c)第一励起状態であるから、$n=2$である。a,x\leq0$で$V(x)=∞$,$0<x<a$で$V(x)=0$)内を運動している質量$m$の粒子の固有関数$\psi(x)$とエネルギー固有値$E$を、波動方程式を用いてもとめよ。規格化の定数は計算しなくてもよい。$$b)上の結果を用いて次の問に答えよ。i)エネルギー固有値と節(node)の数との間にはどのような関係があるか。H-(CH=CH-)_k-H$の$π$電子を自由電子模型で取扱い、最低励起エネルギーと鎖長との関係を調べよ。$a$は結合に沿って測った両端の炭素の原子間の長さにとり、炭素ー炭素結合の長さはすべて等しいものとする。境界条件$\psi(0)=0$より、直ちに$B=0$であることがわかる。一つの境界条件$\psi(a)=0$からは、$ka=nπ(n=1,2,3・・・)$という関係式が得られる。b)$n=1~3$の波動関数は以下のようになる。この図からも明らかなように、波動関数の節の数は$n-1$個であり、節の数が多いほどエネルギーは高くなる。H-(CH=CH-)_k-H$の$π$電子の総数は$2k$個である。一つのエネルギー準位にはスピンの方向の逆向きの電子が一対しか入れないから、エネルギーの一番低い基底状態は$k$番目のエネルギー準位までが埋まった状態である。したがって、最低の励起エネルギー$E$は$k$番目の準位にいる電子1個を$k+1$番目の準位に励起するために必要なエネルギーに等しい。