β版ホーム物理化学1次元の箱型ポテンシャル1次元の箱型ポテンシャルのモデルは直鎖の共役炭化水素中のπ電子におおよそ当てはめることのできるモデルです。時間に依存しないシュレディンガー方程式は以下のとおりでした。$$共役系のπ電子は自由粒子とみなします。自由粒子という用語は粒子がポテンシャルを感じていない、つまり$V(x)=0$であるという意味です。これを時間に依存しないシュレディンガー方程式に代入します。$$まず、この方程式を解きます。$$において、$y=ψ(x),k^2=\f{8π^2mE}{h^2}$としたときと同じ式です。この微分方程式を解きます。(以下の解き方は数学的にはあまり価値がないかもしれません。ご了承ください)経験によれば、右辺が0で、定係数の線形微分方程式の解はいつも$y(x)=e^{αx}$の形をとります。ここで、αは別に決めるべき定数です。したがって、この$(☆)$式において、$y(x)=e^{αx}$と置きます。これから、$(α^2+k^2)$または$e^{αx}$が0にならなければいけない。$e^{αx}=0$の場合は$x→-∞$という無意味な解なので、$α^2+k^2=0$とならなければいけません。したがって、$$α=±ik$$となります。少なくとも$$y(x)=e^{±ikx}$$の2つは$(☆)$式の解であることが分かります。$$であることは数学的に証明することができます。(ここでは証明はしませんが、以下で実際に代入して、確認します。)では、ここでは簡単な確認として、$(☆)$式に一般解$y(x)=c_1e^{ikx}+c_2e^{-ikx}$を代入してみましょう。$$と確かに成り立つことを確認することができました。\\&&(A=c_1+c_2,B=ic_1-ic_2と置きました。(k=\f{2π\sqrt{2mE}}{h}とする。$$となることが分かります。境界条件は$y(0)=y(a)=0$でした。$\sin{(0)}=0$だから、ただちに$A=0$が示されます。$B=0$とすると、すべての$x$に対して$ψ(x)=0$という無意味な、物理的にも興味のない解を与えるので、$B=0$の選択肢は除外します。