クラウジウスはこの不変量をエントロピーと呼んだ。{Q_{2}}{T_{2}}}}が成り立つ。可逆でない過程で高熱源で熱を得た後、低熱源でその熱を捨てるとエントロピーは増大する(エントロピー増大則)。0}となる(クラウジウスの不等式)。式と違いQiは全て温度Tiの熱源から得る熱であり、熱を捨てる場合は負の値としている。状態Aから状態Bへと移る任意の可逆過程C,C'を考え、−CをCの逆過程とする。この積分の値は始状態と終状態が同じならば可逆過程の選び方によらない。{d'Q}{T}}}と定義することができる。ここでΓ(A)は基準状態Oから状態Aへと変化する可逆な過程である。式からエントロピーの定義は可逆過程Γ(A)の選び方によらない。基準状態Oから状態Aへと移る可逆過程Γ(A)と、状態Aから状態Bへと移るある可逆過程Cを連結させた過程Γ(A)+Cは基準状態Oから状態Bへと移る可逆過程である。{d'Q}{T}}}となる。状態Aから状態Bへと移る任意の過程Xと、同じく状態Aから状態Bへと移る可逆過程Cを考え、−CをCの逆過程とする。このときXと−Cを連結させた過程X−Cはサイクルとなる。{d'Q}{T_{\text{ex}}}}}が導かれる。ここでTexは熱源の温度であり、一般には系の温度Tとは一致しない。可逆過程Cの間においては、系は常に平衡状態にあるとみなされるから、熱源の温度Texは系の温度Tに一致する。0}という結果が得られる。これがエントロピー増大則である。熱力学第二法則と同値なクラウジウスの不等式からこれが求められたことにより、熱力学第一法則がエネルギー保存則と対応するのになぞらえて熱力学第二法則とエントロピー増大則を対応させることもある。この導出から明らかなように、熱の出入りがある系ではエントロピーが減少することも当然起こり得る。エントロピーが増加するために、熱エネルギーのすべてを他のエネルギーに変換することはできない。したがって、熱エネルギーは低品質のエネルギーとも呼ばれる。U+W}と表すことができる。{d'Q}{T_{\text{ex}}}}}となる。d'W=p_{\text{ex}}dV}となる。{1}{T_{\text{ex}}}}(dU+p_{\text{ex}}dV)}が成り立つことがわかる。{1}{T_{\text{ex}}}}(dU+p_{\text{ex}}dV)}が成り立ち、さらに準静的過程では系と外部が熱平衡および力学的平衡にあるので、外部の温度Texは系の温度Tに等しく、外部の圧力pexは系の圧力pに等しい。{1}{T}}(dU+pdV)}となる。系と外部の間で物質の出入りがなく、外場の作用も受けていないときには、平衡状態にある系の温度と圧力は、(U,V)の関数として一意に定まることが経験的に知られている。{1}{T(U,V)}}(dU+p(U,V)dV)}が成り立つ。左辺のdSが状態量Sの変化量なので、右辺もまた途中の過程に依らないからである。{p}{T}}}が得られる。前者は、統計力学において熱力学温度Tを導入する際に用いられる関係式である(エントロピーの存在を公理的に与える論理展開の場合は、熱力学においてもこの式が熱力学温度の定義式である)。系と外部の間で物質の出入りがなく、外場の作用も受けていないとき、T(U,V)とp(U,V)の両方の関数形が知られていれば、これら二つの関数から、熱容量やエントロピーなどの、系の全ての状態量を計算することができる。どちらか一方の関数形が不明な場合は、これが不可能になる。p(U,V)だけから系の熱容量を計算することは不可能である。T(U,V)だけからでは、体積変化に伴うエントロピー変化を求めることはできない。S(U,V)が知られていれば、この関数ひとつだけから、系の全ての状態量を計算することができる。系と外部の間で物質の出入りがなく、外場の作用も受けていないとき、S(U,V)は完全な熱力学関数となる。エントロピーは内部エネルギーや体積などの示量性状態量を変数に持つとき、完全な熱力学関数となる。ここで、Nは物質量、μは化学ポテンシャルである。dN-xdX)}となる。Xとxの組としては誘電体の理論における誘電分極Pと外部電場E磁性体の理論における磁化Mと外部磁場Hなどがある。温度による表示編集エントロピーを完全な熱力学関数として用いる場合の系の平衡状態を表す変数は内部エネルギーと体積などの示量性変数である。温度は測定が容易なため、系の平衡状態を表す変数として温度を選ぶ場合がある。{C_{V}(T,V)}{T}}}で与えられる。T}}\right)_{V}}で与えられる。_{T}}}}となる。_{T}}}\,dV\\\end{aligned}}}となる。{dB_{V}}{dT}}+O(p^{1})}となる。{dB_{V}}{dT}}+O(p^{2})}で表される。p°におけるモルエントロピーに相当する。いう概念を導入して熱力学を再構築した[11][12]。}の性質からエントロピーの存在と一意性を示した。この公理的に基礎付けされた熱力学によって、クラウジウスの方法で用いられていた「熱い・冷たい」「熱」のような直感的で無定義な概念を基礎から排除した。温度は無定義な量ではなくエントロピーから導出される。このリーブとイングヴァソンによる再構築以来、他にも熱力学を再構築する試みがいくつか行われている[13]。統計力学におけるエントロピー編集ある巨視的状態(例えば、圧力と体積を指定した状態)に対して、それを与える微視的状態(例えば、各分子の位置および運動量)は多数存在すると考えられる。そこで仮想的にアンサンブルを考える。ある巨視的状態に対応する微視的状態の集合を考え、その各々の元が与えられた巨視的状態の下で実現する確率分布を与えることにする。entropy)とも呼ばれる。えば、エネルギーEの状態にある孤立系に対応して、小正準集団を用いるとする。7](等重率の原理)。ここで、規格化定数Ω(E)は状態数と呼ばれ、系がエネルギーEにあるときに実現しうる微視的状態の数を意味する。(E)}で与えられる。熱力学との整合性編集このように小正準集団により与えられたエントロピーが、先に見た熱力学のエントロピーと整合していることを確認する。つの部分系に分離する。E2と分配されるとしよう。この場合、系全体の状態数か、あるいはその対数であるエントロピーが最大になるように部分系のエネルギーが決定されると考えるのは自然であろう。{dS_{2}}{dE_{2}}}}となる。1/Tが成立するのであった(部分系の体積は固定しておくことにする)。つの系の温度は等しくなることと、ここで確認した事実は確かに整合している。熱力学と整合するアンサンブルは、ここで例示した小正準集団の他にも、正準分布や大正準分布がある。情報理論においてエントロピーは確率変数が持つ情報の量を表す尺度で、それゆえ情報量とも呼ばれる。iとなる確率)で定義されており、これは統計力学におけるエントロピーと定数倍を除いて一致する。この定式化を行ったのはクロード・シャノンである。これは単なる数式上の一致ではなく、統計力学的な現象に対して情報理論的な意味づけを与える事ができることを示唆する。情報量は確率変数Xが数多くの値をとればとるほど大きくなる傾向があり、したがって情報量はXの取る値の「乱雑さ」を表す尺度であると再解釈できる。よって情報量の概念は、原子や分子の「乱雑さの尺度」を表す統計力学のエントロピーと概念的にも一致する。情報のエントロピーと物理現象の結びつきは、シャノンによる研究の時点では詳らかではなかった。この結びつきは、マクスウェルの悪魔の問題が解決される際に決定的な役割を果たした。シラードは、悪魔が分子について情報を得る事が熱力学的エントロピーの増大を招くと考えたが、これはベネットにより可逆な(エントロピーの変化ない)観測が可能である、と反例が示された。最終的な決着は1980年代にまで持ち越された。ランダウアーがランダウアーの原理として示していたことであったのだが、悪魔が繰り返し働く際に必要となる、分子についての以前の情報を忘れる事が熱力学的エントロピーの増大を招く、として、ベネットによりマクスウェルの悪魔の問題は解決された。この原理によれば、コンピュータがデータを消去するときに熱力学的なエントロピーが発生するので、通常の(可逆でない=非可逆な)コンピュータが計算に伴って消費するエネルギーには下限があることが知られている(ランダウアーの原理。現実の一般的なコンピュータの発熱とは比べるべくもない規模である)。理論的には可逆計算はいくらでも少ない消費エネルギーで行うことができる。おける最大エントロピー原理を打ち立てた。この結果、ギブズの手法は統計学・情報理論の統計力学への一応用例として再解釈されることになった。統計力学と情報理論の関係は量子力学においても成立しており、量子統計力学におけるフォン・ノイマン・エントロピーは量子情報の情報量を表していると再解釈された上で、量子情報や量子計算機の研究で使われている。「ホログラフィック原理」も参照ブラックホールのエントロピーは表面積に比例する。G}}.}ここでSはエントロピー、Aはブラックホールの事象の地平面の面積、ħはディラック定数(換算プランク定数)、kはボルツマン定数、Gは重力定数、cは光速度である。参照エルヴィン・シュレーディンガーは、生命をネゲントロピー(負のエントロピー)を取り入れエントロピーの増大を相殺することで定常状態を保持している開放定常系とした。「でたらめさ」と表現されることもある。ここでいう「でたらめ」とは、矛盾や誤りを含んでいたり、的外れであるという意味ではなく、相関がなくランダムであるという意味である。ここでいう「微視的状態が確定する」ということは、あらゆる物理量の値が確定するという意味ではなく、なんらかの固有状態に定まるという意味である。従って量子力学的な不確定性は残る。