pencil九州大学2017年後期理系第5問(フィボナッチ数列と自然数の集合)昨年は複素数の極形式と絡めた整数問題が出題されていましたが、今年はフィボナッチ数列による記数法の問題が出題されました。「任意の正の整数は連続しないフィボナッチ数の和で一意に表すことができる。」というZeckendorfの定理が知られており、このような表し方はZeckendorf表示(「ツェッケンドルフ」や「ゼッケンドルフ」など、表記揺れがあります)と呼ばれており、たまに数学コンテストなどで取り上げられることがあります。本問は一意性に言及しない場合の出題です。次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある。(n=1,2,3,\cdots)$以下の問いに答えよ。項の和で表されることを、数学的帰納法によって示せ。後期理系第5問)《考え方》(1)はフィボナッチ数列が増加数列であることを言えば終了です。実際に$$53=a_9+a_7+a_5+a_2$$と表すことができています。この式をよく見ると隣り合う2項は和の中に登場していませんね。このことは本来証明する必要が無いのですが帰納法の仮定の中に含めれば一緒に示すことができます。$m$がフィボナッチ数であれば漸化式により帰納的に解決しますから、以下、$m$は数列$\{a_n\}$の項に一致しないものとして扱います。\tag{1}$$を満たすような自然数$j$が存在します。ツェッケンドルフ表示をするときには必ず$a_j$を使わなければなりません。いうのも、$a_{j-1}$以下の項だけで$m$を表そうとしても$(\ast)$「隣接する2項は使わない」という制約があるために和が$m$まで届かないからです。形で表されるのですが、今回は$(\ast)$という指定がありません。置き換えることができるので、結局$(\ast)$が(強制的に)満たされることになります。証明の際はこの点にも少し触れておくと良いかもしれません。ついての帰納法を選択するのが妥当です(というかそれ以外に選択肢は考えられません)。この場合の仮定は「$m$以下$2$以上のすべての自然数」に対して設定しておく必要があります。いわゆる「強化帰納法」というやつですね。複数個のフィボナッチ数列で表すことができます。ここで$(\ast)$もついでに示しておきましょう。なって条件$(\ast)$に反してしまいます)。a_{j}+a_{j-1}+\cdots=a_{j+1}+\cdots$$となって$(1)$式に反してしまいます。現れないことが示せました。差が付いたのは(3)でしょう。いう得体の知れないものがありますね・・・。これは何を表しているのでしょうか。ついて整理してみます。\tag{3}$$と変形できます。成り立つのであれば、$(3)$式は$(1)$式により自動的に証明されるのですが、実はこの不等式は設問(1)で既に示しています。\end{align}$$となるので成立しています。ついて$(3)$式が成立することが証明できました。m+2$$を満たします。(コメント)今年の整数問題でも1、2を争う良問ですね。受験生にとってはかなり目新しい出題だったのではないでしょうか。数学という教科はこういう問題で差が付きやすいのです。$(\ast)$「隣接する2項は使わない」という条件がツェッケンドルフ表示における一意性の根拠なのです。お暇な方は証明にチャレンジしてみて下さい。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。