A問題の過去問解説(後半)高校入試過去問2018年(平成30年)度に高知県で行われた公立高校入試問題の数学の過去問解説の後半です。第4問から第6問までの解説になります。問題がありますが、問題に与えられた図をうまく利用しましょう。問題は高知県も公開してくれています。}}\)さいころ2つを投げて出た目を座標上にとって、原点とでできる三角形の形状を見ます。条件を整理しておきます。(1)さいころ\(\,\mathrm{A}\,\)の出た目が\(\,6\,\)のとき、つまり、\(\,\mathrm{P\,(\,6\,,\,0\,)}\,\)のとき\(\,\mathrm{△APQ}\,\)が直角三角形になる\(\,\mathrm{B}\,\)の出目をすべて求める問題です。\(\,\mathrm{B}\,\)の出目\(\,b=1,2,3,4,5,6\,\)すべて見ます。\(\,b=3,6\,\)のとき\(\,\mathrm{Q\,(\,3\,,\,3\,)\,,\,(\,6\,,\,6\,)}\,\)このとき\(\,\mathrm{△OPQ}\,\)は直角三角形になります。}\,\)考えるよりすべて調べても\(\,6\,\)通りなので調べた方がはやいです。(2)\(\,\mathrm{△OPQ}\,\)の面積が\(\,\mathrm{6}\,\)となる組み合わせは何通りあるか?三角形の面積なのでどちらかが偶数でなければ面積は\(\,6\,\)にはなりません。\color{blue}{b}=\color{magenta}{12}\,\)を考えた方がはやいです。面積を計算して\(\,6\,\)になるものを探して全部計算してもそれほど変わりません。さいころ2つの場合は樹形図よりも表ですね。樹形図でも大して変わらないので樹形図でも良いですよ。(3)\(\,\mathrm{△OPQ}\,\)が鈍角三角形になる確率です。試験中は迷っているヒマはないので鈍角三角形を探し尽くす方法で進めましょう。\(\,a=1\,\)のとき\(\,b=1\,\)のとき直角三角形となります。\(\,\color{red}{5}\,\)通り\(\,a=2\,\)のとき\(\,b=1,2\,\)のとき直角三角形になります。\(\,\color{red}{4}\,\)通り\(\,a=3\,\)のとき\(\,b=3\,\)のとき直角三角形になります。\(\,\color{red}{4}\,\)通り\(\,a=4\,\)のとき\(\,b=2,4\,\)のとき直角三角形になります。\(\,\color{red}{3}\,\)通り\(\,a=5\,\)のとき\(\,b=5\,\)のとき直角三角形になります。\(\,\color{red}{3}\,\)通り\(\,a=6\,\)のとき\(\,b=3,6\,\)のとき直角三角形になります。直角三角形と直角三角形の間にある部分、\(\,a=1,2,3,4,5,6\,\)のそれぞれについて、\(\,\mathrm{∠OPQ=90°}\,\)と\(\,\mathrm{P}\,\)を通り傾き\(\,-1\,\)の直線の間にある点では鋭角三角形と見ているのですが、直感的でも良いと思いますよ。}}\)問題の条件から分かる座標は書き込みましょう。\,y=\frac{1}{2}x^2\,\)に代入します。}\,\)(2)\(\,2\,\)点\(\,\mathrm{A,C}\,\)を通る直線を求めます。直線は異なる\(\,2\,\)点があれば必ず求まります。\left(\,-3\,,\,\frac{9}{2}\,\right)\,\)\(\,(\hspace{10pt}4\,,\,8\hspace{4pt})\,\)直線の傾きは変化の割合に一致します。\,y=\frac{1}{2}x+b\,\)とおけるので\(\,\mathrm{A,C}\,\)のどちらかを代入すれば切片が求まります。\(\,\mathrm{C\,(\,4\,,\,8\,)}\,\)を代入します。}\)(3)点\(\,\mathrm{D}\,\)が増えます。\frac{1}{2}\,\)と書いてくれています。\frac{1}{2}\,\)だったので、この\(\,2\,\)直線は平行です。『位置関係を利用する』とはこのことですね。問題は\(\,\mathrm{△ABD=△CBD}\,\)であることを説明することです。\(\,2\,\)直線が平行であること底辺\(\,\mathrm{BD}\,\)が共通であること平行な直線上で頂点が移動しても面積は変わらないこと(等積移動)が言えていれば良いでしょう。}}\)平面図形の問題ですが円の中にある三角形や平行線なので等しい角がたくさん出てきます。FC}\,\)平行線の錯角と円周角からすぐに終わるのでとっとと片づけます。\,△ACD}\,\)を証明しますが、証明は図の中で終わらせておくことがポイントです。他にも等しい角度はいろいろとありますがすでに証明できています。(終わり)(2)条件に長さが出てきます。\(\,\mathrm{AB=8}\,\)\(\,\mathrm{AD=3}\,\)\(\,\mathrm{GF=7}\,\)(1)で示した合同から、『対応する辺の長さは等しい』ので図に書き込みます。求めるのは\(\,\mathrm{CE}\,\)の長さです。長さを求めるときは、合同か相似か三平方の定理を先ずは使えないか考えるとほとんどうまくいきます。\(\,\mathrm{GF=7}\,\)を使えるようにするためには\(\,\mathrm{B,F}\,\)を結ぶでしょう。使わない条件、不要な条件はないので何故\(\,\mathrm{GF=7}\,\)があるのかを考えると良いです。\(\,\mathrm{\stackrel{\large{\frown}}{\mbox{AB}}}\,\)に対する円周角は等しいので、\(\,\mathrm{\color{red}{∠BFA}=\color{red}{∠BCA}=\color{red}{∠BDA}}\,\)\(\,\mathrm{CE}\,\)を含む三角形で相似を利用したいですが長さの情報が不足しています。\(\,\mathrm{△AED}\,\)を利用します。先に\(\,\mathrm{AE}\,\)を求めて、\(\,\mathrm{AC}\,\)から引くことで\(\,\mathrm{CE}\,\)を求めます。}\end{eqnarray}\)2018年度は以上です。数学過去問の解答解説2019年度の問題解説はいつ更新できるか分かりませんのでこちらのまとめから確認してください。クラブ活動で忙しい!塾に通っているのに数学が苦手!数学の勉強時間を減らしたい!数学の勉強方法が分からない!その悩み、『覚え太郎』が解決します!!!よく読まれています。