演算\(\circ\)を定義します。すると、\(S\)は\(\circ\)について群になります。\(\{0\}\)と\(S\)自身の\(2\)個です。解説ラグランジュの定理より、有限群の部分群の位数(要素数)は、もとの群の位数の約数です。群\(S\)の位数は素数\(17\)で、その約数は\(1\)と\(17\)のみ。部分群は単位元\(0\)を持つので位数が\(1\)の部分群は\(\{0\}\)のみ。位数が\(17\)の部分群は\(S\)自身のみ。ラグランジュの定理は、群\(G\)とその部分群\(H\)があるとき、\(H\)の位数は\(G\)の位数の約数になるというもの。証明には、部分群\(H\)による\(G\)の類別を用います。bH\)で定義すると\(\sim\)は同値関係になりますので、同値類\(G/\sim\)を考えて、各類の要素数がすべて等しいことを示せば証明完了。ラグランジュの定理は『数学ガール/ガロア理論』の第9章にも証明付きで出てきます。テトラちゃんの素朴な疑問に、ミルカさんは\(|G|/|H|=|G/H|\)というわかりやすい式を書いて答え、ユーリはそこからわかりやすい図を描いていましたね。\ldots\)と根気よく計算すればわかりますね。\(0\)以外のどの元も\(S\)を生成してしまうからです。テトラちゃんならそれで解きそうです。@hyuki『数学ガール』作者。結城メルマガとWeb連載を毎週書いてます。文章書きとプログラミングが好きなクリスチャン。結城浩のサイト内を検索する。