2019年11月6日ここでは、「1列に並べる方法が何通りあるか」という問題を見ていきます。場合の数の分野では、とても基本的な問題です。4つの文字を1列に並べる方法が何通りあるか」を考えてみましょう。この問題は【基本】まとめて数えるでも出てきました。樹形図をかくと、次のように同じ構造をしている部分が見つかるんでしたね。赤い箱の中にも、同じ構造をしている部分があります。赤い箱が4つあり、各赤い箱について、同じ構造をした青い箱が3つあります。\]通りと求められます。この「同じ構造をまとめて、掛け算で求める」というのは、【基本】樹形図と積の法則でみた「積の法則」の考え方を使っています。今度は、全員を並べるのではなく、一部の人だけを並べる方法を考えてみます。今回は、上の樹形図での考え方を踏まえつつ、樹形図をかかずに求めてみたいと思います。樹形図をかくなら、1番目の並び方で枝分かれしますね。枝の数はもちろん6本です。続いて、2番目に並ぶ人は、1番目以外の5人のうちの誰かで枝分かれします。3番目に並ぶ人は、1番目と2番目を除いた4人のうちの誰かで枝分かれします。1番目を決めた後の樹形図の形は、条件が同じだから、どれも構造は同じです(もちろん、誰が並んでいるかは違いますが)。2番目を決めた後の樹形図の形も、それぞれ同じです。見たように、いくつかのものに順序をつけて1列に並べる配列を順列(permutation)といいます。左下に全体の数、右下に並べる数を書きます。出てくるので、こういう記号が用意されています。具体的な式で書くことができます。通りとなるため、これらを掛け合わせたものが総数になります。個を取り出して、1列に並べる方法の総数は、次のとおり。上では「6人から3人を選んで1列に並べる」ケースを見ましたが、続いて1つ目のケース「4個のものを1列に並べる」ケースについて考えてみましょう。「4個から4個を選んで1列に並べる」と考えるわけですね。整数をすべて掛け合わせた数になります。階乗(factorial)」といいます。式でまとめると、次のようになります。個のものをすべて並べる順列の総数は、次の通り。おわりにここでは、順列について見てきました。ついても見てきました。今後、「1列に並べる方法」を数えるときには、突然これらの記号が出てくることになります。背景には樹形図での書き出しがあることを忘れないようにしておきましょう。