いくらでも精度よく迫っていくことができますけど、この数そのものに到達することはできません。このことをもって、有理数全体の集合は、実数全体の集合の中で稠密だけど、連続ではない、といいます。このあたりのことを、もっと詳しく知りたい方は、下記の本が、お薦めです。私が私立桐朋中学に在学していた当時、数学の奥山先生が授業の中で紹介してくれたものです。何かものすごく大事なことが書いてあるんじゃないかと予感して、買って読んでみた私は、その後、大学で数学を専攻することになります。現代数学の展望」(岩波新書、1952/5/10)有理数全体の集合と無理数全体の集合とを合わせると、実数全体の集合になります。実数どうし、四則演算(足し算、引き算、掛け算、割り算)をすることができます。ゼロで割ることは禁止です。演算の結果として、必ず、実数が得られます。このことを、実数は四則演算について「閉じている」といいます。実数の人たちは、抜けのない一直線上の世界でほぼすべてが完結し、平和に暮らしています。●数学における存在は、物理における存在と違って、概念的なもの実数の説明が済んだら、次は複素数の説明に進むのが順番ってもんですが、ここで脱線します。いうのも、複素数を導入したら、それはちゃんと存在が裏づけられている数なのか、それとも存在しない架空の数なのか、ってことが議論になるのが目に見えているからです。そこから説き起こしておかなくてはなりません。「火星に水が存在する」とか「この財布の中には千円札しか紙幣が存在しない」と言ったときの「存在」とは、物理的な意味での存在です。現実の空間の中で、ある体積を占め、質量を有し、実際に「そこにある」という形で存在するかどうかが問題にされます。ところが、数学で「この方程式には解が存在する」と言うとき、その「存在」の意味は、上記のような物理的な存在とは、だいぶ感じが異なります。どちらかというと、「旭川には、気温がプラスにならない日が存在する」と言ったときの「存在」に近いです。ここで、「候補集合」という概念を導入しておきたいと思います。造語といっても、検索すると出てくるので、世に初めて登場させるってわけではないのですが、私が思っている意味での使い方は見つかりませんでした。上手い呼び名はないもんかなぁ。ある条件Aが与えられたとき、その条件を満たす対象物を探したくなるのが人情ですが、それをどの範囲まで探しに行くのか、その範囲全体を称して「候補集合」と呼ぶことにします。上述した旭川の気温の例では、歴史の開闢以来、今日に至るまでの「すべての日」が「候補集合」となります。「条件A」とは、「気温がプラスにならないこと」です。仮に、2016年2月15日(月)の最高気温がマイナス3°Cだったとしましょう。実際にどうだったかは知りませんけど。すると、この日は条件Aを満たしています。いう日は存在した、ってことになります。数学における「存在」というのは、「条件Aを満たす要素が、候補集合Uの中に存在する」という文脈でのみ使われます。同じことを「存在」という言葉を使わずに言い換えれば、「候補集合Uの中の1個以上の要素が条件Aを満たす」ということになります。財布の中の千円札みたいに、この世に物理的に存在するかどうかを問題にしません。純粋に概念的なものなのです。●概念だからといって、なんでもかんでも存在が許されるってもんでもない数学における「存在」が、物理におけるそれとは異なり、単なる概念的なものにすぎないのだとすると、頭の中で思い浮かべることさえできれば、なんでもかんでも存在が許されるってことになりはしないでしょうか。いやいや、そうはなりません。足が百本ある猫というものを考えてみましょう。無理すれば、頭の中に思い浮かべられなくもないですね。なんなら、ぬいぐるみを試作してみることだってできそうです。量産して売ったら、案外、売れちゃうかもしれません。これを「百足猫(ムカデネコ)」と呼ぶことにしましょう。百足猫は存在するのでしょうか。たしかに、頭の中に、概念として存在するようになったとは言えるでしょう。いって、実体をもつ実例がただちに存在するようになったと言うわけにはいかないでしょう。「奇数でも偶数でもない自然数」という概念を考えてみましょう。奇数と偶数が互い違いに出てきます。すべての自然数は、奇数か偶数かのどちらか一方であって、どっちでもない自然数というのは存在しません。集合として考えることはできても、その要素がひとつも存在しない、空集合だった、ってことになります。集合を定義すること自体は許されます。定義したことによって、その集合が、概念として存在を許されたと解釈しても、まあ、いいでしょう。言って、即座に、その集合に要素が存在すると考えるわけにはいきません。この例のように、調べてみたら、実は空集合だった、ってことは普通に起きうることです。空集合を定義しても、そこから話がなにも発展していかないので、面白くありません。慣習として、ふつうは定義しないものです。この例では、候補集合Uは、すべての自然数からなる集合です。この候補集合を、もっと広い集合U’へと拡張したりすると、要素が存在するようになる可能性はあります。百足猫も、同じような話です。百足猫という概念を定義したことによって、集合としての存在は許されたとしても、ただちに要素が存在することにはなりません。この例では、候補集合Uは、地球上で実際に生きている一匹一匹の動物たちすべてからなる集合です。百足猫、たぶんいないでしょう。前述した、「奇数でも偶数でもない自然数」例と、まったく同じことです。候補集合Uを拡張して、実在する動物も、頭の中で考えた動物も、すべて包含する集合U’としたらどうでしょう。U’の中には、百足猫が存在する、ってことになります。物理の場合、候補集合Uは、この世に実体をもって存在するもののすべてからなる集合、であって、これは、どうにもネゴシエーションの利かない、硬直したものです。ところが、数学の場合、ある条件を満たす実例が存在するかしないかは候補集合Uをどう設定するかに依存していて、ここで案外融通が利くことがあったりするのです。●思う主体を必要としない絶対思想ここまで準備が整ったら、そろそろ複素数の話に入ってもいいのですが、さらに脱線します。「思想」は「思(おも)う、想(おも)う」と書きます。「おもう」は動詞です。動詞であるからには、その動作をなす主体が必要です。それは、われわれ人間です。その、思われた客体が、すなわち「思想」です。主体が存在しなかったら、思うという行為が存在しなくなるので、思われる客体としての「思想」も消滅してしまいます。ええと、そうでしょうか。正しい理屈のような感じもしますけど。私はこれを支持しません。数学において、「円」とは何かというと、「平面上において、ある一定点Cからの距離が一定値rであるような点の集合」のことです。いう値を選択するか、によって、円の具体例は、そこいらじゅうにたくさん挙げることができます。これを円周率と呼び、記号πで表します。「円周率一定の法則」は、たしかに思想の一種です。われわれが頭の中で思い浮かべるものごとの一種であることには間違いありません。その法則の正しさは、それを思う主体としてのわれわれ人間が存在しようがしまいが、さらに言えば、宇宙そのものが存在しようがしまいが、びくとも揺らがない、絶対的なものなんじゃないかと思います。あった真理を、後から出てきた人間が発見したにすぎないんじゃないかと。数学とは、絶対真理に関する学問なのだと言うことができるのではないでしょうか。思想というのは、それを思う主体の存在を必要としない「絶対思想」と、そうではない「主体依存思想」と、二種類あるってことになりそうです。その区別をどうやってつけたらいいのか、そこは悩みどころではあるのですが。脱線はこのくらいにしておきましょう。●この問題には問題がある脱線しすぎて、元の軌道がどこにあったか忘れちゃいそうですが。複素数の正しい導入のしかたについて論じようという狙いの下、その準備として、まず実数とは何かを見てきたのでありました。これから、徐々に、複素数の世界へ入っていきます。次の二次方程式を見てみましょう。自乗(じじょう)です。二乗(にじょう、じじょう)とも書きます。書くのですが、テキストでは表現できないので、上記のように書くのが慣習になっています。