正規部分群であることがわかる。乗法の方を見てみると、これは新しい性質を持っている。ついて、となり、となる。(なお、線型空間の部分空間と同じように、イデアルは加法の零元を含み空集合とはならないとする)。条件は剰余環の乗法がのように閉じるために必要な性質である。「環」は加法と乗法を持っているから、加法についての剰余群が、乗法についても閉じて剰余環になることは非常に重要である。ideal)」と呼ぶ。ideal)」と呼ぶ。部分群であるという条件である。イデアルは、準同型の核に限らず、整数環ではお馴染みのものである。偶数全体の集合はイデアルを成すことが直ぐに分かる。偶数と偶数を足したり、引いたりしても偶数だし、偶数に任意の整数をかけても偶数だからだ。奇数全体の集合はイデアルにはならないことが、すぐに分かる。倍数全体の集合である。(証明)のときには、は明らかである。要素が含まれているとする。正の整数と考えても一般性を失わない。