=ベクトルから量子情報へ」によると、密度行列の部分転置は以下のように定義されている。2成分系が与えられ、\(\rho\)はその密度行列とする。\(\rho^{pt}\)を、2番目のヒルベルト空間に関する添え字の転置で$$\rho_{ij,kl}\to\rho_{il,kj}$$と定義する。ここで、\(\{\ket{e_k^{(1)}}\}\)を第1成分の基底、\(\{\ket{e_k^{(2)}}\}\)を第2成分の基底とすると$$\rho_{ij,kl}=(\bra{e_i^{(1)}}\otimes\bra{e_j^{(2)}})\rho(\ket{e_k^{(1)}}\otimes\ket{e_l^{(2)}})$$である。以上の定義を図式的に解説する。$$\rho=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix}$$という密度行列があるとして、これを構成する基底ベクトルが\(\ket{e_1^{(1)}}=\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}\)\(\ket{e_2^{(1)}}=\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix}\)\(\ket{e_1^{(2)}}=\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}\)\(\ket{e_2^{(2)}}=\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix}\)であるとすると、第1成分の第1基底と第2成分の第1基底のテンソル積、第1成分の第1基底と第2成分の第2基底のテンソル積の2つを用いた場合、$$\rho_{11,12}=(\bra{e_1^{(1)}}\otimes\bra{e_1^{(2)}})\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix}(\ket{e_1^{(1)}}\otimes\ket{e_2^{(2)}})$$$$=(\begin{pmatrix}1&0\\\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1&0\\\end{pmatrix})\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix}(\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\\\end{pmatrix})$$$$=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\\end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\\end{pmatrix}$$$$=b$$より、密度行列\(\rho\)の成分\(b\)は\(\rho_{11,12}\)と表すことができる。同様の計算を繰り返すと、\(\rho\)の各成分は以下のように表せる。$$\rho=\begin{pmatrix}\rho_{11,11}&\rho_{11,12}&\rho_{11,21}&\rho_{11,22}\\\rho_{12,11}&\rho_{12,12}&\rho_{12,21}&\rho_{12,22}\\\rho_{21,11}&\rho_{21,12}&\rho_{21,21}&\rho_{21,22}\\\rho_{22,11}&\rho_{22,12}&\rho_{22,21}&\rho_{22,22}\end{pmatrix}$$また、\(\rho\)の部分転置\(\rho^{pt}\)の各成分も同様に、$$\rho^{pt}=\begin{pmatrix}\rho^{pt}_{11,11}&\rho^{pt}_{11,12}&\rho^{pt}_{11,21}&\rho^{pt}_{11,22}\\\rho^{pt}_{12,11}&\rho^{pt}_{12,12}&\rho^{pt}_{12,21}&\rho^{pt}_{12,22}\\\rho^{pt}_{21,11}&\rho^{pt}_{21,12}&\rho^{pt}_{21,21}&\rho^{pt}_{21,22}\\\rho^{pt}_{22,11}&\rho^{pt}_{22,12}&\rho^{pt}_{22,21}&\rho^{pt}_{22,22}\end{pmatrix}$$と表せる。ここで、密度行列\(\rho\)の部分転置をとると、例えば成分\(\rho_{11,12}=b\)は2番目の添え字の転置で\(\rho^{pt}_{12,11}\)に移動する。この処理を\(\rho\)のすべての成分について繰り返すと、$$\rho^{pt}=\begin{pmatrix}a&e&c&g\\b&f&d&h\\i&m&k&o\\j&n&l&p\end{pmatrix}$$が得られる。第2成分の基底は上記の2つのままで、第1成分の基底が\(\ket{e_1^{(1)}}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}\)\(\ket{e_2^{(1)}}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}\)\(\ket{e_3^{(1)}}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}\)の3つある場合はどうなるだろうか。この時の密度行列\(\rho\)を$$\rho=\begin{pmatrix}a&b&c&d&e&f\\g&h&i&j&k&l\\m&n&o&p&q&r\\s&t&u&v&w&x\\y&z&\alpha&\beta&\gamma&\delta\\\epsilon&\zeta&\eta&\theta&\iota&\kappa\end{pmatrix}$$とおくと、部分転置をとって$$\rho^{pt}=\begin{pmatrix}a&g&c&i&e&k\\b&h&d&j&f&l\\m&s&o&u&q&w\\n&t&p&v&r&x\\y&\epsilon&\alpha&\eta&\gamma&\iota\\z&\zeta&\beta&\theta&\delta&\kappa\end{pmatrix}$$が得られる。以上のような行列の変換には、どのような法則があるだろうか。それを示すために、以下のように補助線を入れてみる。すると、部分転置とは、これらの補助線で区切られたブロック内の行列をそれぞれ転置したものであることがわかる。N_2\)行列をそれぞれ転置することで部分転置が得られる。以上の処理は、次のようなPythonコードによって実装できる。神経科学を研究している博士学生。Unityを活用して、世界の様々な現象をシミュレート・分析しています。理系分野だけでなく、政治学や社会学も、もちろん分析対象です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。SiteOrigin。