存在するので条件を満たすことがわかります。無数に存在することがわかります。Green-Taoの定理が従います。Erdős-Turán予想についてErdős-Turán予想について気になっていることがあるのですが、まずは予想の主張を思い出します。任意の長さの等差数列を含む。素数の逆数和は発散するためErdős-Turán予想はGreen-Taoの定理を含んでいます。Euler-Legendreの定理)のでこれはErdős-Turán予想とconsistentです。いう解説を受けると錯覚する人もいると思うのですが、逆数和が発散するということは任意長等差数列を含むための必要十分条件ではありません。Brunの定理により、ふたご素数の逆数和は収束します。錯覚を起こしていると、ふたご素数から構成される任意の長さの等差数列は存在しないのかなという気になります。無数に存在することがわかります。次を予想してよいことになります。ふたご素数からなる任意の長さの等差数列が存在する。主張の意味は「ふたご素数のペアをなす小さい方の素数からなる任意の長さの等差数列が存在する」と思ってください。これは当然未解決ですが、最近次のようなプレプリントが出ています。$x^2+y^2+1$型の素数の無限性は未解決でした(Landauの第四問題)。一変数で二次式の形をした素数の無限性が証明されているケースは一つもありませんが、二変数にすると証明されているケースがあります。型素数の無限性は簡単にわかります(しかも約半数の素数はこの形です)。型素数が無数に存在することを証明しており、こちらははるかに深い定理です。するとき、が示されました。型素数の逆数和は収束することがわかります。先ほど紹介したプレプリントは次の定理を証明したと主張しています(Green-Tao以降の相対Szemerédiの定理とIwaniec以降のテクニックの組み合わせ)。型素数からなる任意の長さの等差数列が存在する。証明が正しければ、ふたご素数の場合の予想のときより強い根拠を持って「逆数和の発散」というErdős-Turán予想の条件は究極の条件ではないかもしれないことがわかります。自然数全体に対して正の密度を持てば任意長等差数列を含むというSzemerédiの大定理を超えて、密度が零だけど素数列は任意長等差数列を含むことを示すことが出来るよということがGreen-Taoの定理の一つの魅力でした。Szemerédi-barrierを突破したわけです。Green-Taoは素数全体に対して正の密度を持てば任意長等差数列を含むことまで示していました(素数版Szemerédiの定理)。Sun-Paoの結果はGreen-Tao-barrierを更に突破したことになります。逆数和が収束するため、Erdős-Turán予想には含まれない定理です。型素数の密度よりも更に希薄です。相対密度の観点でどこまで下がっていくことが出来るのか、barrierは何度破ることが出来るのか、究極の予想は何かということが俄かに気になってきます。組に依存して定まる)。して、次が予想できます。全体のなす集合は任意の長さの等差数列を含む。組予想も成立するものとしてよい。一つとって、多項式を考える。いずれとも異なれば、が成り立つ。無数に存在し、予想が従う。Q.E.D.究極の予想は何か?以上の考察の上で、タイトルにある疑問というのは次の疑問です。任意の長さの等差数列を含むと言えるか?」は正しくないことがわかっています*1。別の記事で少し解説します*2。型素数を紹介しましたが、それより前にふたご素数に関する予想に密接した例で示されているものがありました。素数または半素数であることと定義する。1966年(証明を詳述したのは1973年)、陳景潤は陳素数が無数に存在することを証明しました。定義すると、まで示されており、逆数和が収束することも示されています。Zhouが陳素数からなる任意の長さの等差数列が存在することを証明しています。Sun-Paoと同じくZhouもGreen-Taoの手法で証明しています。*1:これについて、山田氏からご指摘いただきました。アイディアの饗宴』の部分的書評。長さの等差数...2017-11-23ピライ素数Pillaiは「の素因数をで割った余りはであると言えるだろうか?...2017-09-12等間隔に並ぶ素数を追い求めて〜グリーン・タオの定理〜素数のもつ秩序。»プロフィールid:integers整数、特に素数が大好き。素数に恋する女アジマティクスCorollaryは必然に。(22)広告について当ブログはお金を支払って「はてなブログPRO」を使用しているため広告は表示されません。将来にわたって広告などによる収入を得ることはありません。「はてなブログPRO」を解約し無料プランに変更したため、以降広告が表示されます。管理人が収入を得ていないことは変更ございません。はてなブログをはじめよう!integersさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。