この分解ができれば元の連立一次方程式は次のように変形できます。求めることができます。して求めたcは最小二乗解になっています。とり方ですが、むやみに大きくすればよいというものではありません。明らかに直線にのっているデータを10次多項式で近似しても意味がありません。列が一次従属になってしまい、QR分解が失敗します。(ランク数は一次独立な列の数です)。このような場合にはモデル関数の見直しが必要です。この計算法によるVBAサブルーチンDgelsあるいはワークシート関数WDgelsを使うことにより、精度よく最小二乗解を求めることができます。最小にするようにパラメータcjを決めます。反復計算により解を求める必要があります。初期値として与えられた近似解を出発点に解を改良する反復を行い、最終的に最小二乗解に収束させます。前進差分近似で計算し、ユーザーによる微分計算を不要にした使いやすいサブルーチンです。XLPackソルバーから使うこともできます。補間法はしばしば最小二乗法と混同されます。最小二乗法ではデータ点に誤差が含まれていることを前提とし、近似式はぴったりデータ点を通るわけではありません。補間法は誤差が含まれていないデータ点を滑らかにつなぐ方法で、補間式はぴったり全データ点を通ります。データ点に誤差が含まれていると不自然に曲がった近似式が得られます。いろいろな関数値を表にした数表というのがあります。現在では電卓やコンピュータがあるためその需要はなくなりましたが、例えば、計算するのに多大な労力が必要な関数の値を素早く求めたい場合などに使われます。主な補間法としては以下があげられます。小さい区間に分割しそれぞれの区間で多項式補間を行う方法です。その中で最もよく使われるのは3次スプライン補間です。多項式の場合を代数方程式といいます。02、3、4次方程式については解の公式により解くことができます。5次以上は反復法で解く必要があります。代数方程式には多くの解法が提案されており使い分けるとよいとされています。実数解を1つだけ求めればよい場合には下の1変数の非線形方程式の解法を用いる方法もあります。実数係数の代数方程式をニュートン法で解くプログラムです。複素解が求められます。一般の1変数の非線形関数の実数のゼロ点を求める問題です。0代表的な解法はニュートン法です。収束が速く、これをベースにしている解法が数値計算には多くあります。他には二分法などゼロ点を含む区間を縮小していく解法があり、収束は速くありませんが確実な方法です。二分法と補間法を組み合わせたルーチンで、ゼロ点が含まれる範囲を与えると二分法よりも高速に解を見つけてくれます。XLPackソルバーから使うこともできます。非線形連立方程式は数値計算としては解くのが難しい問題の一つです。おいては、方程式が特異でない限り必ず唯一の解が存在しました。実数解が存在しないことがあり、また複数存在することもあります。これらは与えられた初期値の近傍の解を見つけるもので、大域的な解を求めるものではありません。微分(ヤコビ行列)を前進差分近似により計算する使いやすいルーチンです。これも反復法で解く必要があります。1変数関数の非線形最適化1変数の非線形関数の最小点を求める問題です。f(x)よく使われる解法は黄金分割探索法のように最小点を含む区間を縮小していく方法です。非線形方程式の二分法に似て収束は速くありませんが確実な方法です。黄金分割探索と放物線補間を組み合わせたルーチンで、与えられた区間に含まれる最小点を見つけます。似たサブルーチンです。XLPackソルバーから使うこともできます。非線形関数の最小点を求める問題です。これも数値計算としては解くのが難しい問題の一つです。xn)非線形最適化には種々の解法があります。シンプレックス法などの直接探索法は関数値だけを用います。共役勾配法、準ニュートン法などは関数値だけでなく微分値も用います。これらの方法により求められるのは局所的最小点であり、大域的最小点を求めることはできません。微分(ヤコビ行列)を差分近似により計算する使いやすいルーチンです。XLPackソルバーから使うこともできます。b]を数値的に求めます。2種類の数値積分ルーチンがあります。1つは関数入力タイプで、被積分関数値が要求に応じて区間内の任意の点で計算できる場合に使われます。1つはデータ入力タイプで、区間を包含するいくつかの点での被積分関数値が知られている場合に使われます。関数入力タイプ古くから使われている多くの求積公式があります。台形公式、シンプソン公式、ニュートン・コーツ公式、ガウス公式などです。これらの公式を使って得られた結果の誤差を推定するのは簡単ではありません。最近では、積分値と誤差の推定値の両方を計算するのに効果的な新しい公式が使われています。ガウス・クロンロッド公式はそのひとつです。ユーザーは推定誤差から結果の精度について有益な情報を得ることができます。推定誤差は適応求積アルゴリズムを使う際に重要な役割を持っています。適応求積ルーチンは、推定誤差にもとづいて区間分割を自動的に調節し与えられた目的精度を満たすように積分値を計算します。信頼性が高く効率的もよく、汎用的に使うことができます。ガウス・クロンロッド公式による求積ルーチンです。15回の関数呼び出しで積分値とその推定誤差を計算します。ガウス・クロンロッド公式による適応求積ルーチンです。被積分関数が滑らかな場合にはQk15で十分な精度が得られます。被積分関数が滑らかでない場合や、関数呼び出しが増えてでも所定の目的精度を得たい場合には、適応求積分ルーチンQagを使うとよいかもしれません。これもガウス・クロンロッド公式による適応求積分ルーチンです。XLPackソルバーから使うこともできます。データ入力タイプデータ点の補間を行いその補間式の積分を計算することにより積分値を求めることができます。科学技術計算においてはしばしば現れます。解析的に解けることは少なく数値解法に頼ることになります。初期値問題1階の常微分方程式は次の形に書くことができます。y(tf)を求めるものです。次式は初期条件とよばれます。y01階の連立方程式1階の常微分方程式の初期値問題は、スカラーyをベクトルyに代えてこのまま連立方程式に拡張することができます。y0例えば、2変数の場合について書き下すと次のようになります。t)この場合、初期条件は2つ必要になります。高階の常微分方程式、すなわち、2階以上の微分を含んだ常微分方程式は、1階の連立常微分方程式の形にして扱うことができます。次の方程式を考えます。おけば、次のように1階の連立常微分方程式になります。t)この場合には次のように3つの初期条件が必要になります。y''0同様にして高階の連立方程式を解くこともできます。常微分方程式の初期値問題の解法には、オイラー法やルンゲ・クッタ法などの1段解法、アダムス法などの多段解法があります。数値積分と同様に、解を求めるだけではなく誤差の推定が効率よくできる種々の解法も開発されています。埋め込み型ルンゲ・クッタ法では1つの公式で2つの異なった次数の近似解を求めることができ、うち1つは誤差推定のために使われます。これにより、推定誤差をもとに刻み幅を自動的に調節しながら解を求める適応ルーチンも作られています。埋め込み型ルンゲ・クッタ法のひとつである4(5)次ルンゲ・クッタ・フェールベルグ法による適応ルーチンで、RKF45という名前で広く使われているものとほぼ同じです。1階の連立常微分方程式に対応しています。XLPackソルバーから使うこともできます。多くの分野で使われています。f(x)は周期2πの関数とします。表します(j=0~N-1)。f(x)が実数関数の場合にはDFTは次式で表されます。