して加法的に書かれる。和を表す)とできるようなものをいう。部分可換モノイド編集いくつかの元については可換だが、必ずしもすべての元が可換でないようなモノイドはトレースモノイドという。トレースモノイドは並列計算の理論によく現れる。置くことによりモノイドとなる。これを自明なモノイドという。加法あるいは乗法に関してそれぞれモノイドを成す[1]。n-次正方行列の全体は行列の加法または行列の乗法に関してモノイドを成す。任意の有界半束は冪等可換モノイドである。任意の有界束は交わりについても結びについてもモノイドとなる(モノイドの単位元はそれぞれ束の最大元および最小元で与えられる)。したがって、束であるハイティンク代数やブール代数はそのようなモノイド構造を持つ。単位元とするモノイドを成す。単位元とする部分モノイドを成す。関して可換モノイドを成す。単位元は通常の球面(2-球面)の属する同相類である。形に一意的に表される。全体の成す集合は、恒等写像を単位元とし写像の合成をモノイド演算としてモノイドになる。上の全変換モノイドが有限であることは同値である。与えられた代数系をモノイドにする操作や、既知のモノイドから新たなモノイドを作り出す操作がいくつか存在する。上の有限文字列全体(空文字列を含む)は、連接を二項演算とし単位元を空文字列としてモノイドとなる。上の自由モノイドと呼ぶ。おける自由対象(英語版)であり、その普遍性はモノイドの表示として理解することができる(後述)。(新たな)単位元として添加してモノイドにすることができる。呼ばれる)反モノイドとなる。順序の与えられた集合の元の列に対する辞書式順序のモデルを与える。4]、逆転モノイド、反対モノイドなどともいう)。任意の可換モノイドは自分自身を反モノイドとして持つ。Mi)もまたモノイドとなる。モノイド演算および単位元は、成分ごとの積および成分ごとの単位元の組として与えられる[2]。積から導かれる点ごとの積で、それぞれ与えられる。直積モノイドと本質的に同じものである。満たす)同値関係を言う。