数式が読み込まれない場合は1回再読み込みしてみてください。まとめシリーズこんにちは、ももやまです。今回は、複素べき級数の収束半径を求めるダランベールの法則・アダマールの法則、および複素べき級数の総和を求める方法についてまとめていきたいと思います。練習1解答1練習2解説26.さいごに前回の複素解析(応用数学)の記事はこちら!www.momoyama-usagi.com1.複素べき級数とは収束半径を説明する前にまず、複素べき級数について説明したいと思います。つくられる級数のことを表します。展開の中心と言います。中心のべき級数展開と呼びます。級数展開場合を単にべき級数展開と呼ぶこともあります。中心のべき級数展開だと思ってください。半径で示したものが収束半径となります。発散することをしてしています*1。収束半径が0であればその級数は常に発散することを示し、収束半径が無限大であればその級数が常に収束することを示します。収束半径を求める方法を説明していきましょう。2つの方法があるので順番に説明していきたいと思います。小さくなる必要がありますね。項が小さくなればいいですね。|\]を満たす必要があります。|z|\]となります。\right|\]を調べればいいことがわかりますね!これをダランベールの公式と呼びます。\right|\]で計算することができる。飛ばすだけで収束半径は求められると頭には入れておきましょう*2。79z^3\]の収束半径を求めなさい。その2:アダマールの公式しかし、ダランベールの公式だけでは収束半径が求められないことがあります。いうときに便利なのがアダマールの法則です。}\]で計算することができる。乗が含まれている複素べき級数に対して効果を発揮します。z^n\]の収束半径を求めなさい。[別解]ダランベールの公式を使っても解くことができる。計算順序の入れ替えには要注意!皆さんは計算をする際にの計算しやすくするために計算順序を変えてから計算することがありますよね。1666\]と計算しても同じ結果(19000)が得られますね。項が無限個になると必ずしも計算順序を変更しても同じ答えになるとは限りません。いうことで1つ例をみてみましょう。今回はアンサイクロペディアにすごくいい例があったので紹介します。示せちゃった!!と思うじゃないですか。これ、反例なんですよ。示せちゃったのかを下のほうで説明していきましょう。次のような無限級数があったとします。\cdots\]とします。この状態(各項に絶対値がついた状態)でも無限級数が収束する場合、その無限級数は絶対収束すると言います。無限級数が絶対収束することを示せば無限個の項の和を計算する際でも計算順序を入れ替えてもよいことを示せます。発散する可能性があります。\]となるので正の無限大に発散してしまい、絶対収束しません*3。計算順序を変えてしまうと和が変化してしまうかもしれないことがわかりますね*4。先ほどは無限級数内での和の入れ替え可能条件について説明しました。無限級数同士の和の場合はどうなるでしょうか。b_n\]が成立する。\cdots\]のように入れ替えてあげることができます。試しに計算順序を入れ替られることを確認するために1問例題を思っていたのですが、一応念のため無限級数の和の計算方法について確認しておきましょう。無限等比数列の総和(復習)念のため、べき級数(無限等比数列)の和の公式を確認しておきましょう。r}\]に収束することがわかりますね。\frac{a}{1-r}\]となる。)ではここで例題をもう1問解いてみましょう。解答3収束円内における和なので、計算順序を入れ替えても総和は変わりませんね*5。あとは個別に総和を計算するだけ。\frac{1}{1-z}\]となる。}\end{align*}\]と求めることができます。これを項別微分と呼びます。無限級数となるとどうでしょうか。無限という概念が入ってしまうため「無限」を微分とかいうわけわからんことが起こりますね。無限級数が収束するかどうかを確認してから項別微分を行いましょう。f(z)\]が可能である。例題を1問みてみましょう。\cdots\]について、次の問いに答えなさい。