数学IAツイート2018年度、平成30年度のセンター試験の数学IAの第2問の解説です。三角比とデータの分析の範囲ですが問題数の割に内容を読み取る分量としては多いです。昨年度と比べるとデータの分析は散布図と箱ひげ図をしっかり読み取れば分かりやすい問題にはなっていました。問題は大学入試センター公式ページにもあります。第2問(必答)ここも必答です。三角比はちゃちゃっと終わらせて、データの分析に対応できたかがポイントです。当たり前のことだけど図を書かないと苦しい三角比でしたね。図の位置関係が分かりにくかったのではないでしょうか。ある程度の図が書けたら、問題を解き進めていくと位置関係が絞られてきます。〔1〕三角比(図形と計量)四角形ですが円に内接はしていませんでした。四角形ABCDにおいて、3辺の長さをそれぞれAB=5,BC=9,CD=3,対角線ACの長さをAC=6とする。これらの長さは必ず使う数値なので図にかっきり分かるように書き込んでおくことです。簡単な図でも良いので書いて見ましょう。う~ん、定まりませんね。いうことで問題に入りましょう。先に書いてくれています。オ:9それにしても図を書くスペースと計算するスペースを十分に与えてくれている出題者の優しさが伝わります。四角形ABCDが台形の場合についてです。もとの条件では台形かどうかも分かりませんでしたからこれで少しやりやすくなるかもしれません。等脚台形ではありませんよ。(辺AD=9のときに等脚台形になりますがAC=6があるのでAD=9にはなりようがありません。)台形になるのはi)「ABとCDが平行となる」ii)「ADとBCが平行となる」の2つがあります。長いのでABとCDが平行となることはあり得ません。これが誘導に入っています。\sin\angle{ABC}\)だから台形になるとすればii)の「ADとBCが平行となる」場合だということです。キ:4これは実際にあります。したがってBD=でました、「したがって」。マーク式の問題ではこれは怖い言葉です。どこからどこまでにしたがうのか、分かりにくいです。この場合、長さなどの初期条件と台形でABとCDが平行ということすべてですね。思い出せるでしょうか?相似は使いづらい気がする。三平方は面積から使えそう。求めるというのもどうか。\\&=&10\sqrt{2}\end{eqnarray}\)これを利用して三角形の高さ、つまり辺ABと辺CDの距離を求めます。試験場でこんなきれいな図は書けません。だいたいの位置関係さえつかんでいれば大丈夫です。ケコ:33\(\,\mathrm{BD}\,\)を求めるときは、素因数分解すれば良いので上の様な変形は必要ないです。図が書きにくくて、分かりにくかったかもしれませんが誘導に乗れば大した時間はかかりません。\\&=&-\cos\angle{\mathrm{ABC}}\end{eqnarray}\)から\(\,\mathrm{△BCD}\,\)で余弦定理が使えます。文字がびっしり、図やグラフがびっしり、最後は意味は分からなくても展開して変形する問題。とりつきにくかったかもしれません。4つのグループデータがあります。人数も300人前後ですが関係ありません。(1)ヒストグラムと箱ひげ図の読み取りです。四つのグループのうちで範囲が最も大きいのは、女子短距離グループである。範囲を見れば良いのです。範囲は「最大値-最小値」なので、ヒストグラムでも箱ひげ図でもどちらでもかまいません。男子短距離(以後「男短」):\(\,202-152\,=\,50\,\)男子長距離(以後「男超」):\(\,198-155\,=\,43\,\)女子短距離(以後「女短」):\(\,187-145\,=\,42\,\)女子長距離(以後「女長」):\(\,186-151\,=\,35\,\)とそれぞれの範囲がでます。範囲が1番大きいのは「男短」なので正しくない。四つのグループのすべてにおいて、四分位範囲は12未満である。四分位範囲は「\(\,\mathrm{Q_3\,-\,Q_1}\,\)」です。箱ひげ図の色つき部分なので、長方形の上限と下限を見ればいい。男短:\(\,186-176\,=\,10\,\)男超:\(\,181-172\,=\,9\,\)女短:\(\,174-165\,=\,9\,\)女長:\(\,170-161\,=\,9\,\)あれ?読み取り違いかな?どこから\(\,12\,\)未満という数字になったのかわかりませんが、正しいです。2男子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に中央値が入っている。これは「男長」のデータだけを見れば良いです。中央値は箱ひげ図の\(\,\mathrm{Q_2}\,\)から「\(\,176\,\)」なので正しくない。女子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に第1四分位数が入っている。女長のデータだけを見ます。第1四分位数は\(\,\mathrm{Q_1}\,\)の「\(\,161\,\)」なので正しくありません。すべての選手の中で最も身長の高い選手は、男子長距離グループの中にいる。全部のデータの中で最高身長は箱ひげ図の最大値から「男短:\(\,202\,\)cm」なので正しくありません。すべての選手の中で最も身長の低い選手は、女子長距離グループの中にいる。身長の低い選手は、箱ひげ図の最低値である「女短:\(\,145\,\)cm」なので正しくありません。男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第3四分位数は、ともに\(\,180\,\)以上\(\,182\,\)未満である。それぞれを見つければ良いだけです。男短の中央値\(\,\mathrm{Q_2}\,\):\(\,181\,\)男長の第3四分位数\(\,\mathrm{Q_3}\,\):\(\,181\,\)で同じで正しい。シ:6(2)これは(1)から続いているようで別問題です。\frac{W}{X}\)となっています。mにして2乗しているだけ。体重を身長の2乗で割っているだけです。ややこしそうに見せるのが好きなセンター試験ですが、中身は「データはながめるだけじゃ無く、しっかり読み取って計算してください。」という作業自体は実用的な内容です。今回は傾きが与えられているのでデータの意味が読み取れれば簡単です。正の傾き(正の相関)を与えてくれています。どちらかというと傾きに沿った分布をしているので正しくない。中央値が一番大きいのは、男子長距離グループである。求まる数値ですがこれは「傾き」とみることができます。この箱ひげ図はそれぞれどのグループかを見分けておきましょう。散布図の点を読み取ります。(a)の箱ひげ図は最大値が30以上あります。上に近い点を見るのですよ。この問題のポイントはここです。15から30くらいまでの値は傾きの大きさです。\(Z\):最大値は\(\,20~25\,\)、最小値はほぼ\(\,15\,\)これを箱ひげ図に合わせてみると男短:(a)男長:(c)女短:(b)女長:(d)となります。中央値が一番大きいのは(a)の男短なので正しくありません。範囲が最小なのは、男子長距離グループである。\(\,23.3-15.2\,=\,8.1\,\)よって範囲が最小なのは明らかに(d)の女長で正しくありません。四分位範囲が最小なのは、男子長距離グループである。四分位範囲とは、簡単にいえば箱ひげ図の色塗り長方形の横幅です。\(\,19.3-17.6\,=\,1.7\,\)であり、最小なのは(d)の女長の感じ、少なくとも男短ではないので正しくない。女長の箱ひげ図は(d)で最大値は\(\,23.2\,\)くらいです。値は25より小さいので正しい。箱ひげ図は(C)である。