検索に移動この項目では、数学上の曲線について説明しています。(路線)」をご覧ください。この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。line)は、一般にまっすぐとは限らない幾何学的対象としての「線」を言う。曲線とは曲率が零とは限らないという意味での直線の一般化である。数学の様々な分野において、その研究領域に応じたそれぞれやや異なる意味で「曲線」の語が用いられる(から、精確な意味は文脈に即して捉えるべきである)が、それらの意味の多くは以下に挙げる定義の特別な実例になっているはずである。曲線とは局所的に直線と同相であるような位相空間を言う。それは日常語で言えば、曲線は点の集合であって、それらの点が十分近くであれば直線のように見えるが、変形があってもよいというような意味である。数学の各分野で扱われる曲線の数は多岐にわたる(英語版)。最初に触れる曲線の簡単な例というのはほとんどの場合「平面曲線」(例えば平らな紙の上に描いた曲がった線)であろうが、螺旋のように三次元的なものもある。幾何学的な必要性や、例えば古典力学からの要請で任意次元の空間に埋め込まれた曲線の概念も必要とされる。一般相対論において世界線とは時空内の曲線である。一般用語として、「曲線」が(成長曲線やフィリップス曲線の例に見るように)函数のグラフ、あるいはより多様な二次元図表(英語版)の意味で用いられることがあるが、本項で言う意味とは(近い関連はあるにせよ)異なるものと理解すべきである。外部リンク歴史[編集]ニューグレンジの巨石芸術(英語版)は古代における曲線への興味を示している曲線への関心が、それが数学的研究の主題となるよりずっと昔から存在したことは、先史時代までさかのぼれる芸術や日用品において装飾的に用いられる種々の例から見てとることができる[3]。曲線、あるいは少なくともそれらの視覚的表現は、例えば浜の砂に棒きれで描くように、容易に作り出せる。円錐を切断して得られる曲線(円錐曲線)は古代ギリシアで研究された曲線の一つである。古代ギリシアの幾何学者は多種多様な曲線を研究した。その一つの理由は、彼らが標準的なコンパスと定木を用いた作図を用いて解くことのできない幾何学的問題を解くことに関心を持っていたからである。円錐曲線はペルガのアポロニウスが研究した。ディオクレスのシッソイドはディオクレス(英語版)が研究し、立方倍積問題に用いた[4]。ニコメデスのコンコイドはニコメデス(英語版)が研究し、立方倍積問題と角の三等分問題の両方に用いた[5]。アルキメデスの螺旋はシラクサのアルキメデスが研究し、角の三等分問題と円積問題に用いた[6]。ペルセウス(英語版)の研究した、(アポロニウスの円錐曲線と同様に)平面による切断でトーラスの断面に現れる曲線である。解析幾何学は、幾何学的作図の代わりに方程式を用いた定義により、デカルトの正葉線のような曲線も扱えるようにした曲線論の基本的な進歩は17世紀に解析幾何学によってもたらされた。これにより曲線は、極めて精巧な幾何学的構成ではなく、方程式を用いて記述することができるようになる。これは新しい曲線を定義して研究できるようになるというばかりでなく、代数方程式を用いて定義できる代数曲線と、そうでない超越曲線(英語版)という、曲線の形式的な区別も可能となることも意味する。それ以前には、曲線が「どのように生成されたか」または「どのようにして生成できるか」の別に従って「幾何学的」または「機械的」と記述されていた。[3]円錐曲線はケプラーが天文学に応用した。ニュートンも変分法の初期の例に取り組んだ。最速降下問題や等時問題のような変分問題の解曲線として、新たな方法に関する曲線の性質が導入された(この例の場合は擺線)。懸垂線は吊るされた鎖の問題の解曲線としてその名がある。この種の問題は微分法の登場とともに機械的に扱えるものとなっていった。一般に平面代数曲線論が始まるのは18世紀からである。ニュートンは、実点集合が「卵形」になることに関する一般記述において、三次曲線(英語版)を研究した。ベズーの定理の主張は、当時の幾何学が直接的に扱えない数々の側面を示しており、特異点や複素数解も併せて扱う必要がある。19世紀以降は独立した曲線論ではなく、射影幾何学や微分幾何学の一次元的側面として曲線が現れるようになる。後には位相幾何学でも扱われ、そのころには例えばジョルダン曲線定理は、複素解析において必要とされるだけでなく、極めて深い内容を持つものと理解されるようになる。空間充填曲線の現れる時代には、ついに現代的な曲線の定義が生み出されることとなる。像を曲線と呼ぶかは文脈による。位相空間論において写像自身を曲線と呼ぶのは、単に連続というだけの写像の像を曲線と呼ぼうとすれば、およそ一般的に言う意味での曲線とは思えないものまで曲線と呼ぶことになってしまうためである。他方で、可微分函数(あるいは少なくとも区分的に微分可能な函数)の定める曲線を対象とするならば、曲線と呼ぶのはふつう像のほうである。y)となることを言う。なることは許す(このように約束すれば、単純閉曲線について述べることができる)。日常語で言えば、「自分自身と交叉することがなく、また途切れたりもしていない」曲線が単純曲線である[7]。この曲線の多重点(少なくとも二重点)と呼ばれる曲線の特異点である。