(すうがくきそろん、英語:)は、数学の一分野。取り扱うのに対し、数学自体を対象とする。number)は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。geometry)とはユークリッド幾何学の公理主義的研究である。平行線公準の問題より非ユークリッド幾何学が生まれたが、それは同時にユークリッド幾何学の厳密性にも疑問が投げかけられることでもあった。(数学)数学における形式主義()とは、数学における命題を少数の記号によって表し、証明において使われる推論を純粋に記号の操作と捉える考え方のことを指す。自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された。ラッセル伯爵家の貴族であり、イギリスの首相を2度務めた初代ラッセル伯ジョン・ラッセルは祖父にあたる。名付け親は同じくイギリスの哲学者ジョン・スチュアート・ミル。ミルはラッセル誕生の翌年に死去したが、その著作はラッセルの生涯に大きな影響を与えた。生涯に4度結婚し、最後の結婚は80歳のときであった。1950年にノーベル文学賞を受賞している。theory)は、数理論理学による手法を用いて数学的構造(例えば、群、体、グラフ:集合論の宇宙)を研究(分類)する数学の分野である。モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与える構造としてのモデルである。言語のモデルがある特定の文または理論(特定の条件を満足する文の集合)を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。完全性は高階述語論理または無限論理において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。paradox)とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に表れる。II)の後書きに収録されている。同じパラドックスはツェルメロが1年先に発見していたが、彼はその発見を公開せず、ヒルベルトやフッサールなどのゲッティンゲン大学の同僚たちだけに知られているだけだった。ラッセルが型理論(階型理論)を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた。1966年12月2日)はオランダの数学者。ブラウエル、ブローウェルなどとも表記される。トポロジーにおいて不動点定理をはじめとする多大な業績を残し、また数学基礎論においては直観主義数学の創始者として知られる。(コンピュータ)ンピュータのプログラミング(programming)とは、コンピュータプログラムを作成することにより、人間の意図した処理を行うようにコンピュータに指示を与える行為である。language)とは、コンピュータプログラムを記述するための形式言語である。language)に限定されている。»ヒルベルト・プログラムヒルベルト・プログラムとは、ダフィット・ヒルベルトによって提唱された、数学を形式化しようとする試みのことをいう。ヒルベルト計画とも呼ばれる。»データ型データ型(データがた、)とは、(コンピュータにおける)データ(値)の種類に関する分類である。いったような値は文字列型である。プログラミングなどにおいて、まずデータオブジェクトや関数などの「値」について、またさらに、それらに関連付け(束縛)される変数や定数、リテラル、それらを組合せる演算子、さらにそれらからなる式といった構文上の要素の型が、データ型の議論の対象となる。「我々は知らねばならない、我々は知るだろう」と記されている。名はダヴィット,ダヴィド、ダーフィットなどとも表記される。»アルゴリズムフローチャートはアルゴリズムの視覚的表現としてよく使われる。これはランプがつかない時のフローチャート。)とは、数学、コンピューティング、言語学、あるいは関連する分野において、問題を解くための手順を定式化した形で表現したものを言う。算法と訳されることもある。「問題」はその「解」を持っているが、アルゴリズムは正しくその解を得るための具体的手順および根拠を与える。多くの場合において効率性が重要となる。コンピュータにアルゴリズムをソフトウェア的に実装するものがコンピュータプログラムである。人間より速く大量に計算ができるのがコンピュータの強みであるが、その計算が正しく効率的であるためには、正しく効率的なアルゴリズムに基づいたものでなければならない。1978年1月14日)は、オーストリア・ハンガリー二重帝国(現チェコ)のブルノ生まれの数学者・論理学者である。関する研究が知られる。theorem)は、数理論理学における自然数に関する命題であり、「全てのグッドスタイン数列は必ず0で終わる」という主張。ペアノ算術の範囲では証明も否定の証明もできないが、集合論の公理系、特に無限集合の公理を用いると真であることが言える。ゲーデルの不完全性定理から導かれる決定不能な命題などは、いかにも不自然だったり人工的に見えたりする場合があるのに対し、この定理は「自然な」決定不能命題の例として知られる。ーデルの不完全性定理(ゲーデルのふかんぜんせいていり、)又は単に不完全性定理とは、数学基礎論における重要な定理で、クルト・ゲーデルが1930年に証明したものである。自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。フレーゲはバルト海に面したドイツの港町ヴィスマールの生まれである。母のアウグステ・ビアロブロツキーはポーランド系である。彼ははじめイェーナ大学で学び、その後ゲッティンゲン大学に移り1873年に博士号を取得した。その後イェーナに戻り、1896年から数学教授。1925年に死去した。1957年2月8日)はハンガリー出身のアメリカ合衆国の数学者。原子爆弾開発や、その後の核政策への関与でも知られる。»サブルーチンブルーチン(subroutine)は、コンピュータプログラミングにおいて、プログラム中で意味や内容がまとまっている作業をひとつの手続きとしたものである。繰り返し利用されるルーチン作業をモジュールとしてまとめたもので、呼び出す側の「主」となるもの(メインルーチン)と対比して「サブルーチン」と呼ばれる。「サブ」をつけずに「ルーチン」と呼ぶこともある。プログラムのソース中で、繰り返し現れる作業をサブルーチン化することで、可読性や保守性を高く保つことができる。繰り返し現れる作業でなくても、意味的なまとまりを示すためにサブルーチン化することもある。キャッシュのような階層的メモリの設計を持つコンピュータ(現在のパソコンやワークステーションなどほぼすべて)では、よく使われるサブルーチンがキャッシュに格納されることで高速な動作を期待できる。公理(こうり、axiom)とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された(形式的な)言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。theory)とは、公理化された集合論のことである。図形(ずけい、shape)は、一定の決まりによって定められる様々な形状のことであり、様々な幾何学における基本的な対象である。ものの視覚認識によって得られる直観的な「かたち」を、まったく感覚によらず明確な定義と公理のみを用いて、演繹的に研究する論理的な学問としての幾何学の一つの典型は、ユークリッドの原論に見られる。ユークリッド幾何学においては、図形は定木とコンパスによって作図され、点、直線と円、また平面や球、あるいはそれらの部分から構成される。種々の幾何学に対して、変換という視点を通して統一的に記述することを目的とした。クラインのこの立場からは、図形は運動あるいは変換と呼ばれる操作に関して不変であるような性質によって記述される点集合のことであると言うことができる。同時期にリーマンは、ガウスによって詳しく研究されていた曲面における曲率などの計量を基礎に、曲面をそれが存在する空間に拠らない一つの幾何学的対象として扱うことに成功し、リーマン幾何学あるいはリーマン多様体の概念の基礎を築いた。この立場において図形は、空間内の点集合という概念ではなく(一般には曲がったり重なったりした)空間そのものを指すと理解できる。theory)は、数理論理学の一分野であり、証明を数学的対象として形式的に表し、それに数学的解析を施す。数学的に表現できる、あらゆる種類の情報処理のこと。計算を厳密に研究するため、計算機科学では計算模型と呼ばれるコンピュータの数学的抽象化を行う。その手法はいくつかあるが、最も有名なものはチューリングマシンである。チューリングマシンは、言ってみれば無限のメモリを持つコンピュータであるが、一度にアクセスできるメモリ範囲は非常に限られている。チューリングマシンは十分な計算能力を持つモデルでありながら、単純で定式化しやすく、様々な証明に使い易いため、計算機科学者がよく利用する。無限のメモリというのは非現実的な特徴と思われるかもしれないが、より適切な表現を使うならば「無制限」のメモリであって、読み書きしようとした時にそれができればよく、それに対応する「無限な実体」とでも言うべきものが必要なわけではない。「チューリングマシンで、ある問題が解ける」とは必ず有限のステップで計算が終了することを意味し、よってそれに必要なメモリの量は有限である。よって、チューリングマシンで解くことが出来る問題は、現実のコンピュータであっても必要なだけのメモリがあれば解くことが出来る。計算機(けいさんき)は、計算を機械的に、さらには自動的に行う装置である。人間が行う計算を援助するのみのものや、手動操作で自動的ではないものなどは計算器という文字表現をすることがある。science、コンピュータ科学)とは、情報と計算の理論的基礎、及びそのコンピュータ上への実装と応用に関する研究分野である。計算機科学には様々な下位領域がある。コンピュータグラフィックスのように特定の処理に集中する領域もあれば、計算理論のように数学的な理論に関する領域もある。ある領域は計算の実装を試みることに集中している。プログラミング言語理論は計算を記述する手法に関する学問領域であり、プログラミングは特定のプログラミング言語を使って問題を解決する領域である。論理学(ろんりがく、)とは、「論理」を成り立たせる論証の構成やその体系を研究する学問である。(ろんりがくしゃ)とは、論理学を専門に研究する人のことである。(数学)数学における論理主義(ろんりしゅぎ、Logicism、Logicism、Logizismus)は、数学全体を論理学の一部とみなすことで、数学の基礎付け、数学の論理学への還元、つまり論理学の諸規則から数学のそれを演繹することが出来るとする立場である。(数学)数学における関数(かんすう、、、、、函数とも)とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。英語(えいご、)は、イ・ヨーロッパ語族のゲルマン語派に属し、イギリス・イングランド地方を発祥とする言語である。Mengenlehre)は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。(論理や述語論理とともに)集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に(無定義語の)「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。二つの集合の元同士の関係(二項関係)を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの集合はそれぞれの集合の元の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合(を帰属関係で順序付けしたもの)と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。\mathrm(これは真のクラスになる)もまた整列順序付けられている。定義することができる。濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。ない)が成り立つことを主張する法則である。ともに、(古典的な)思考の三原則のひとつに数えられる。論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある(例えば直観論理)。(第三の命題が排除される法則)と呼ばれ、これらが日本語での排中という表記につながり、排中原理と呼ばれる。排中律は論理から導かれる法則ではない。修辞学では排中律が誤解されて利用されることがあり、誤謬の原因となっている。ついて研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。よる数学に関するである。2016年現在11の部門からなり、各部門が1つあるいは複数の章に分かれている。書店によって1939年から、はじめは小冊子の形で、後に合本として、出版された。すべての分冊を再出版している。(なお和訳は絶版である。意図的なものであり、通常使われる複数形が示唆するかもしれないことに反し、数学は統一されているという著者の信条を表している。数学史原論)は複数形を用いており、ブルバキ以前には数学はばらばらな分野の集まりであったが、構造の現代的な概念によって統一できるようになったことを示している。最初の6部門は論理的な順序に従っている。他の部門は初めの6部門に述べられていたことは用いるが、順序立ってはいない。mathematics)は、哲学(科学哲学)の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。数理哲学とも言われる。philosophy)という用語が、しばしば「数学の哲学」と同義語として使われる。「数学的哲学」は、別の意味を少なくとも二つ持っている。いった哲学的主題を、その主張するところでは、より正確かつ厳密な形へと形式化するプロジェクトを意味する。個々の数学の実践者や、考えかたの似た現場の数学者の共同体が日頃抱いているものの考え方(=哲学)を意味する。(すうがくてきちょっかんしゅぎ)とは、数学の基礎を数学者の直観におく立場のことを指す。数学者(すうがくしゃ、mathematician)とは、数学に属する分野の事柄を第一に、調査および研究する者を指していう呼称である。logic)は、論理学(形式論理学)の数学への応用の探求ないしは論理学の数学的な解析を主たる目的とする、数学の関連分野である。数理論理学の共通な課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学(とくに)における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。対する公理的な枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか(逆数学のように)ということに焦点を当てている。