)への変換を特に線形変換と呼びます。よってベクトルの次元が変化しないときは線形変換と呼ばれる。線形写像かどうかの判定を例題でやってみましょう。写像は線形写像かどうかを判定しなさい。\right)\]となる。f\vec{y}\]が成立する。f(\vec{x})\]も成立する。よって、線形写像である。(線形写像であるものはこのように行列を用いて示すことができます。f(\vec{x})\]を満たさない例があるため、線形写像ではない。\right)\]となる。あとは(1)と同じように示せるため、線形写像。f(\vec{x})\]を満たさない例があるため、線形写像ではない。線形写像は入れたベクトルによって別のベクトルが出てくる魔法の箱と先ほど説明しましたね。先ほど線形写像の条件を2つ説明しました。この2つの条件により、魔法の箱でかかる魔法(つまり写像)を行列を用いて表すことができるようになります。\vec{x}\]と表すことができます。ことを表現行列と呼びます。表現行列を用いることで、線形写像を行列のように扱うことができるようになります。表現行列は変換元の空間の基底と変換先の空間の基底によって変わってきます。変換元、変換先がともに標準基底であるかそうでないかの2パターンにわけて表現行列の求め方を説明していきたいと思います。※問題文で特に基底の指示が書かれていない場合、変換元も変換先も標準基底同士で写像を適用するものだと思ってください。ついて考えてみましょう。\vec{g_3}\]と表せます。\]と表すことができますね。上の式の右辺にある行列(今回は3行2列行列)が表現行列となります。変換元も変換先も標準基底同士の場合は標準基底が移る先がそのまま表現行列になることがわかりますね。求め方を図示すると、以下のようになります。標準基底同士に限定しない場合では標準基底同士という前提を取っ払いましょう。直してから写像を適応させ、元の基底に戻する必要があるため、計算がややこしくなります。