定数係数の2階微分方程式解法ツール(陽、陰オイラー法、RK4、解析解の比較ができます)を公開しました。(一階微分)まず一番簡単な例として、以下の式を解く場合を考えます。$$\frac{dx}{dt}=x、x(0)=1$$まずは解析解を求めます。exp(t)$$初期条件:x(0)=1から、C=1。よって解析解は$$x=exp(t)$$続いて数値計算で解くためには式を離散化する必要があります。Euler)をご紹介します。各使用例を以下ご紹介します。t}、x(0)=1$$上式をVBA、Python、Scilabで求めたものは、それぞれ以下をご参照ください。VBA、Python、Scilab・使用例(一階微分&非線形)以下の非線形の一階微分方程式を解くことを考えます。$$\frac{dy}{dt}=-\left(y^4-1\right)、y(0)=2$$右辺が非線形になっているため、一度にパッと逆行列を求めることができません。Raphson法を適用した以下の一般化式で求めます。$$\left(\boldsymbol{I}-h\boldsymbol{J}(t_{n+1},\boldsymbol{Y}_{n+1,i})\Delta\boldsymbol{Y}_{n+1,i+1}\right)=-\left(\boldsymbol{Y}_{n+1,i}-hf\left(t_{n+1},\boldsymbol{Y}_{n+1,i}\right)-\boldsymbol{Y}_{n}\right)$$以下の著書を参考にしています。Swaminathanブログでも紹介したのですが、実用的で分かりやすくて良い本です。・使用例(二階微分)もう一例、今度は2階微分です。$$\frac{d^2x}{dt^2}=-x、x(0)=1、\frac{dx}{dt}=0$$まずは解析解を求めます。$$逆ラプラス変換を行い、以下が解となります。$$なお、上式の変形はラプラス変換の微分則を使っております。ラプラス変換の詳細については、こちらControlをご参照ください。)$$逆ラプラス変換(三角関数)↓$$sin(at)=\frac{a}{s^2+a^2}$$続いて数値計算で解くためには式を離散化する必要があります。\end{align*}上式をVBA、Python、Scilabで求めたものは、それぞれ以下をご参照ください。サイトに不具合、ご意見等ございましたらCEsolutionにお知らせください。