(1)については、結論のみを書けばよい。(1)$n$を正の整数とし、$3^n$を$5$で割った余りを$a_n$とする。(2)$n$を正の整数とし、$3^n$を$4$で割った余りを$b_n$とする。(3)数列$\{y_n\}$を次のように定める。(n=1,2,3,\cdots)$$y_{10}$を$5$で割った余りを求めよ。周期$4$で繰り返されることが分かります。$3^n$を$5$で割った余りが周期$4$で循環するのですから、次に考えるのは$3^n$を$4$で割った余りですね。以下、$y_n$を$5$で割った余りを$r’_n$と置きます。2$、$\cdots$、となり、$r’_n$は$2$に落ち着きそうです。実際、原題で$r_n$が$7$で一定となることは示していますから、これは正しいことが分かります。したがって$y_{10}$を$5$で割った余りは$2$となります。次に$7$で割った余りを考えてみます。