数列$\{x_n\}$は文字通り桁違いに増加していく数列であるため、やや具体例を考えにくいです。指数表示と合同式を利用して考えましょう。以下、$x_n$を$10$で割った余りを$r_n$と置きます。3=7$、$\cdots$、となります。ここから何かを読み取らなくてはなりません。(1)と(2)がヒントになっていることに気付きましょう。(1)の結果から、$n$を$4$で割った余りが分かれば$3^n$を$10$で割った余りが求められます。いま求めたいのは$x_{10}(=3^{x_9})$を$10$で割った余りですから、$x_9(=3^{x_8})$を$4$で割った余りを求めることになります。ここで(2)の結果を利用できることに気付けば、$x_8$は奇数なので$x_9$を$4$で割った余りは$3$と分かります。ときなので、$x_{10}$を$10$で割った余り$r_{10}$は$$7$$と求められました。(コメント)誘導設問が有効に機能している良問です。指数型の漸化式は多項式型の漸化式に比べてあまり見かけません。指数型の漸化式で定義される数列$\{a_n\}$は十分大きな$n$を取れば任意の自然数に対する剰余が定数になることが知られています。この事実に関して、例えば1991年のアメリカ合衆国数学オリンピック(USAMO)では底が$2$の指数数列が題材となっています。剰余が一定となることを示す問題とも言えます。・・・当然$10$以外の数でもこれが成立します。例として$x_n$を$5$で割った余りを考えてみましょう。