減衰速度:γと,衝突減衰速度γcollの和:γ^=γ+γcollで示される減衰定数です。磁場内のスピンに対するBloch方程式のアナロジーで,減衰定数を2γ=1/T1,γ^=1/T2.(2.163)と表わすこともあります。T1,および,T2.は,それぞれ,縦,および,横の緩和時間と呼ばれています。レート方程式と光学Bloch方程式の関係を調べるのには,|Ω|がγやγ^よりはるかに小さい,つまりビーム強度の弱い極限が最も簡単です。ときは,前に仮定したのと同じ初期条件:ρ22=ρ12=0の場合,|Ω|の低次の(2.161),(2.162)の解を求めます。以前,「光の量子論12」では,|Ω|<<γの極限での|Ω|について最低次のρ22の解は,初期条件ρ22=ρ12=0の下で,ρ22(t)=[(|Ω|2/4)/{(ω0-ω)2+γ2}]×[1+exp(-2γt)-2cos{(ω0-ω)t}exp(-γt)](2.128)となります。今のケースでのより一般的な解は,ρ22(t)={(|Ω|2/4)[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]exp(-2γt)-[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}cos{(ω0-ω)t}+4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}]exp(-γ^t)/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}].(2.164)で与えられることがわかります。※(注15-1):以下では今回の方程式の解:(2.164)を証明するため,前に「光の量子論12」の(注12-2)で,(2.128)を求めるために実施したのと同じ手順を修正して繰り返します。[証明]:まず,ρ~12=exp{i(ω0-ω)t}ρ12,ρ~21=exp{-i(ω0-ω)t}ρ21,とおくと,基本方程式は,dρ22/dt=(-iΩ*/2)ρ~12+(iΩ/2)ρ~21-2γρ22.dρ~12/dt=(iΩ/2)(1-2ρ22)-γ^ρ~12-i(ω0-ω)ρ~12となります。dρ~21/dtは,これの複素共役で与えられ,dρ~21/dt=(-iΩ*/2)(1-2ρ22)-γ^ρ~21+i(ω0-ω)ρ~21となります。そこで,x=ρ22,y=(-iΩ*/2)ρ~12,y*=(iΩ/2)ρ~21と置くと,これらは,dx/dt=y+y*-2γx,dy/dt=(|Ω|2/4)(1-2x)+{-γ^+i(ω0-ω)}ydy*/dt=(|Ω|2/4)(1-2x)+{-γ^-i(ω0-ω)}y*と書けます。整理すると,dx/dt=-2γx+y+y*,dy/dt=-(|Ω|2/2)x+{-γ^+i(ω0-ω)}y+|Ω|2/4,dy*/dt=-(|Ω|2/2)x+{-γ^-i(ω0-ω)}y*+|Ω|2/4です。そこで,これを3次元の列ベクトル:X=[x,y,y*]Tに対する線形非同次の行列方程式の形で3×3係数行列をA^として,dX/dt=A^X+b,と書きます。定数項bはb=[0,|Ω|2/4.|Ω|2/4]Tです。これの初期条件がt=0でX=0の解は,既に何度か示したように,X(t)={exp(A^t)-1}A^-1bで与えられます。A^の逆行列:A^-1は,その要素が,(detA^)(A^-1)11=γ^2+(ω0-ω)2(detA^)(A^-1)12=-{-γ^-i(ω0-ω)},(detA^)(A^-1)13=-{-γ^+i(ω0-ω)}(detA^)(A^-1)21=-(|Ω|2/2),(detA^)(A^-1)22=-2γ{-γ^-i(ω0-ω)}+|Ω|2/2,(detA^)(A^-1)23=-(|Ω|2/2),(detA^)(A^-1)31=(|Ω|2/2){-γ^-i(ω0-ω)},(detA^)(A^-1)32=-|Ω|2/2,(detA^)(A^-1)33=―2γ{-γ^+i(ω0-ω)}+|Ω|2/2,で与えられます。detA^=-2γ{γ^2+(ω0-ω)2}-(|Ω|2/2){-γ^+i(ω0-ω)}-(|Ω|2/2){γ^-i(ω0-ω)}=-2γ{γ^2+i(ω0-ω)2+|Ω|2/2}です。A^X=αX(X≠0)を満たす固有値αを求める方程式は,det(A^-αI^)=0ですが,これは,(-2γ-α){(-γ^-α)2+(ω0-ω)2}-(|Ω|2/2){(-γ^-α)-i(ω0-ω)}-(|Ω|2/2){(-γ^-α)+i(ω0-ω)}=0となります。,(-2γ-α){(-γ^-α)2+(ω0-ω)2}-|Ω|2{(-γ^-α)=0です。今は|Ω|の最低次近似を求めればいいので,因子:|Ω|2を含む項を無視する近似では,固有値方程式は,(α+2γ){(α+γ^)2+(ω0-ω)2}=0となり,異なる3つの固有値として,α0=-2γ,α±=-γ^±i(ω0-ω)(複号同順)なる近似値を得ます。それ故,特に,α++α-=-2γ^,および,α+α-=γ^2+(ω0-ω)2なる関係が成立します。-)-1,0,1]Tと書けることがわかります。この近似で係数行列A^は第1行が[α0,1,1],第2行が[0,α+,0].第3行が[0,0,α-]であるからです。これら,Y0,Y+,Y-を3列に並べた行列をP^=(Y0,Y+,Y-)と書いて定義し,その逆行列P^-1を,P^-1=(Z0,Z+,Z-)と表わすと,det(P^)=1なので,Z0=[1,0,0]T,Z+=[(α0-α+)-1,1,0]T,Z-=[(α0-α-)-1,0,1]Tとなります。Λ^は,Λ^=P^-1A^P^で与えられます。そこで,exp(Λ^t)=P^-1exp(A^t)P^が成立します。次近似の解としてのX(t)は,左からP^-1を掛けて,P^-1X(t)={exp(Λ^t)-1}P^-1A^-1bを満たします。これから,結局.X(t)=P^{exp(Λ^t)-1}P^-1A^-1bが得られます。ところで,A^の逆行列A^-1の要素の近似を書き下すと,1行目は変更無しで,(detA^)(A^-1)11=α+α-,(detA^)(A^-1)12=-α-,(detA^)(A^-1)13=-α+です。2行目の近似は,(A^-1)21=(A^-1)23=0,および,(detA^)(A^-1)22=-2γ{-γ^-i(ω0-ω)}=α0α-です。=α0α+となります。detA^=-2γ{γ^2+(ω0-ω)2}=α0α+α-と書けます。それ故,b==(|Ω|2/4)[0,1,1]Tに対して.A^-1b={|Ω|2/(4α+α-)}[-(α-+α+)/α0,α-,α+]Tです。※bについては,|Ω|2を無視するとゼロとなって無意味なので,|Ω|2を無視せず,因子として残します。)さらに,左からP^-1=(Z0,Z+,Z-),Z0=[1,0,0]T,Z+=[(α0-α+)-1,1,0]T,Z-=[(α0-α-)-1,0,1]T,を掛けます。1行目が,[1,(α0-α+)-1,(α0-α-)-1]2行目が[0,1,0],3行目が[0,0,1]の行列を掛けます。それ故,P^-1A^-1b={|Ω|2/(4α+α-)}[-(α-+α+)/α0+α-/(α0-α+)+α+/(α0-α-),α-,α+]Tです。故に,P^-1X(t)={exp(Λ^t)-1}P^-1A^-1b={|Ω|2/(4α+α-)}[{-(α-+α+)/α0+α-/(α0-α+)+α+/(α0-α-)}{exp(α0t)-1},α-{exp(α+t)―1},α+{exp(α-t)―1}]Tとなります。-)-1,0,1]Tつまり,1行目が,[1,-(α0-α+)-1,-(α0-α-)-1],2行目が[0,1,0],3行目が[0,0,1]の行列P^を掛けて,近似解:X(t)=[x(t),y(t),y*(t)]Tの成分を求めます。故に,{|Ω|2/(4α+α-)}exp(α0t)={|Ω|2/(4α+α-)}exp(-2γt)の係数は,-(α-+α+)/α0+α-/(α0-α+)+α+/(α0-α-)となります。(α0-α+)(α0-α-)}=(α+α-)[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}+2{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}です。(α0-α+)(α0-α-)}=(α+α-)[{i(ω0-ω)/γ}/{(ω0-ω)2+γ^2}-{i(ω0-ω)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}です。定数項は,{|Ω|2/(4α+α-)}(α-+α+)/α0=(|Ω|2/4)(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}です。そこで,ρ22の非振動項は,(|Ω|2/4)×[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}exp(-2γt)]となります。振動項は,-{|Ω|2/(4α+α-)}[{α-/(α0-α+)}exp(α+t)+{α+/(α0-α-)}exp(α-t)=-{|Ω|2/(4α+α-)}[{α-/(α0-α+)}exp(-γt)exp{-i(ω0-ω)t}+{α+/(α0-α-)}exp(-γt)exp{i(ω0-ω)t}]ですが,exp{±i(ω0-ω)t}=cos{(ω0-ω)t}±isin{(ω0-ω)t}です。exp(-γt)[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}+2{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}cos{(ω0-ω)t}-[{(ω0-ω)/γ}/{(ω0-ω)2+γ^2}+{(ω0-ω)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}}sin{(ω0-ω)t}=-(|Ω|2/4)×[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}cos{(ω0-ω)t}+{4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}}exp(-γt)/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]となります。以上から,ρ22(t)=x(t)=(|Ω|2/4)×[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}exp(-2γt)]-[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}cos{(ω0-ω)t}+{4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}}×exp(-γt)/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]の(2.164)の表式が得られました。ちなみに,第2成分y(t)は,y(t)=(-iΩ*/2)ρ~12(t)={|Ω|2/(4α+α-)}{α-{exp(α+t)―1}=[(|Ω|2/4)/{(ω0-ω)2+γ^2}]{{-γ^-i(ω0-ω)}{exp(-γ^t+i(ω0-ω)t}―1]となるので,ρ~12(t)=exp{i(ω0-ω)t}ρ12(t)=[(Ω/2)/{(ω0-ω)2+γ^2}][{(ω0-ω)-iγ^}{exp[{-γ^t+i(ω0-ω)t}-1]です。結局,ρ12(t)=(Ω/2)[exp(-γ^t)-exp{-i(ω0-ω)t}]/{(ω0-ω)+iγ^}を得ます。(注15-1終わり※)さて,(2.164)は,衝突広がりγcollがないγ^=γの場合は,前に得た(2.128)のρ22(t)=[(|Ω|2/4)/{(ω0-ω)2+γ2}]×[1+exp(-2γt)-2cos{(ω0-ω)t}exp(-γt)]に帰着します。今の議論では,非対角行列要素ρ12は必要ないですが,後の第8章での使用のために,初期条件の制限を多少緩めてt=0でρ22(はゼロですが,ρ12は任意の初期値ρ12(0)を持つときの|Ω|について最低次の解として,ρ12(t)=[(iΩ/2)/{i(ω0-ω)-iγ^}]×{exp(-γ^t)-exp{-i(ω0-ω)t}+ρ12(0)exp(-γ^t).(2.165)を与えておきます。※(注15-2):上記を証明します。(注15-1)では,dX/dt=A^X+b,b=[0,|Ω|2/4.|Ω|2/4]Tですの初期条件がX(0)=0の解は,X(t)={exp(A^t)-1}A^-1bで与えられる,と書きましたが.X(0)がゼロとは限らず,任意のベクトルの場合の解は,明らかに,X(t)={exp(A^t)-1}A^-1b+exp(A^t)X(0)となります。ここで,P^-1A^P^=Λ^(対角行列)を満たすP^を用いれば,X(t)=P^{exp(Λ^t)-1}P^-1A^-1b+exp(Λ^t)X(0)です。そこでX(0)=[0,y(0),0]Tの場合の第2成分は,y(t)=(-iΩ*/2)ρ~12(t)={|Ω|2/(4α+α-)}{α-{exp(α+t)―1}+y(0)exp(α+t)=(|Ω|2/4)/{(ω0-ω)2+γ^2}][{{-γ^-i(ω0-ω)}exp{-γ^t+i(ω0-ω)t}―1]+y(0)exp{-γ^t+i(ω0-ω)t}です。したがって,結局,ρ12(t)=[(iΩ/2)/{i(ω0-ω)-iγ^}]×{exp(-γ^t)-exp{-i(ω0-ω)t}+ρ12(0)exp(-γ^t)が得られます。依存性は,(1.70)の,N2={NBW/(A+2BW)}[1-exp{-(A+2BW)t}]から,入射ビームWが弱い場合には,N2=(NBW/A){1-exp{-(At)}.(2.166)が得られます。対角解(2.164)がこれと同等な時間依存性を持つ2通りの異なる状況が存在します。第1の状況は周波数の広がりが原子遷移の線幅2γ^より大きい広帯域入射光のある場合です。(2.164)の複素周回積分を利用して,γ^が2γより大きくても,小さくても,∫-∞∞ρ22dω={π|Ω|2/(4γ)}{1-exp(-2γt)}(2.167)を示すことができます。※(注15-3):上記を証明します。,∫-∞∞dω[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}]=π/γ,かつ,∫-∞∞dω[{(2γ―γ^/γ)}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]=π/γです。それ故,∫-∞∞dω(|Ω|2/4)[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}exp(-2γt)]={π|Ω|2/(4γ)}{1-exp(-2γt)}です。,∫-∞∞dω[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}cos{(ω0-ω)t}+{4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}}exp(-γ^t)/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]を計算するために,まず,ν=ω-ω0と変数置換します。[2{ν2+γ^(2γ-γ^)}cos(νt)-{4ν(γ^-γ)sin(νt)}exp(-γt)exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]です。+exp(-iνt)}]exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]であり,-∫-∞∞dν{4ν(γ^-γ)sin(νt)}exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]=-∫-∞∞dν{-2iν(γ^-γ)}{exp(iνt)-exp(-iνt)}exp(-γ^t)/[(ν2+γ^2){ν2+(2γ-γ^)2}]です。[exp(-iνt)}/[(ν-iγ){ν+i(2γ-γ^)2}]です。これを求めるために,νを複素数として,複素平面上の実軸に,半径が+∞の半円周を加えた閉路上の同じ被積分関数の周回積分を考えます。exp(iνt)に比例する項では,実軸に虚部が正の上半円の周を加えた反時計周り(正)の外周C1を採用し,exp(-iνt)に比例する項では,実軸に虚部が負の下半円の周を加えた時計周り(負)の外周C2を採用すれば,共に,元の実軸上の実積分に一致します。C1上の積分では,これの内部の1位の極は2γ<γ^なら,ν=-i(2γ-γ^)で,2γ>γ^ならなしです。|そこで,Cauchyの留数定理から積分値は,2γ>γ^ならゼロですが,2γ<γ^,なら(2πi)(-2iγ)-1exp{-(2γ-γ^)t})exp(-γ^t)=-(π/γ)exp(-(2γt)となります。C2上の積分ではこれの内部の1位の極は2γ<γ^ならν=i(2γ-γ^)で,2γ>γ^ならなしです。2γ>γ^ならゼロですが,2γ<γ^なら-(-2πi)(2iγ)-1exp{-(2γ-γ^)t})exp(-γ^t)=(π/γ)exp(-(2γt)です。したがって,2γ<γ^でも2γ>γ^でも,これらの積分の寄与の総和はゼロで,結局,∫-∞∞ρ22dω={π|Ω|2/(4γ)}{1-exp(-2γt)}と結論されます。(注15-3終わり※)さて,第2の状況は,γ^>>2γと,衝突広がりが大きい場合です。このとき,時間tが1/γと同程度であれば,t>>1/γ^が成立するので,下に再掲載する(2.164)式のρ22(t)=(|Ω|2/4)×[(γ^/γ)/{(ω0-ω)2+γ^2}+{(2γ-γ^)/γ}/{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}exp(-2γt)]-[2{(ω0-ω)2+γ^(2γ-γ^)}cos{(ω0-ω)t}+{4(ω0-ω)(γ^-γ)sin{(ω0-ω)t}}exp(-γt)/[{(ω0-ω)2+γ^2}{(ω0-ω)2+(2γ-γ^)2}]は,ρ22(t)={|Ω|2γ^/(4γ)}/{(ω0-ω)2+γ^2}×{1-exp(-2γt)}.(2.168)に帰着します。0で最後の振動項は無視できます。(2.170)の解は,ρ22(t)={R/(2γ)}{1-exp(-2γt)}.(2.171)となり,(2.168)に一致します。これらの(2.168),(2.171)は基礎的レート方程式の解N2=(NBW/A){1-exp{-(At)}.(2.166)と同一です。γ^>>γの極限で光学Bloch方程式のと等価な(2.170)のdρ22/dt=R-2γρ22,は,励起状態の占位数が,励起速度Rと放射減衰速度A=2γとの競合によって決まることを示しています。遷移のLorentz型曲線形に従っています。励起速度Rは§1.12のレーザー理論での準位3から準位2へのポンピング速度と同様の意味を持ちます。レート方程式が成り立つのは「(i)入射光のバンド幅が原子遷移の線幅より広い。」か「(ii)(衝突幅)+(Doppler幅)を組み合わせた線幅が.遷移放射による線幅よりずっと広い。」かのいずれか.の場合です。今回は,ここで第2章が終わるので,ここまでにします参照過去ノートの本章終了の日付けは,2006年8/9(木)で長年の糖尿病の放置が原因で年末に心臓疾患になり,4月に手術を受け,再びプータローになり,かつ,障害者になることなどは予想もしていない56歳半ばの頃です。一応オメデトウございます。一応オメデトウございます。無理が通れば道理が引っ込む。