代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす。数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い。これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する。ある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる。解析学の最も基本的な部分は、微分積分学、または微積分学と呼ばれる。微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する。解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。解析学は微積分をもとに、微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており、現代では確率論をも含む。現代日本においては解析学の基本的分野は概ね高校2年から大学2年程度で習い、進度の差はあれ世界中の高校や大学等で教えられている。証明(しょうめい)とは、ある事柄が真理もしくは事実であることを明らかにすること。theory)は、数理論理学の一分野であり、証明を数学的対象として形式的に表し、それに数学的解析を施す。基本的な目的で、直観的には、アルゴリズムによって結果の値が得られる関数のことである。計算可能関数は、チューリングマシンやレジスタマシンといった具体的な計算モデルを参照せずに、計算可能性を論じるのに使われる。その定義には特定の計算モデルを参照する必要がある。computable(実効的に計算可能)という言い回しをよく使っていた。現在では、その概念が計算可能関数となっている。計算複雑性理論は、そのような関数の計算効率を研究している。チャーチ=チューリングのテーゼによれば、計算可能関数は、任意にいくらでも拡大できる記憶装置を持った計算機械を使い(いくら長くても良いが)有限の時間で計算が必ず終了する関数である。アルゴリズムのある関数は全て計算可能である。ブラムの公理を使って、計算可能関数の集合について抽象的な計算複雑性を定義できる。計算複雑性理論では、計算可能関数の複雑性を特定する問題を函数問題と呼ぶ。science、コンピュータ科学)とは、情報と計算の理論的基礎、及びそのコンピュータ上への実装と応用に関する研究分野である。計算機科学には様々な下位領域がある。コンピュータグラフィックスのように特定の処理に集中する領域もあれば、計算理論のように数学的な理論に関する領域もある。ある領域は計算の実装を試みることに集中している。プログラミング言語理論は計算を記述する手法に関する学問領域であり、プログラミングは特定のプログラミング言語を使って問題を解決する領域である。記号(きごう、Sign)とは、情報伝達や思考・感情・芸術などの精神行為の働きを助ける媒体のことである。狭義には、文字やマーク、絵など、意味を付された図形を指すが、広義には表現物、ファッションや様々な行為(およびその結果など)までをも含む。semiotics)は、言語を始めとして、何らかの事象を別の事象で代替して表現する手段について研究する学問である。semiosis(:en:Semiosis)で、専門用語などで「記号」と訳されることが多いいわゆるシンボルなどより広い。言語学(げんごがく)は、ヒトが使用する言語の構造や意味を科学的に研究する学問である。言語学者(げんごがくしゃ)とは、言語学を専攻する研究者のこと。広く言語について研究を行っている者を言うこともある。多くの言葉を話す人のことではない。この項目は、日本及び外国の言語学者の一覧である。日本語学者も参照のこと。language)とは、語義的に二つの意味に大別される。認知バイアス認知バイアス(にんちバイアス、)とは、認知心理学や社会心理学での様々な観察者効果の一種であり、非常に基本的な統計学的な誤り、社会的帰属の誤り、記憶の誤り(虚偽記憶)など人間が犯しやすい問題である。これが動因となって虚偽に係る様々なパーソナリティ障害に付随するため、謬想ないし妄想などを内包する外延的概念に該当する。転じて認知バイアスは、事例証拠や法的証拠の信頼性を大きく歪める。認識(にんしき)は基本的には哲学の概念で、主体あるいは主観が対象を明確に把握することを言う。知識とほぼ同義の語であるが、日常語の知識と区別され、知識は主に認識によって得られた「成果」を意味するが、認識は成果のみならず、対象を把握するに至る「作用」を含む概念である。認識論(にんしきろん、Erkenntnistheorie、Epistemology、Épistémologie)は、認識、知識や真理の性質・起源・範囲(人が理解できる限界など)について考察する、哲学の一部門である。knowledge)とも呼ばれる。日本語の「認識論」は独語の訳語であり、日本ではヒト・人間を考慮した場合を主に扱う。「合理的な言説」(logos)。フランスでは「エピステモロジー」という分野があるが、20世紀にフランスで生まれた科学哲学の一つの方法論ないし理論であり、日本語では「科学認識論」と訳される。哲学はアリストテレス以来その領域を諸科学によって置き換えられていったが、最後に狭い領域が残り、それが大きく認識論と存在論に大別され、現在もこの分類が生きている。認識論ではヒトの外の世界を諸々の感覚を通じていかに認識していくかが問題視される。認識という行為は、人間のあらゆる日常的、あるいは知的活動の根源にあり、認識の成立根拠と普遍妥当性を論ずることが存在論である。哲学における方法論は思弁に尽きるため、仮説を立て実験によって検証するという科学的方法論は長年取り入れられることはなかった。哲学論は基本的に仮設の羅列に過ぎず、単に主観的な主張であった。客観性の保証が全くない内観法が哲学者の主たる武器であった。19世紀末ごろ、認識論の一部が哲学の外に出て心理学という学問を成立させるが、初期にはもっぱら内観や内省を方法論とし、思弁哲学と大差はなかったため、のちにアームチェア心理学と呼ばれた。もとに実験心理学が登場し、認識の一部は、心理学に取り込まれていった。錯覚現象などがその研究対象になった。実験心理学では、データの統計的処理では科学的であったが、なぜ錯覚が生まれるかというメカニズムの解明では、仮説を立て実験データとの照合を論じてはいたものの、その仮説自体はやはり思弁に過ぎなかった。それを嫌い人間の主観を排し、実験動物を用いた観察可能な行動のみを研究対象とする一派も存在したが、人間の認識は研究対象から外された。このため、認識論の問題は比較的最近まで客観科学化されずに哲学の領域にとどまり続けた。2001年3月1日)。論理学(ろんりがく、)とは、「論理」を成り立たせる論証の構成やその体系を研究する学問である。(数学)数学における論理主義(ろんりしゅぎ、Logicism、Logicism、Logizismus)は、数学全体を論理学の一部とみなすことで、数学の基礎付け、数学の論理学への還元、つまり論理学の諸規則から数学のそれを演繹することが出来るとする立場である。ミシェル・セールの著作を数多く翻訳した。超準解析は、あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。analysis)は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった。analysis)という言葉で超準解析を意味することもある。超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた。無限に小さいあるいは無限小の量という概念は我々の直観に自然に訴えかけるように見える。何れにせよ、無限小の使用は、微分学・積分学の黎明期において、広く普及した。異論に対して、ゴットフリート・ライプニッツは、無限小の理論は理想的数――それは実数と比較して無限に小さかったり無限に大きかったりするものであるが、後者(訳注:実数)と同じ性質を有する――の導入を含意するものであると主張した。ロビンソンはこのライプニッツのはの先駆けであるとしている。彼も、彼の弟子たちや後継者たちも、このようなシステムに繋がる合理的な進展(訳注:そのような原理を合理化するもの)を得なかった。その結果、無限小の理論は徐々に評判を落としてゆき、最終的には古典的な極限の理論に取って代わられた。超数学(ちょうすうがく)あるいはメタ数学(メタすうがく、)とは、数学自体を研究対象とした数学のこと。超数学という語を初めて用いたのはヒルベルトであり、彼は数学の無矛盾性や完全性を問題とした。ゲーデルの完全性定理や不完全性定理はその例である。縦と横の長さの比の値が黄金比の近似値1:1.618である長方形。近似値は1:1.618、約5:8。真であると結論付けることである。帰謬法(きびゅうほう)とも言う。結論付けることは否定の導入などと呼ばれる。結論付けることを狭義の背理法あるいは否定の除去ということがある。否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。一般的には、背理法と言った場合広義の背理法を指す。結論できることになる。結論することは、認められる。無理数であること、素数が無限に存在すること、中間値の定理,ハイネ・カントールの定理などがあり、無限を相手にした証明には基本的に背理法のスタイルを取らざるを得ないものが多くある。無理数である(すなわち有理数でない)ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。量化(りょうか、Quantification)とは、言語や論理学において、論理式が適用される(または満足される)議論領域の個体の「量」を指定すること。Reasoning)は計算機科学と数理論理学の一分野であり、推論の様々な側面を理解することでコンピュータによる完全(あるいはほぼ完全)自動な推論を行うソフトウェアを開発することを目的とする。人工知能研究の一部と考えられるが、理論計算機科学や哲学とも深い関係がある。自動推論のなかでも最も研究が進んでいるのは、自動定理証明(および完全自動ではないがより現実的な)と(固定の前提条件下での推論と見なすことができる)であるが、他にも類推、帰納、アブダクションによる推論の研究も盛んである。他の重要なトピックとしては、不確かさのある状況での推論と非単調推論である。不確かさに関する研究では論証(argumentation)が重要である。それはすなわち、標準的な自動推論へのさらなる極小性と一貫性の適用である。システムは単なる自動定理証明機よりも自動論証システムといえるものである。自動推論のツールや手法としては、古典的論理学や代数学があるが、他にもファジィ論理、ベイズ推定、最大エントロピー原理に基づく推論、その他のあまり形式的でない技法などがある。language)とは、人間によって日常の意思疎通のために用いられる、文化的背景を持って自然に発展してきた言語である。書記言語、口語と文語といったような分類があるが、いずれも似ているようだが着目点や対比軸が異なる分類であり、混同してはならない。異なる)がそうである。number)とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。する流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる(詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照)。自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。18)を指して自然数ということもある。電子(でんし、)とは、宇宙を構成するレプトンに分類される素粒子である。素粒子標準模型では、第一世代の荷電レプトンに位置付けられる。電子は電荷&minus;1、スピンのフェルミ粒子である。ワインバーグ=サラム理論において弱アイソスピンは&minus;、弱超電荷は&minus;である。Mengenlehre)は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。(論理や述語論理とともに)集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に(無定義語の)「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。二つの集合の元同士の関係(二項関係)を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの集合はそれぞれの集合の元の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合(を帰属関係で順序付けしたもの)と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。\mathrm(これは真のクラスになる)もまた整列順序付けられている。定義することができる。濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。Intelligence、CI)は、多くの個人の協力と競争の中から、その集団自体に知能、精神が存在するかのように見える知性である。Mayer-Kress(2003年)らが理論を構築した。コンピュータなど様々な集団の、意思決定の過程で発生する。「グループIQ」と呼んだものから一歩進み、人間の集団的知性に研究の焦点をあてている。集団的知性を「集団思考(集団浅慮)や個人の認知バイアスに打ち勝って集団が協調し、より高い知的能力を発揮するため」のものと主張している。勝ち取りえる、人類コミュニティの能力」と定義している。「集団的知性は、関心をひとつに集中し、適切な行動を選択するための基準を形成する能力がある」と述べている。CH)とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。抽象化(ちゅうしょうか、Abstraction、Abstraktion)とは、思考における手法のひとつで、対象から注目すべき要素を重点的に抜き出して他は無視する方法である。反対に、ある要素を特に抜き出して、これを無視したり、切り捨てる意味もあり、この用法については捨象(しゃしょう)するという。従って、抽象と捨象は盾の両面といえる。研究者が学術雑誌に投稿した論文が掲載される前に行われる。研究助成団体に研究費を申請する際のそれも指すことがある。審査(しんさ、)とも呼ばれることがある。rule)とは、論理式から他の論理式を導く推論の規則である。よって理論を形式化したものを公理系という。公理は記号だけで記述されるが、推論規則や代入規則はこれらの記号について述べているメタ言語で記述される。(トートロジー)から推論規則を導くと妥当性のある推論になる。ない)が成り立つことを主張する法則である。ともに、(古典的な)思考の三原則のひとつに数えられる。論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある(例えば直観論理)。(第三の命題が排除される法則)と呼ばれ、これらが日本語での排中という表記につながり、排中原理と呼ばれる。排中律は論理から導かれる法則ではない。修辞学では排中律が誤解されて利用されることがあり、誤謬の原因となっている。philosophy)とは、ヨーロッパから見た東洋すなわちアジアで生まれた哲学を一緒くたに纏めた用語。中国哲学、インド哲学、イスラム哲学など、日本哲学も含まれる。これは本来中華文明(朝鮮、ベトナムなども含む)、インド文明、日本文明などと同列の個別文明に過ぎない欧州文明を特別視するという点で欧米中心主義的な言葉である。俳優杉浦直樹は従兄弟である。(こうぞうしゅぎ、)とは、狭義には1960年代に登場して発展していった20世紀の現代思想のひとつである。広義には、現代思想から拡張されて、あらゆる現象に対して、その現象に潜在する構造を抽出し、その構造によって現象を理解し、場合によっては制御するための方法論を指す語である。Constructivism)は、様々な領域や学問分野で使われる。