について説明します。次の項を消去することができます。これはチルンハウス変換と呼ばれ、3次方程式の場合は以下のような式変形になります。置くと方程式は$$t^3+pt+q=0$$の形に帰着する。いう形に式変形できます。3次方程式の解の公式とは、以下のようなものでした。\omega\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{r}}\end{cases}}$$である。$$r=\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}$$である。一般形の3次方程式$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$に適用する際は、$$x=t-\dfrac{b}{na}$$と置換して$$t^3+pt+q=0$$の形に直してから公式を適用し、最後に$t$から$x$に直して求める、という手順を踏みます。場合まずは簡単な3次方程式を解いてみます。\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}}$$と求められます。この場合は単純に$1$の3重根を求めているだけなので公式を使うメリットは全くありませんが、虚数解を含めて正しく求められています。\omega\sqrt[3]{\dfrac{2}{2}-0}\end{cases}$$である。-1}$$の2つとなります。この場合も方程式の左辺を因数分解できるので、答えは解の公式によらなくても簡単に求められます。\omega\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\end{cases}$$と求められます。\sqrt{15}i}{2}}$$と表せることが分かります。この2種類の表現の仕方は入試問題の題材になることがあります。他にも2009年東北大後期や2002年大阪教育大後期でも類題が出題されています。因数分解できない3次方程式の厳密解を、解の公式によって求めてみましょう。チルンハウス変換を行います。0$$と変換できます。-\dfrac{2}{3}+\omega^{2}\sqrt[3]{\dfrac{46}{27}+\dfrac{\sqrt{249}}{9}}-\omega\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{249}}{9}-\dfrac{46}{27}}\end{cases}}$$と求められます。あることに注意)このように、単純な因数分解では解けない3次方程式の厳密解は複雑な表式をもちます。4次方程式の解の公式というものも知られており、そのうち記事にまとめられればと考えています。5次以上の次数の方程式には解の公式が存在しないことが、19世紀フランスの天才数学者ガロアによって証明されています。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。【新春2020】明けましておめでとうございます。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。