HLの定理の言い換え3、GSの定理の言い換え3)。枝はそれぞれ任意に取る)。なければ超越数である。関する帰納法で証明する。ときはHLの定理の言い換え2より成立する。超越数であることを証明すればよい。超越数であることがわかる(背理法)。上一次従属であると仮定する。適当に番号を付け替えることによって、であると仮定してよい。定義式に代入して整理すればとなり、帰納法の仮定からこれは超越数である。でない代数的数とする。