すると、が成り立つので、補題よりが得られた。対してが成り立つことなので主張が従う。Wieferich数の最大素因数はWieferich素数である。その最大素因数とする。このとき、なので、命題よりが成り立つ。Wieferich素数であることがわかる。ある(コンピュータによる数値計算で確かめられる)。存在しないと仮定する(ただし、与えられた数がWieferich数であることを確認することはこの仮定と無関係であることに注意)。以上の指数を取り得ない。Wieferich数は次の3つのタイプに分類される。上記以外の素因数を持ったと仮定する。Wieferich数であるという仮定に矛盾する。以下、命題を利用して全Wieferich数を決定する。