ノートしながら読み始めたことがあったが、「草案」や「基礎」を独習したものの、テンソルの定義や記号の意味が理解しづらく、全体像を思い描くことは、できないでいた。トールステン・フリースバッハの本で、シュヴァルツシルト計量のところまできたということは、「アインシュタインの場の方程式」が導かれる過程のところを、既に学び終えているということだ。これについてコメントするのは、まだ少し早い気がする。アインシュタインの特殊相対性理論のほうは、欠陥や矛盾がたくさんあるのだが、一般相対性理論のほうでは、その特殊相対性理論を、ひとつの極限として含んでいるという記述があるものの、実際には、ニユートン力学の世界を、特殊相対性理論が含んでいるとして、言葉上だけで置き換えているにすぎず、この点を除けば、隠れた欠陥や矛盾があったとしても、その「隙」のようなものが見当たらない。基づいていることが分かる。「隙」があるとすれば、ここ、だろうが、それを見出すことができそうな「視点」が見つからない。離れて見ていることにしよう。それでは、シュヴァルツシルト計量に何か欠陥があるのかというと、そうでもない。以前は、この数式を、既に成立しているものとして使っただけであったのだが、この式が、どのようにして導かれたのかということを学んだので、その過程を整理しておこうと思った。ゴールのシュヴァルツシルト計量の式は、次の形である。地球や太陽のモデルスタートを、極座標で表した、次のミンコフスキー計量としよう。骨組はローレンツ変換である。この変換に対応しているのがミンコフスキー空間で、ミンコフスキー計量は、この空間の特性を決めるものである。シュヴァルツシルト計量が考えられたのは、地球や太陽の重力場に近いものを求めるためであろう。現実にぴったりのモデルを考えるのは難しいので、より簡単に求められそうな抽象化が行われる。ここでは、地球や太陽のモデルとして、「球対象で静的に質量が分布した物体」が考えられている。地球の場合は、自転していることと、赤道あたりがやや膨らんでいるという扁平さが、このモデルから異なっている点である。太陽の場合も、自転しているということが異なる。太陽の内部のことはよく分かっていないが、おそらく、内部の質量分布は、静的ではないだろう。これらのことも、大まかな視点からは、無視できるかもしれない。未定係数としての関数このようなモデルに対して、(2)のミコフスキー計量で示される空間が、そのまま対応しているわけではない。いう注釈が添えられている。C(r)を組み込んだものが考えられる。(3)これらの関数にθやφが含まれないのは、「球対象」という仮定条件のためであり、時間tが含まれないのは、「静的」という仮定条件のためである。新たな距離rとするような半径変数を規定して、(3)からC(r)を消去することができる。して、次の「標準系」が得られる。ミンコフスキー計量(2)となるはずであるから、次の条件が出る。アインシュタインの場の方程式この条件を含めた、計量(4)が、次のスタート地点である。(1)がゴールであるが、これだけでは、おそらく辿りつけない。ここにひとつ、指針となる条件が入る。それが、アインシュタインの場の方程式である。次のような表現となる。(6)この方程式の導出過程や意味については、まだ詳しく説明することができないので省略させてもらう。この(6)に、次の他の条件式を代入して整理すると(8)が得られる。(8)ここでは、Tに関する項が一つの因子にまとめられている。これらはエネルギー運動量テンソルに関する因子である。これが、どうやら、「源の項」と書かれているものであるようだ。今考えているモデルでは、「静的」なので、このようなエネルギーが新たに得られないということのようだ。これが0と見なされ、次の関係式が得られる。(9)これがシュヴァルツシルト計量のための、重要な条件となる。標準系の計量(4)についての計量テンソルgμνは行列の形で、次のように書かれる。4×4成分の対角成分だけを取り出す記号で、他の成分はすべてゼロである。このようなとき、逆行列は、次のように求めることができる。対角成分以外のところにゼロではない成分があるときは、余因子行列を用いる一般解の手法が必要となる。Rμν=0を利用するために、クリストッフェル記号Γσλμの値を求めておく必要がある。いうと、リッチ・テンソルRμνの定義が、次の式で与えられるからである。(12)そこでクリストッフェル記号Γσλμの値であるが、次の式で与えられる。(13)これらの添え字としてのσ,λ,μ,νには、数字の0,1,2,3が入る。μ=2を代入して、Γ012を書き下してみよう。よって(14)は、次のようになる。(15)次に現れる項の∂g20/∂x1で、g20は(10)の成分であるが、これは2行0列の成分のことであり、値はゼロである。