半群準同型は単位元を保つことを要しないため、必ずしもモノイド準同型とはならない。これは群準同型の場合とは対照的な事実で、群の間の半群準同型はかならず単位元を保ち、したがって群準同型となることを、群の公理から示すことができる。モノイドではそのようなことは一般には望めないので、モノイド準同型の定義では「単位元を保つ」ことを改めて別に要請する必要がある。全単射なモノイド準同型はモノイド同型と呼ばれる。ふたつのモノイドが同型であるとは、それらの間にモノイド同型が存在するときにいう。上の基本関係の集合を特定することによって決まる。その上のモノイド合同で割って得られる商モノイドになっていると言っても同じである。Eをみたし、さらに反射閉包および推移閉包をとることにより、モノイド合同が得られる。プラクティックモノイド(英語版)となる(位数は無限大である)。圏論との関係編集モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において(与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば)射の合成に課される公理と同じである。モノイドはただひとつの対象をもつ圏(単一対象圏)と本質的に同じものである。これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。(モノイドの圏とは別の)ある充満部分圏に同値である。この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ、モノイドに関する定義や定理の多くを(ひとつまたはそれ以上の対象を持つ)小さい圏に対して一般化することができる。単一対象圏の商圏とは、剰余モノイドのことである。抽象的な定義によって、各圏における「モノイド」としてモノイド対象の概念が定まる。おけるモノイド対象である。計算機科学において、多くの抽象データ型はモノイド構造を持つ。あるパターンとして、モノイド構造を持つデータ型の元の列を考えよう。操作を施すことで、列が含む元の総和のような値が取り出される。多くの反復アルゴリズムは各反復段階である種の「累計」を更新していく必要があるが、モノイド演算の重畳を使うとこの累計をすっきりと表記できる。sumあるいは同様のアルゴリズムによって、計算を並列化できることを保証する。次のように定義される。\,m\,l'\end{cases}}}更に、任意のデータ型でもその元の直列化演算(serialization)が与えられれば同様に「重畳」することができる。二分木においては木の走査が直列化にあたるが、結果は走査が行きがけか帰りがけかによって異なる。単純な構造化プログラミング言語自身は文やブロックの連接を演算としてモノイドをなす。用語を流用しているだけで積の項で扱われている意味での「積」とは無関係であることに注意。ここでいう「積」は和を繰り返したもの(反復和)の意味ではないので、和が定義されている必要も無い。単位元を含むとは限らず、一般には部分モノイドとならないから、文脈には注意すべきである。表すためクリーネスターとも呼ばれる。クリーネ閉包構成は一般には(もともと)形式言語の範疇で考えられるもっと広い概念である。半群として、逆半群となるようなモノイドということ。(復刊)、共立出版、2001年(原著1972年)。9784320016767。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。