3勝する確率2017年3月21日サッカーのPK戦のように、「先に3勝した人・チームが優勝」というルールのゲームがあります。例題1AさんとBさんが5回勝負のじゃんけんをし、先に3回勝った方を優勝者とする。このとき、5回目で勝負がつき、Aさんが優勝する確率を求めなさい。じゃんけんで、Aさんが勝つ確率とBさんが勝つ確率は等しいとする。確率で見た内容を使うのですが、次のような間違った使い方をしてしまうことが多いです。5回目で勝負がつくということは、5回じゃんけんをするということです。いう間違いが多いんですね。この解き方の、どこが間違っているのでしょうか。実は、「5回じゃんけんをするうち、Aさんが勝つ3回を選ぶ」としたところが間違いなんですね。勝った人を並べたときに「AABBA」などとなればいいのですが、5回から3回を単純に選ぶだけだと、「AAABB」のような選び方も含まれてしまいます。この場合、5回じゃんけんをしているように見えますが、3回目で勝負がついてしまっています。考えてみると、5回目のじゃんけんをするときというのは、4回目のじゃんけんが終わった時点で勝負がついていない、という状況でなければいけません。4回目の時点で「2勝2敗」となっている必要があります。これ以外の状況で、「5回目で勝負がつく」ということはありません。5回目でAさんが勝つことによって、「5回目で勝負がつき、Aさんが優勝」となるんですね。「5回からAさんが勝つ3回を選ぶ」のではなく、「4回からAさんが勝つ2回を選ぶ」としなければいけません。その2回はAさんが勝ち、残った2回はBさんが勝ち、5回目でAさんが勝つ。しないと、問題にあった状況になりません。\end{eqnarray}となります。最後の1試合を別枠で考える必要があります。例題2CさんとDさんが何度か試合をして、先に3回勝った方を優勝者とする。引き分けはないとする。このとき、Cさんが優勝する確率を求めなさい。「先に3回勝った方」ということは、3試合目で勝負がつくかもしれないし、4試合目かもしれないし、5試合目かもしれません。引き分けはないので、6試合目以降はありません。この3つのケースしかありません。この3つは同時に起こることはありません。それぞれのケースで分けて考えて、最後に足せば答えが得られます。3試合目で勝負がつき、Cさんが優勝する確率を考えましょう。次に、4試合目で勝負がついて、Cさんが優勝する確率です。これはさきほどの例題と同じように考えます。\end{eqnarray}となります。おわりにここでは、「先に〇勝する確率」を考えました。単純に「〇勝する確率」を考えてはダメで、最後の1試合だけ別枠で考えることがポイントでした。間違いやすいので注意しましょう。