切り折り紙マニア日記(川合工房)紙を切って折って作るから切り折り紙。」を追求するアートにしてパズルゲーム。あなたもやってみませんか。切り折り紙を思いついて20年。みんなに見てもらおうと作ったのがHP「切り折り紙の館」。見てもらうだけではつまらない、仲間を増やそうと技術公開を始めたのが当ブログ。簡単に作れるものから順に紹介していますので、分からなくなったら昔の記事から読んでみてください。このほか一般人向けにブログ「切り折り紙な日々」始めました。こすり折り(水つけ延ばし)これは凄い。円弧折り円弧折りの外側と内側の弧の紙の成す角度についての結論です。切り折り紙に応用したいだけの人はこれだけ理解すれば十分です。上の平面的な円弧(中心角αb°)を曲げて下の立体的な円弧(中心角αa°)を作るとき、下の円弧の外側と内側の紙の成す角度�]°について次の式が成り立つ。この式を応用すれば自在に円弧折りを計算して使うことが可能です。完成形を入力すれば精確な設計図を引いてくれるソフトウェアを作ることも可能です。残念ながら私は持ってません。asinなんて聞かされても使い道がないぞという人のために、表計算ソフトのエクセルに三角関数がだいたい入ってますから、asin**といれると自動的に出てきます。問題は誰が使うか!だな。円弧折り数学的な証明のための文章につき、苦手な人は3/16の結論だけを読んでも構いません。上の平面の同心円よりなる円弧(中心角αb)を折り曲げて、下の立体的な円弧(中心角αa)を作り、立体化した円弧の面の平面に立てた垂線に対する角度x°を求めよ。じつは昨日やった問題とおんなじなんです。紙を逆さに置いただけ(上に開いた鉢の形になっている)で答えは昨日と同じになります。asinはアークサインと読むsinの逆関数です。逆関数とは、、むずかしいので省略します。折り目を中心線を山折り()谷折りでも同じだが)にした同心円の外側の紙と内側の紙の成す角度�]°(ラージエックスと読む)としたとき、容易に�]°=2x°であることが分かる。この辺は数学的な勘で理解するか、図を見て理解するかしてほしい。円弧折り平面の円弧を曲げて立体化した円弧を作った時、立体化した円弧と平面に立てた垂線の成す角度が今回の問題です。数学的思考に慣れた方以外には面倒な文章ですので、3/16の結論だけを読んでいただいても結構です。最初に折る前の状態の中心の線までの半径をRb1、Rb2、中心角をαbとします。円弧を立体化した後の中心の線までの半径をRa1、Ra2、中心角をαaとします。立体化した円弧の平面に立てた垂線に対する角度x°を求めるためには、yの値が必要です。立体化後の中心角が90度であればsinx°=90°/180°=1/2x°=30°と判明する。○直角三角形では長辺ともう一辺の成す角度X°が判明すればsinx°、cosx°、tan�]が判明する。逆にsinXが分かればX°を知ることが可能である。この記号がasin(アークサイン)である。表計算ソフトのエクセルを使うとX°=asin(αb/αa)・180°/π=asin(αb/αa)・180°/3.1415926535で簡単に計算されます。(asin(αb/αa)でも出ますがこの場合は弧度法(ラジアン法)が単位となります。ネット上を調べ回ってやっとこasin、acosの概念にたどりつきました。ああしんどかった(少しは楽しかったですけど。読んだ人は私の倍もしんどかったかな)。上に書いた通りで、変形後の円弧の各辺の半径が求められます。これを円弧の断面に当てはめると、円弧の二辺の長さはそれぞれ1cmなのに対し、底辺の長さは3cm-2cm=1cm。よって断面の三辺の長さは等しいから正三角形。いうことは角度X°は60°というわけです。これはあくまで特殊な例、この程度では使える範囲など、たかが知れています。そこで一般解はどうなるのというのが次の話です。正解者は3名様、ikomaruさま、decafish様、M様の三名様には作品数点を送らせていただきました。円弧折り紙を折って変形させる上で今回の話はとても重要な数学的な事実を含んでいます。切り折り紙の可能性をさらに広げる大発見です。私にはあんまし関係ない。この関係式を使いこなすほどの作品を作る予定はありませんから。将来のだれかの役に立てばと書いておきます。同心円よりなる半円形の扇形の紙を、中央の同心円にそって折り曲げ(円弧折りし)て立体化した円弧の丸を作った。この立体化された円弧を、その円弧の中心から引いた直線で切断したとき、二辺のなす角度を求めよ。上の写真のx°が何度になるか求めよという問題です。正解者には私の作品数個(天使とドラゴンと来年の干支のウサギ)を差し上げます。10日後ごろに答えを書きます。数学的には簡単な問題です。円弧折り一つの円弧を変形させて作ったのがウロボロスであるなら、二つの円弧を組み合わせて変形させて作ったのがサラマンダーである。数学的な基礎から勉強しよう。1.二つの円を、お互いの円弧の外周円の円弧がもう一つの円の内周円の円弧に連続するように、8の字を描くように、1.の図形になるように二つの円を描く。この8の字のうち、作品に使用するのは(すこし見えづらいが)斜線部分。2.斜線部分を切り取る。3.これを中心の同心円で折って立体的な円弧とする。この円弧に頭としっぽ、手足を付け加える。これだけでドラゴンの出来上がり。以下は実際の作例である。折り上げた像をイメージして、S字カーブを基本としてトカゲの形を描く。この時に注意すべきは滑らかで自然なS字を描かせること、左右の手足の長さが違わないようにできれば長さを測って描くことである。これを折り上げたところ。サラマンダーくんである。左右が異なっているのはペン描きの跡が見えないように紙を裏返して折っているからである。サラマンダー君にまつわる伝承については「切折り紙な日々」の修羊公苑幻獣記を参照のこと。」と名付けさせていただきます。円弧折り面倒な数学の話は置いといて、実際の作品への使い方を見てみましょう。ウロボロスさんの登場です。ウロボロスさんは尻尾をくわえた蛇であり、永遠の循環のシンボルにして無限や叡智を表します。ウロボロスさんの展開図です。平面の円弧を円弧の形を生かして立体化すると、もとの円弧より小さな円弧になる一方で、円弧の中心角はもとの円弧よりも大きくなります。よってほぼ全周に近い円弧を立体化すると、円弧の両端が重なり合う、つまり口で尻尾をくわえることが可能になります。最初のイメージ、たんなる円弧です。これに頭の形をつけて、うろこをつけて、ハッタリをかけて微調整をしてウロボロスさんの出来上がり。これは2008年1月に思いついたもっとも初歩的にして効果的(たぶん)な例です。わからなくともこの程度は運が味方してくれればできるもんです。最近ようやくなんでこうなるかがわかりました。この技法、円弧折りとなずけることにします。円弧折り平面の円弧を曲げて立体化した円弧を作った時、半径と中心角はどのように変化するか見てみましょう。立体化するときに折り線となる中心の線について注目してみましょう。最初に折る前の状態の中心の線までの半径をRb、中心角をαbとします。円弧を立体化した後の中心の線までの半径をRa、中心角をαaとします。この中心線の長さをLとします。円弧の長さ=2×円周率×半径×(中心角/360度)であり、左右の円弧の中心の線の長さは同じですから、L=2πRb(αb/360度)=2πRa(αa/360度)Rb・αb=Ra・αaよってRa/Rb=αb/αa=1/(αb/αa)ところでRa/Rb=折った後の円弧の半径/折る前の円弧の半径であり、折った後は必ず円弧の半径は小さくなりますから日常語に近い形に翻訳するとRa/Rbとは「折った後の半径の縮小率」ということになります。αa/αb=折った後の円弧の中心角/折る前の円弧の中心角であり、折った後は必ず中心角が大きくなりますから日常語に近い形に翻訳するとαa/αbとは「折った後の中心角の増大率率」ということになります。よって折る前後の円弧の半径、中心角について次の関係が成り立ちます。折る前後の半径の縮小率は折る前後の中心角の増大率に反比例する。これを理解して自分のものにするとより完璧な設計図の作成が可能です。このブログを書いていなければこんな面倒な解析なんてしませんでした。解析してみたらあまりに簡単な結果に唖然としました。数学なんてやらなくとも修練と勘があれば大丈夫、いえいえ修練を積んで勘を身につけたあなたが数学を使いこなせばその成果は莫大です。頑張ってマスターしてね。円弧折りこの問題にこたえるには多少の応用力、数学的な空間と、現実の空間とを結びつける力が必要です。数学が苦手な人のためにこんな考え方はどうでしょう。上の図の中心の半円の弧(黄色い線)をひもだと考えます。このひも(黄色い線)は曲げて作った下の図形では完全な円になります。このひも(黄色い線)の長さは上の半円でも下の円でも同じです。ものすごい単純な結論でしょう。このブログ用に解析してみてあまりの単純な結論に驚きました。次はこれの応用編です。円弧折り幾何学的に切り折り紙を扱うとどんなことが可能になるかの例題です。問題のレベルとしては中三クラスの数学知識があれば解けます。同心円(円の中心が同じ)を三つ描き、それそれの同心円の半径を内側からRb1,Rb2,Rb3とする。(Rbのbはbeforeの略です)この同心円から中心角を180度とする円弧を切り抜き、真ん中の同心円の部分で二つに折り、これを変形し立体的な円弧としたうえ、完全に丸め輪を作る。このときの変形後の円弧の半径を内側からそれぞれRa1,Ra2,Ra3とする。(Raのaはafterの略)このとき、Rb1,Rb2,Rb3とRa1,Ra2,Ra3の間に成り立つ関係について示せ。解いてしまうとあまりの単純な答えに馬鹿にされた気分になります。円弧折り折り曲げて出来たのがこれ、ト音記号。紙をここまで自在に曲げられるというのが、この技法の驚くべきところ。言いながら解説などしているとだんだん驚異が薄れ出す。出来て当たり前になってしまうのである。すると始まるのがあら探し。一発作りで作った分、なめらかさに欠けている。両面テープは見苦しいし、曲げも強引。あそこをこうして、こっちをああして、そんで額に入れると受けそうだな。うん、そのうちまた作ってみよう。本作はこの技法を解説するために思いついたオリジナル作品。誰か先に作ってるよなあ、当然。円弧折り前回の出題の答えはこんな感じになります。渦巻き状の紙を紙の形に添って二つに折って、それをきれいにまとめていくと、、、アンモナイトが作れました。紙の切り方を設計図の段階で数式に基づいて計算して描けばもっと完璧な作品が出来るはず。それは私の及ぶところじゃありません。トロコイド曲線を使うんだと思うんですが、、分かる人がおられたら教えてください。この作品の展開図は出せません。写真を撮るために作品をばらしたら元に戻せる自信がありませんので。それにしても、これがぼくにとっての「魅せられし領域」です。魅せられし領域は尊敬するルネ・マグリット師の一連の作品のタイトルです。“AutoPage”AutoPage最新お知らせ。