それはなぜ正しいのか。正しさを追い求めた先に数学者たちは大いなるパラドクスを見てしまった──。人間にとって正しさとは何かを問い直す。内容(「BOOK」データベースより)数学は音楽に似ている。論理と感性、理性と直観等、対立するもののように思われがちだが、音楽も数学も古来、天上へつづくかのような調和の美しさで人を魅了してきた。ところが数学者たちはやがて気づく。数の世界に潜む見えない数、無限、そして緻密な論理が孕むパラドクスの深淵。そこに、数学が自由に飛翔するための契機があった―。古代文明から現代まで四千年にわたる数学の歴史をたどり、人間にとって正しさとは何かを問いなおす。(「BOOK著者紹介情報」より)加藤/文元1968年仙台市生まれ。1このショッピング機能は、Enterキーを押すと商品を読み込み続けます。このカルーセルから移動するには、見出しのショートカットキーを使用して、次の見出しまたは前の見出しに移動してください。トップレビューレビューのフィルタリング中に問題が発生しました。後でもう一度試してください。数学はストーリィテラーとなる有機質なもの。算数の様なバラ売リ授業がつまらない理由。加藤文元氏の数学啓蒙書は、どれも一読の価値があります。西洋科学的精神」などはとくに興味深く読むことができました。ノートがベースになっているからでしょうか、論述展開もよく練られています。数学者である加藤氏の透明性の高い文章にもいつもながら感心します。数学から遠ざかっている文科系の学生諸君が数理の魔力を再確認するための教養書として、是非とも推奨したい一冊です。数学の正しさとは何か。正しさの深層に何があるのか。"数学の想像力"と題したこの書は、音楽と数学が似ていることから語り始める。証明には"流れ"があることが音楽に共通するとしている。本書の狙いは四千年の数学の思潮を丹念に検証しながら、正しさを求める"証明と計算"について深耕していくことにある。数学には時代性と地域性があった。古代ギリシャ数学では、ユークリッド原論にみてとれるように、直観的に見ることを排して演繹的に論理を組み立てて証明することに徹した。この書の中心にある仮説:"証明とは宗教儀式であったと"主張する。ここで、数学にあって音楽にない背理法という証明方法を語る。背理法がなければギリシャ的な演繹証明は成り立たない。インドや東洋では直観や見ることが重要だった(現代数学の礎に大きな貢献をしたインドの天才ラマヌジャンがそのいい例だ)。彼の数学では、演繹的に論理を組み立てていく証明がむしろ特異だった。東洋の数学にはそれらがない故に現代数学の主流にはなり得なかった。次に数学的最大のアポリアである無限の考察について語る。ここで発明されるのが"取り尽くし法"だ。これは無限分割を回避する方法だった。現代の初学生や生徒が接する数学の殆どは18、19世紀の西欧数学である。西欧の数学はローマ帝国崩壊後長い間衰退していた。イスラムの数学や科学を取り入れて復興したのが西欧数学だ。60進法は古代バビロニアで発明されたし、現代数学で使われる10進法表記はインド数学が起源だ。ルネッサンス後、微小算術といった新しい計算が西欧に芽生えた。微小算術すなわち解析学だが、当初あやふやなものだった。極限概念は、本質的には古代ギリシャの頃から用いられていた原理と同じだ。そのスタイルは、計算ではなく文章による古代ギリシャ的な論証スタイルも必要上復活した。本書の結論を端的に示しておこう。現代数学には計算できることとできないことがある。後者は数学をモデルとして考えることで解決する。現代数学はモデル論なのだ。数学はモデル論になったことで自由へと解放された。”数学のゲーム化”ともいえる。別の言葉でいえば、正しさの意味が異なってきたのだ。これからの数学では”理性と信仰”を深く考えねばならない。ゲーデルの不完全性定理によれば往々にして確認不可能な基準があればこそ、数学を一つの巨大な知的ゲームと見做し公理をそのルールと見做す現代的な視点が生まれた。これが内的整合性という客観的な基準への信仰の姿である。哲学書のように難解な書であったが、良書である。本書は「数学における正しさとは何か」を考察する意欲的な書である。正しさを認識する基本要素として「基盤・流れ・決済」の三要素が抽出され、基盤や流れの違いによる「正しさの認識スタイル」を出来るだけ多く検討し、それを通して「現代的な<正しさ>の認識スタイルを再検討に付す」ということが目標とされている。流れが伝統的に証明などの論証的な論理過程からなる西洋数学に対し、東洋数学では流れが計算やアルゴリズムといった計算ベースの論理過程のウエイトが高く、演繹的な証明という方法によらない「正しさの認識スタイル」があったことが、江戸時代の和算における認識スタイルを例として語られている。本書で重点的に考察されているのは、演繹的論証というスタイルに基づき正しさを留保する「ギリシャ数学」と「近代西洋数学」である。「様式化された正しさ」という認識スタイルを確立したギリシャ数学の詳しい考察と「そこで見出されたパラドクスに近代数学が自由に飛翔するための契機があった」という指摘はとても面白く読み応えがある。通約不可能な数(無理数)の発見は、<見えない正しさ>に対する恐怖感を、また連続体の無限分割の可否の何れもが運動の不可能性を導くというゼノンの逆理に見られる「現実の存在様式と論理的思考との不一致」は、<無限>や<計算できない正しさ>への恐怖感を植えつけ、ギリシャ数学における「見るの排除」や「無限の回避」につながり、それが「ユークリッド原論」に見られるような演繹的論証という「様式化された正しさ」という認識スタイルをもたらす原動力であったと指摘されている。次の大きな転回点は無限や無限小を<計算>ベースで扱う方法、即ち無限小算術(微分積分学)の構築にあった。連続体の無限分割の正しさの様式を確立するには大掛かりな基盤の構築が必須であり、19世紀数学が極限概念を基軸に微分積分学の基礎を固めたのは、まさにこの要請に応えるものだったと指摘されている。19世紀数学の革新性は、数学的な対象を<見る・観る>ものではなく、<作る(定義する)>ものだという意識改革をもたらしたことにあり、他の諸学や外的な自然本体とのしがらみをも断ち切って、それまでにない強力な抽象的自由性を手に入れた、標語的に言えば『19世紀の「科学的精神」は、その「様式化された正しさ」の地平に「モデルとしての正しさ」という新しい認識スタイルをもたらし、それによって数学という学問自体をも大幅に刷新した』、と的確に指摘されている。ここに至るには、近代的な実数論の構築に基づく「微分積分学の厳密化」の他に、非ユークリッド幾何学の発見からリーマンの構想に至る「空間概念の革新」が大きな要因であったことも見逃せないだろう。数学的な概念や対象は人が作るものというパラダイムは、それらを作る資材としての集合の理論を、無限集合論から公理的集合論、更にその「内的整合性という客観的な基準」(公理の無矛盾性)の構築へと向わせたことも歴史的必然と言えよう。「モデルとしての正しさ」という正しさの認識スタイルを確立し、他の諸学や現実の存在というしがらみから解放したことが、近代西洋数学が一つの「世界数学」として君臨できるに到った主要因であったことを本書の叙述で十分に認識できるのではあるまいか。明確な問題提起、流れるような論理の展開、優れた文章力、それらが合わさってとても面白く素敵な書になっている。小島寛之『無限を読みとく数学入門』などを参照した。これらの書も面白く参考になるので、数学と数学史を愛好する方々にあわせてお薦めしたい。発想が思いがけなく、しかも納得。数学なんて人間離れした屁理屈だけの世界と思っていたのが、この著者によると実に人間そのものであるとわかる。まことにもって興味深い。読み易く、且つ充実した内容の数学史。「正しさの深層に何があるのか」とは実に蠱惑的な副題であるが、結論から言ってしまうと究極的には「何故正しいのか」と云う問いには本書は答えられていない(残念!)。それ以前の「何を以て私達は数学のこれこれが『正しい』を感じるのか」と云う、一種の数学の現象学の様なことを実に懇切丁寧に、全くの数学素人にでも解るように噛み砕いて解き明かしてくれている。「見て」解る正しさ、「観て(観察して)」解る正しさ、「論証」して解る正しさ、「計算」して解る正しさ等、「数学の正しさ」を保証するものと云えば直ぐ様「そりゃ、証明でしょ?」と言いたくなる常識に対して、それは実は歴史的にも文化的にも、どちらかと云うとマイナーな流れから発しているのだと指摘する舌鋒は穏やかだが鋭く、何より明快である。「(厳密には)証明に拠らない正しさ」と云うものが在るのだと云うことを知る為だけでも、本書は読む価値が有る。冒頭から音楽と数学は何処が似ているのかなどと云う極めて印象論的な問題に怖じずに取り組んでいる様は、一歩間違えば風呂敷の広げ過ぎになるところだが、そうなる手前で踏み止まって、好くこれを解明している。この辺りにも、若い世代の感性のしなやかさを感じさせる。本書の論考は屡々哲学的な話題にまで及ぶが、それが決して「逸れて」いる訳ではなく、飽く迄本筋を見失わずに元へ還って行くので、散漫な感じは受けない。最終的には現代数学の繁栄は数学の「ゲーム化」によるものだと喝破する本書の問題意識は、例えばカッシーラーの『実体概念と関数概念』や廣松渉の『もの・こと・ことば』、或いはハッキングの『言語はなぜ哲学の問題になるのか』等とも通低するものが有る。数学史だけでなく、思想史や科学史に興味の有る読者にも是非お薦めしたい。平明で読み易いので読破にそれ程時間も掛からない筈である。面白かったけれど、言っていることは素人の仮説のレベル。「見ること」から「論証すること」への移行としてユークリッドの原論という説、数学史的に根拠付けられているのでしょうか。数学的正しさの背景には「宗教的なもの」もあるという、ちょっと相対主義的な視点を出して見たという程度の作品。数学者が一般向けの本を書くと哲学的になるが、そのくせ本当に哲学を学んで書いているわけでもないという不真面目さを感じます。「観る」から「証明」する数学への変遷、背理法の説明充実。数学史とりわけ、数学の厳密性について言及された本。古代数学で、「観る」から「証明」する数学にかわったこと。背理法がよく出てくる。数学の本質をつく書物だった。違反を報告10のカスタマーレビューおよび11のカスタマー評価があります。すべてのカスタマーレビューを見る(10)カスタマーレビューを書くAmazonプライム会員ならお急ぎ便、日時指定便が使い放題さらに、映画もTV番組も見放題。200万曲が聴き放題。クラウドに好きなだけ写真も保存可能。プライムを無料で試す現時点ではこのメニューの読み込みに問題があります。プライムの詳細はこちら。プライム商品の返品・交換コンテンツと端末の管理Amazonアシスタントヘルプ日本語ショッピングのための言語を選択します。日本ショッピングのための国/地域を選択します。Audible(オーディブル)本は、聴こう。Now好きな時間が選べる。affiliates。