赤色の集合は開集合、青色の集合はその境界、これらを併せた集合は閉集合である。set)は、実数直線における開区間の概念を一般化する概念である。簡単な例は距離空間における場合で、そこでは開集合の概念は、各点を中心とする球体を含むような部分集合と一致する。一般には開集合は非常に抽象的なもので、「開集合の任意個の合併は開集合である」「開集合の有限個の交わりは開集合である」「全体空間は開集合である」という性質を満たす限りにおいて任意の集合族を開集合族とすることができる。空間に対する開集合族の選び方の各々は位相と呼ばれる(位相の特徴付けの項も参照せよ)。全ての集合には、任意の部分集合が開集合である離散位相と、空集合と全体集合のみを開集合とする密着位相という、二つの自明な位相が定義できる。実用上は、離散位相と密着位相の中間にある非自明な位相を考えることが多く、開集合の概念は位相空間における点の「近さ」について述べる方法を提供する基本的な道具立てである。開集合族がひとたび決められたならば、近さの概念を言い表すのに用いられる連続性・連結性およびコンパクト性が定義される。開集合およびそれを含む位相の概念は点集合位相において中心的な重要性を持つものであるが、数学の他の主要分野における構造化の道具としても用いられる。そのような位相の例には、代数幾何学におけるザリスキー位相(代数多様体の代数的特性を反映する)や、微分位相幾何学における可微分多様体上の位相(空間内の各点が有限次元ユークリッド空間内の開球体に同相な近傍を持つ)などがある。外部リンク動機づけ[編集]直観的には、開集合は二点を区別する方法を与える。位相空間内の一点について、もうひとつの(相異なる)点を含まない開集合がとれるならば、それら二点は位相的に区別できる(英語版)と言う。このようなやり方で、同じ位相空間のふたつの集合が「近い」ということを、その空間上に具体的な距離函数を定義することなしに言及することができる。したがって、位相空間は距離空間の一般化とみなすことができる。内にあるような点)全体の成す集合について述べることができる。高い精度で近似する点が得られることである。任意の実数)の全体になっている。場合と比べて精度が高い。近似の精度はどれほどでも高くできる。近くの点に関するたくさんの情報を与えるものとなる。近い点の記述に用いることができる。この画期的な考えは広範にわたって重大な結果をもたらす。とほかの実数との距離に関する異なる結果を求めることができる。あると思える)ということになる。近くない、という二択条件と考えればよい。含む集合族として開近傍系が定まり、その元は開集合と呼ばれる。対して一般化することができる。含む)集合の族を定義することができる。そのような族は(公理と呼ばれる)ある種の性質を満足するようにしなければならない(そうでないと距離を測る方法がきちんと定義できない)。当該の集合族に入っているべきものである。高い精度で近似する方向へ向かっていく。周りの集合族が満足することが求められるほかの公理も定めることができる。定義[編集]開集合の概念は、その抽象性の度合いも含めて、様々なクラスに対して定式化することができる。満たすようにできるときに言う[1]。内の近傍を持つときである。なるようにできるときに言う。含まれる近傍を持つときである。これはユークリッド空間の例を一般化するものである(ユークリッド空間にユークリッド距離を入れたものは距離空間である)。一般の位相空間の場合[編集]一般の位相空間において、開集合としてはほとんど何でもありで、下敷きにする集合が同じであっても開集合族として選ぶものが異なれば、位相空間としては異なるものとなる。属する集合を開集合と総称する。開集合の無限個の交わりは開集合とは限らないことに注意すべきである。あり、これは実数直線内の開集合ではない。開集合の可算交叉として構成することのできる集合をGδ-集合と総称する。このような開集合の位相的定義は距離空間における開集合の定義を一般化するものである。距離空間において上のように開集合を定義すれば、その開集合全体の成す族はその距離空間上に位相を定める。したがって、任意の距離空間は自然な仕方で位相空間となる。任意の位相空間は距離空間になるとは限らない。性質[編集]開集合からなる有限または無限個の族の合併は、ふたたび開となる[2]。有限個の開集合からなる族の交わりは開集合である[2]。開集合の(位相の定義された全体空間に対する)補集合は閉集合と呼ばれる。開でも閉でもある集合(開かつ閉集合)も存在しうる。空集合および全体空間は開かつ閉集合の例となる[3]。使用[編集]開集合は位相空間論において基礎を成す重要性を持つ。開集合は位相空間やほかの位相的構造の定義に用いられ、近さの概念や距離空間や一様空間などの空間における収束性に意味を持たせる。含まれる開集合すべての合併をとることで構成できる。開集合となるときに言う。開集合となるときに言う。実数直線上の開集合は、それが可算個の開区間の非交和となるという性質によって特徴付けられる。X」と略すことがある。一方の位相では開だが、他方では開でないということが起こり得る。自身も部分空間の位相と呼ばれる位相によって位相空間となる。交わりに書けることが必要十分」とするものである。開集合となる可能性を持っている。位相では開でない部分集合である。部分集合としては開でない。有理数でない数は含まないから)ということによる。開と閉は互いに排他的ではない[編集]位相空間の部分集合は、開であるもの、閉であるもの、開かつ閉であるものもあるし、開でも閉でもないものもある。通常の位相(ユークリッド位相(英語版))を入れたものを考える。開集合であり、そのような区間からなる任意の合併もまた開集合である。(両区間が交わっても交わらなくても)開集合になる。空集合は開集合である。定義により閉集合である。任意の位相において、全体空間は開であると同時に閉でもある(開かつ閉集合)。ユークリッド位相の開集合族に入っているから、開集合である。閉集合ということになるが、実際にはそうではない。これは開区間の合併には書けないから、ユークリッド位相には入っていない。開だが閉でない集合の例になっている。