そのため、数が大きくなるにつれ直接素因数分解を試みるのでなく、間接的に素数であるかないかを判定する素数判定法が考案された。これが後述するエドゥアール・リュカによる判定法(リュカ・テスト(英語版))と、それを改良し今日使われているデリック・ヘンリー・レーマー(英語版)による判定法(リュカ–レーマー・テスト)である。完全数である[2][4]。この定理はすでに紀元前3世紀頃のユークリッド原論で証明されていた[5]。したがって、完全数の探索はメルセンヌ素数の探索に終始された。明らかに偶数であるが、偶数の完全数でこの生成式から得られるもの以外はないのか2000年間にわたって未解決であったが、18世紀にオイラーによりこの形に限ることが証明された[4]。