この項目へ転送されています。(超現複素数)については「超現実数」をご覧ください。超複素数)は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。呼ばれる数体系が実数や複素数に加えて確立された概念となっていた。概念はこれらすべてを包含するものであり、またこれらを説明し分類するための指針を示唆する呼称である。Algebra(『結合線型環』)を初版した時に始まり、それは息子のチャールズ・サンダース・パースに引き継がれた[1]。著しい点は、かれらが分類に有効な多元数として冪零元および冪等元を同定したことである。(代数学)の項を参照)。O)に限り存在することを証明した[2]。多元数の体系(超複素数系)の手綱をとったのは行列論であった。行列を用いて、実二次正方行列のような新たな多元数が供給される。行列のパラダイムは、行列とその演算を用いて表現することでほかの多元数を説明するようになる。1907年にジョセフ・ウェダーバーン(英語版)は結合的な超複素数系は必ず行列環か行列環の直和として表現されなければならないことを示した。用いられるようになっていった。それでもなお、八元数や双曲四元数(英語版)のような非結合的な体系の表す別種の超複素数系があることに注意すべきである。説明によれば、超複素数系はリー群およびその表現論を学ぶための布石である。Darstellungstheorie"(『超複素数量および表現論』)を書き下ろした[4]。各国語で翻訳が出ている[5]。カレン・パーシャル(英語版)は、テオドール・モリーン(英語版)[6]やエデュアルト・シュテューディ(英語版)[7]らの著名な役割を含む、多元数の黄金時代の詳細な説明を書いている[8]。Algebra(『代数学の歴史』)において多元数について30頁の紙幅を割いている[9]。上有限次元の単位的分配多元環(結合的である必要はない)の元として定義されている。+a_{n-1}i_{n-1}}の形に書き表される。うちの何れかから選ぶのが慣習である。詳細は「クリフォード代数」を参照クリフォード線型環は、二次形式を備える線型空間を台として、そのうえに構成される単位的結合多元環である。j)\end{cases}}}を満たすものをとることができる。よって張られる多重ベクトル(英語版)の空間を作る。これらの多重ベクトルを超複素数系の基底として解釈することができる。異なり、それ以外の基底元はそれらの交換に際していくつ単純因子を入れ替える必要があるかによって、反交換となることもならないこともある。ラベル付けることができる。これが実数体上の多元環(各元の係数が実数)であることを示唆するものである。おける回転、位相、スピンなどを含む物理学的問題に非常に有効なことが知られている。このことはより大きな代数における回転をパラメータ付けするために利用することができる。1-次元空間の双曲的回転(ローレンツ変換)の間の、ほかにも同様の、それぞれ近しい関係があるということである。ケイリー–ディクソン構成やその変形である分解型の構成法では八次元以上になると乗法に関して結合的でなくなるが、クリフォード線型環は何次元であっても結合的なままである。subalgebras"(部分多元環の解釈)について書いている。