†まず、波動関数Ψをtで2回微分する。波動関数Ψをxで2回微分する。両方ともΨが登場したので、Ψを消すと次のように計算できる。∴ここで、k=2π/λより、次が成り立つ。∴よって、波動関数Ψが満たす微分方程式は次のようになる。これが波動方程式である。波動関数Ψは単に波のひとつを表しているだけに過ぎない。本来は波動方程式を作ってそれを解いて、Ψなどの解を出すのだが、ここでは解から波動方程式を導いたわけである。実際に、Ψが波動方程式の解になることをチェックしてもらえばわかる。†2次元の平面波をΨ(x,y,z)とする。xとyそれぞれの成分を合成したものがΨとなる。波の進行方向に垂直に適当な平面で2次元の波を切ったとすると、波は楕円上のどこかの点として捉えられる。この楕円上の点の軌跡が、2次元の平面波Ψである。ここでベクトルr(長さはr=|r|)を、2次元の波の位置を表すベクトルとする。このrはもちろん楕円C上にある。すると、図から2次元の波は次のように表される。xに相当するのが、krcosθである。Ψの波長をλとすれば、k=λ/2πである。ここでベクトルkの絶対値をこのkにすれば都合がよい。kの成分(kx,ky)は次を満たさなければならない。このベクトルkを波数ベクトル(伝播ベクトル)という。なるから、2次元の波動関数は次のようになる。化学講座(4360d)。