/ハミルトンの正準方程式2018.03.11ハミルトンの正準方程式Tweet重要なお知らせお使いのブラウザのJavascriptは無効になっています。当ホームページでは、数式の表示にJavascriptを使用しています。そのため、Javascriptを有効にしていない場合、数式が正しく表示されません。(ハミルトン方程式)$$\dot{q}_i=\frac{∂H}{∂p_i}$$$$\dot{p}_i=-\frac{∂H}{∂q_i}$$正準方程式とは、上の2つの方程式のことである。この正準方程式の求め方は複数存在し、ハミルトニアンの全微分を使うものや、最小作用の原理を使うものなどがある。この記事では、ハミルトニアンの全微分を使う方法で、これらの正準方程式を導出する。ハミルトニアンの全微分ハミルトニアンの定義式の両辺の全微分を考えて、比較する。ハミルトニアンが含む変数ハミルトニアンの全微分を考えるには、まずそれがどのような変数を含むのかを確認しなければならない。ハミルトニアン\(H\)は、次のように定義される量であった。p_i\dot{q}_i-L(q,\dot{q},t)$$この定義式の左辺から、ハミルトン\(H\)は、\((q,p,t)\)の3つの変数のみを含む。したがって\(H\)の全微分\(dH\)は、次のようになる。$$dH=\frac{∂H}{∂q_i}dq_i+\frac{∂H}{∂p_i}dp_i+\frac{∂H}{∂t}dt・・・(1)$$ラグランジアンが含む変数ハミルトニアンの定義式の右辺に注目すると、ラグランジアン\(L\)は\((q,\dot{q},t)\)の3変数を含むことがわかる。これに注目すると、\(H\)の全微分は次のように書くこともできる。$$dH=\dot{q}_idp_i+p_id\dot{q}_i-\left(\frac{∂L}{∂q_i}dq_i+\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}d\dot{q}_i+\frac{∂L}{∂t}dt\right)・・・(2)$$右辺の第四項について、ポテンシャルエネルギー\(V\)は速度\(\dot{q}\)に依存しないことから、次のように変形できる。\end{eqnarray}途中で一般化運動量\(p_i\)の定義式を代入した。一般化運動量の時間微分\(\dot{p}_i\)と運動エネルギー\(T\)、一般化力\(Q_i\)の間には次の関係がある。一般化力とポテンシャルエネルギーの関係式を代入すると、\begin{eqnarray}\dot{p}_i&=&\frac{∂T}{∂q_i}+Q_i\\&=&\frac{∂T}{∂q_i}-\frac{∂V}{∂q_j}\\&=&\frac{∂L}{∂q_j}・・・(4)\end{eqnarray}式(3)と式(4)を式(2)に代入する。式(1)と式(5)で、2通りの\(dH\)を示した。この2式は、\(dp_i,dq_i,dt\)という3つの共通な微小量を含んでいる。この微小量の係数は2つの式で等しくなるから、次の3つの関係式が現れる。$$\dot{q}_i=\frac{∂H}{∂p_i}$$$$-\dot{p}_i=\frac{∂H}{∂q_i}$$$$-\frac{∂L}{∂t}=\frac{∂H}{∂t}$$この3つの関係式のうち、最初の2つをまとめてハミルトンの正準方程式とよぶ。最後の1つは、ラグランジアンが直接時刻\(t\)を含む場合でないと0になってしまう。まとめ・ハミルトニアンの全微分から、正準方程式を求めた。“でくくっています)・戸田盛和(1982)『力学〔物理入門コース1〕』,岩波書店.広告Tweet関連記事(広告含む)波動方程式を弦の振動から導出してみた通常、連続的な物体の運動を考えるときは、その物体を細かく分解して考える。今回考える弦の振動も例外ではない。ハミルトニアン\(H\)とは、次のように定義される量のことである。H(q,p,...記事を読む波束と分散について波束とは、限られた範囲にだけ存在する波のことをいう。高校までは主に全く同じ波形が無限に続くような波を考えてきたが、このような波は現実...記事を読むケプラーの法則の概要と証明ケプラーの法則とは、惑星の運動に関する法則である。この法則を使いこなせるようになれば、惑星の運動を簡単に考えることができる。力を加えても変形しない物体を剛体という。剛体は質点の集合体とみなすことができる。コリオリの力とは、系\(S'\)が系\(S\)に対して回転運動をしているときに発生する見かけ上の力のことである。F}\)が物体に与える運動量のことである。数式では、次の式の左辺のような形をとる。$$...記事を読む力学SNSでもご購読できます。*メールアドレス(公開はされません。*次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。