「等しい」と呼ぶからには、推移律は満たすように決めておいてね、というのはありますけど。成り立つ、という法則です。上記の例は、どれも、ちゃんと満たしています。ルール違反ではないのですが。変な決め方をすると、世界がいきなりつまんなくなります。二次元の世界を構築したのに、一次元に縮約されちゃったり、点に縮約されちゃったり。最初の定義がいちばん妥当です。次に、この世界に足し算を導入しましょう。この世界の要素を「数」だとは言っていなくて、ある「もの」だと言っているだけなのですが、この世界の「もの」と「もの」とは足すことができのだ、というルールを導入するのです。次のように定義しましょう。d)左辺のプラス記号は、この世界に新たに導入した足し算を表しています。同じ記号を使ってますけど、右辺のは、われわれがすでに知っている、実数どうしの足し算です。掛け算も行っときましょう。d)とやりたくなります。このように定義するのも、許されることは許されるのですが。話がいきなりつまんなくなっちゃいます。第一成分と第二成分の関係がまったくなくなってしまい、実数の集合と実数の集合とをそれぞれ左手と右手で持っただけ、みたいなことになっちゃいます。するかというと、こうします。c)この変てこりんな数式は、いったいどっから湧いてきたんだ、って疑問はごもっともですが、そこはそれ、われわれはこの新しい世界の王様なので、何をどう決めたっていいわけです。足し算と掛け算を定義したからには、分配法則はちゃんと満たすようにしとけよ、という注文があり、ちゃんと満たしています。ここで、この世界の住人のうち、特別な場合として、第二成分がゼロのものを考えます。(c,0)という具合にです。すると、pとqの和も差も積も、やっぱり第二成分がゼロになることが確認できます。0)しかも、第一成分については、元の第一成分どうしの実数としての和と差と積になっています。この新しい世界は、その一部に実数を包含していると言えます。いう住人になることが許される、ってことです。0)という住人になります。−1は、新しい世界の上でも意味をもつことになります。