→A君は平均値から6cmの差、B君は平均値と3cmの差、C君は平均値から10cm離れている...こんな具合に、各自が平均値からどれだけ離れているかをみたところ、平均で5cm離れていた、という意味だ。標準偏差が1cmならば平均近くの人が多いということだし、10cmならもっと各自バラバラだということになる。★この「正規分布」になっているデータにおいては、この「平均との差が標準偏差(σ)以内に収まっている人たち」だけで、全体の約68%(68.27%)になるのだ。あいだである、という意味だ。のこりの32%が、もっと低い人と、高い人だ。言えば、正規分布は左右対称だから、16%が低い人(165cm以下)、16%が高い人(175cm以上)だ。のこりの4.5%が、そこに収まっていない人、上の例でいえば身長が160cm以下の人や、180以上の人だ。(この例では標準偏差σは5cmなので、”2σ”は10cmだ)。分布は左右対称だから、それぞれ高いほうも低いほうも約2.22%ずつだ。★さらに、「平均との差が標準偏差の3倍(3σ)以内に収まっている人たち」までみていくと99.73%の人が含まれる。逆にそこから外れる人は約0.27%しかいない。この例だと、身長155cm以下とか、身長185cmを超えている人はそれくらいしかいないことになる。分布は左右対称だから、それぞれ高いほうも低いほうも約0.13%ずつだ。このほか、この正規分布を累積グラフに直すと、マーケティングの世界でいう成長曲線みたいなS字カーブになったりと、面白い。そもそも「データの分布が正規分布じゃないものには適用できない」ことが前提だ。データが横一線になる分布だとか、高いほうと低いほうに山がふたつできる分布などもあるからだ。※余談だが学校の偏差値も、得点の分布を、”平均が50で標準偏差が10”になる正規分布にしたときの位置だ。60を超えていたら上位16%ということだ。上記2つのアプローチで見てみたい。1パレート法則による目標スコア:テストの上位2割の人だと何点か?2割の人のそのまた2割の人=上位4%の人を目指すと何点以上か?シンプルすぎて、統計の専門家が聞いたら卒倒しそうだ。大半の普通のビジネスマンにとっては、19%か20%かなんて誤差の範疇だ。「上位2割」と0.1秒で決断して始めるほうがトクをすることが多い。2正規分布上の、外れ値(outlier)をめざす目標スコア:ーもちろん”高い側”への外れ値をめざす目標スコア。述べたとおり、平均値から2σ離れた上位の人は2.22%でありそれは何点か?平均値から3σ離れた上位の人は0.13%で、それは何点か?。が”区切り”なのか、なぜ2.5σとか3.2σとかじゃないのか?には、確固たる根拠がない。統計のプロはいくつか異常値の算出法を使うらしいが、絶対の正解はないらしい。2σや3σは、現実社会では「外れ値の目安」として実務でつかわれている。僕の前の会社でも品質管理に使っていた。人為的とはいえ、意味がある数字だ。外れ値=outlier、アウトライアーという言葉の響きも、けっこう良いでしょう。アウトライアーといえば、マルコム・グラッドウェル博士が書いた有名な本のタイトルでもある。「一万時間のトレーニングを積めば誰でも突出した天才と言われるレベルに達する」という研究結果を書いた本で、日本でも「天才!」というタイトルで有名になった。そもそもTOEICの分布は正規分布なのか。ありがたいことに、すでにTOEIC®の分布を分析してくれている人がいらっしゃる。データマイニングや統計学に精通した方のようだ。http://sudillap.hatenablog.com/entry/2013/04/12/223031そう、結論からいえば「正規分布になっていない」のだ。あきらめるのはまだ早い。正規分布にならない原因は、おそらく「990点より上の実力を測る方法が無いから、990以上の実力の人が全員990点になっている」からだ。そこを除外して観察すると?ちゃんと山型のグラフになっている。そもそも、TOEIC運営側のETSが正規分布を仮定している。上記のアプローチが使えないわけじゃない。本当はもっと実力があるのに「990点どまり」だった人がいる...となると、スコアにあらわせない”実力の平均”は、スコアの平均よりも高いのかもしれない。実力の平均スコアや中央値が不明だとしても、いまは問題ないのだ。今回はスコアを上から数えるだけだもん。超える”外れ値”=特別デキる人」であることに変わりはない。上位16%(1σを超える)、上位2.22%(2σを超える)、上位0.13%(3σを超える)という「目標」が成り立つ。根拠ある目標スコアTOIEC®の詳細なスコア分布は?ETSが公開しているスコア分布は、区切りが大雑把だ。前述のブロガーさんが、さらに次のように詳細なスコア分布を「推定」されている。http://sudillap.hatenablog.com/entry/2013/04/12/215713この仮説をありがたく使用させていただく。ここから、上位○○%に入るために何点が必要なのかを推定する。990点満点を取得し、満点取得者たちのなかのさらに上位40%になる必要がある。これを測定する方法はいまのところ無い。(というかこれ以上TOEIC®やる意味もない)スピーキング&ライティングテストの目標は?TOEIC®には、現在はまだ受験者が少ないスピーキング&ライティングという「話して、書く」試験がある。ご存じない方は以下を参照してほしい。www.fromzeropoint.comスピーキング&ライティングテストのほうも、スコア分布が大雑把に公開されている。受験者数自体が少ないのでサンプルは不足かもしれない。上位16%(1σ)※正規分布ならば、平均と標準偏差がわかっていれば、何%の人が何点なのか?が計算ができる。ところでこの試験は、TOEIC®700以上の人におすすめだ、とされている。受験者する人自体がすでに「上位25%」の人の可能性がある(会社から言われてしぶしぶ団体受験する人は別か)。「受験した時点ですでに上位25%なのだ」と仮定したら、全体の上位2.2%(2σ越え)以内に入って”アウトライアー”になるためには、このスピーキング&ライティングテストで上位8.8%に入ればいいことになる。160点以上(できれば170)ライティング180(できれば190)が取れたら「実質」3σ越えのアウトライアーだ。繰り返すと、TOEIC®のばあい、2割8割法則の上位2割の仲間入りをするのが740点。上位2割のそのまた上位2割は895点。925点で2σ越え、外れ値アウトライアーの仲間入りだ。疑う余地のない真のアウトライアー、3σ越えは990点とることが前提だ。スコアは高ければ高いほどいい!なんて目標よりも、このような具体性と根拠のある目標のほうが人は頑張れるはずだ。人に話したときのインパクトを考えると、キリ番の800とか900でもいいのだけれど。今回、まるで中国や韓国の学生みたいに、スコア命・競争命...みたいなエントリになってしまった。参考までに、いままで僕が、TOEIC®スコアが高くても英語は話せないと叩いてきた理由は以下のとおりだ。英語でいうoutlierは「外れ値」というより、データから排除すべき「異常値」という文脈で使われることも多いです。勉強時間と成績の関係を見たときに100時間勉強して0点ならマークミスした人かもしれず、実力の傾向を測るのには邪魔なデータです。外れ値か異常値かの境目を決める定説がないそうなので、かまわずこの用語を使います。00:00TOEIC®は何点ならスゴイと言えるか?統計データから見るTweet広告を非表示にする関連記事2016-08-01「日本人の9割に英語はいらない」に反論してみる何年か前に話題になった、日本マイクロソフトのトップ・成毛眞...2016-07-13話すTOEIC®!スピーキングテストは今後爆発的に普及すると思う理由(2)今までのTOEIC®だと高得点でもしゃべれないけれど、TOEIC®スピ...2016-07-12話すTOEIC®!スピーキングテストは今後爆発的に普及すると思う理由(1)TOEIC®スピーキング&ライティングは、2006年に導入されたまだ...2016-06-29フィリピン留学してからオーストラリアへ行った。やり直せるならどうするか(2)引き続き、反省を込めて、時間を巻き戻すならどうしたか?を考...2016-06-28フィリピン留学してからオーストラリアへ行った。やり直せるならどうするか(1)10年勤めた会社を辞めた。フィリピンの語学学校に行った。管理人id:takeshizm1一部上場企業の総合職を飛び出して、キャリア断絶の留学へ。替わる言葉たち(1)話すTOEIC®!スピーキングテストは今後爆発的に普及すると思う理由(2)スポンサードリンク注目記事はてなブログをはじめよう!takeshizm1さんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。