体であれば、整域でもあるので、イデアルが極大イデアルならば、素イデアルである。一つでも含めば、なので、となる。場合、環は整域で任意のイデアルはみな単項イデアルなので、素イデアルも極大イデアルも当然ながら、単項イデアルになる。とき、素イデアルは極大イデアルと同値であることを示す。極大イデアルは素イデアルだったので、素イデアルならば極大イデアルになることだけを示せばよい。(証明)素イデアルを真に含むイデアルが存在したとする。素イデアルであるから、またはである。すると、となってしまうので、である。したのだった)、となって、となる。でない素イデアルは同値である。「標数」とよび、と書いたりする。存在しない場合は、と定義する。でない体は、いま、考えている剰余系なんかはそうである。素数であることを証明しておく。書けたと仮定すると、となるが、であるので、右辺はである。すると、整域であることから、または、である。なる最小の自然数であるということに矛盾する。体の基本的な関係を証明する。