あ、相変わらずやってるっぽいですね。やっていい根拠として、イデアル論による複素数の導入を言い訳にしているようですね。イデアル論による導入、それ自体はいいのです。それそのものをちゃんと教えれば、論理の飛躍がなく、万人が納得できるべきものです。ところが、その理論、ちょいと抽象的すぎて、高校で教えるには、あんまり向いてないんですね。ことをやっているうちに、ゴールへ行き着く以前に、生徒たちがぼろぼろと落ちこぼれていくのが目に見えています。落ちこぼれを出さないための親心から、苦肉の策として、イデアル論そのものには触れずに、それっぽい導入をしてみせましょう、ってことで上記のようなことになっているようです。目の前で堂々と論理の飛躍をやられたら、そりゃ、異議を唱えたくなるってもんです。前述の女子高生の言い分が正しい。xとせよ」と書け、と教えられるそうです。「せよ」の部分は、「する」でも「置く」でも「書く」でもいいのですが、「せよ」じゃないと減点を食らうのだそうです。これ、数学を教えようって姿勢じゃなくて、数学を通じて、しつけかなんかを教えようとしてるんですかね?もしそれで数学嫌いの生徒が出たとしても、それは数学のせいじゃなくて、教え方のせいですからね、っていうのは言っておきたいと思います。30年も前のことですけども、今もそんなふうじゃないことを祈ります。お嬢様やお姫様は嫌いじゃないですが。イデアル論による導入が難解すぎるんだったら、せめて、ハミルトン方式の導入くらいは、やってくれてもいいんじゃないかと思います。●ハミルトン式導入はケチのつけようがない先ほど、数学で存在について言うときには、候補集合をどう設定するかがけっこう利いてくることがあると述べました。上記の方程式の解が存在するかどうかを云々する場合が、まさにそれです。その方程式の解を求めようとした際、候補集合Uとして何を選択するのか明記しませんでしたけど、暗黙のうちに「すべての実数からなる集合」を想定しています。その結果、その候補集合Uの中に解は存在しないことが分かりました。数直線上のどこを探しても解はないと分かったわけです。直線の上を探しても解がなかったとしても、直線の外を探せば、もしかしたらあるかもしれません。数直線を包含する平面というものを考えて、その平面をあらためて、解の候補集合U’として選択しなおし、その平面内を探せば解が見つかるのではないか、それがハミルトン方式の骨子です。ハミルトン方式のすばらしいところは、あぶなっかしい個所がひとつもない点にあります。うっかり「数というものは直線の上に乗っかっているのではなく、平面上に広がっていることにしましょう」なんて、大っぴらに革命宣言しちゃったりなんかした日には「いやだ」、「オレは認めない」という猛反発が飛んで来るのが目に見えています。ほんとうのココロは裏に隠し、どこからも文句のつけようのない形で、直線世界の住人をさりげなく平面世界に連れ出します。ふたつの実数の詰め合わせセットという「もの」を考えます。贈答用などに、瓶入りのお酒を二本セットにして箱詰めして売ってますけど、あれみたいなイメージです。実数をひとつ取ってきて、これをaとします。aと同じでも異なってもよいので、実数をもうひとつ取ってきて、これをbとします。aとbとを組にして、これを(a,b)と表記することにします。組にする順序も意味を持ち、(a,b)と(b,a)とは別物となります。「第二成分」と呼ぶことにします。こいつをまだ「数」だとは主張していないところがミソです。心の中では含意しているのですけども。実数と実数とでペアを組んで、詰め合わせセットを作り、これを一種の「もの」とみなすことにしましょう、と言っているだけなら、苦情は来ないと思います。ように表すことにします。(a,b)という具合にです。(c,d)のように表記します。ほんとうは、太い文字で表したいところなのですが、テキストではどうにもならないので、他の文字と同じ太さで表記しておきます。いま、われわれは新しい世界を構築しました。われわれが作った世界なので、その世界のルールを決める権利はわれわれにあります。等しいとはどういうことか。それは、第一成分どうしが等しく、なおかつ、第二成分どうしが等しいときであって、そのときに限る、ってことに決めましょう。dであるときであり、そのときに限る、ということです。いうふうに、同じ等号記号を使って表記しましたけども、意味が違っていて、いま作った新しい世界における、新しい概念としての「等しい」を表しています。世界の創造主たるわれわれには、この世界にあらたな「等しい」の概念を導入するにあたって、上記とは、違うふうに定義したりすることも許されるのでしょうか。第一要素さえ互いに等しければ、第二要素は異なっていてもよい、というふうに。この世界のすべての要素が互いに等しい、というふうに。