「整域」ではなく、除算ができる「体」でもないということがわかる。以上から、イデアルの生成要素が素数であれば、剰余系は加法と乗法で閉じて、「体」を成すと予想される。因数が含まれることはありえない。以外にはない「整域」であることがわかる。以外の要素はすべて単元になって「体」を成すことがわかる。素数のときである」ということが予想され、実際にそれは正しい。証明としては、いままでの流れを考えればすぐにわかると思う。(すでに証明した)、整域である。有限位数の整域は有限体であることが以下のように示せる。積についての逆元が存在する。素数ならば、体であることが示された。素イデアルと極大イデアル「素イデアル」と「極大イデアル」の定義を行う。)であって、ならばまたはであるとき「素イデアル」という。割り切れるのと似ている。対偶を取ればならばということ。素イデアルであることは同値である。(そういう意味では、極大イデアルの方が素数のイメージにより近い)。整域であることは同値であることがわかる。同値に言い換えれば、であれば、またはである。体であることは同値であることがわかる。極大イデアルなので、である。