一応オメデトウございます。(火)相対論的場の量子論(正準定式化)(11)またまた,間が空きましたが,相対論的場の量子論の続きです。前記事では,実(Hermitian)のKlein-Gordon方程式に従う単一のスカラー場の演算子φ^(x)のFourier積分展開による表現が,エネルギー・運動量固有値として,kμ=(k0,k);k0=ωk≡(k2+m2)1/2)を有するKlein-Gordon方程式の正エネルギー平面波解:fk(x)=(2π)-3/2(2ωk)-1/2exp(-ikx),および,負エネルギーの固有値:-kμ=(-k0,-k)を有する,その複素共役の平面波解:fk*(x)=(2π)-3/2(2ωk)-1/2exp(ikx)によって,演算子の展開係数:a^(k),a^+(k)を持つ表現で次のようになることを見ました。(k)-a^+(-k)exp(2iωkt)}です。φ^d(x,t)≡∂φ^(x,t)/∂tです。故に,a^(k)=∫d3xfk*(x,t){ωkφ^(x,t)+iφ^d(x,t)}と書けます。ところで,fk*(x,t)=(2π)-3/2(2ωk)-1/2exp(-ikx+iωkt)より,-i∂fk*(x,t)/∂t=ωkfk*(x,t)です。そこで,a^(k)=i∫d3x{fk*(x)(∂φ^/∂t)-(∂fk*/∂t)φ^(x)}なる表現を得ます。任煮の2つのtの関数a(t),b(t)に対して.記号:∂⇔0を,a(t)∂⇔0b(t)≡a(t){∂b(t)/∂t}-{∂a(t)/∂t}b(t)によって定義すれば,a^(k)=i∫d3x{fk*(x,t)∂⇔0φ^(x,t)}と簡単な表現になります。この記号:∂⇔0は以前の2010年6/27の記事:「場理論におけるS行列とLSZの公式(1)」でも用いました。これは,以下,2010年7/6の記事:[場理論におけるS行列とLSZの公式(5)]まで,シリーズとして続いています。実は(5)は摂動論について記述しており,本題のLSZの公式の記述をしているのは(4)です。,∫d3xfk*(x,t)φ^d(x,t)=-i(2π)-3∫d3k'(4ωkωk')-1/2ωk'∫d3x[a^(k')exp{-i(k-k')x+i(ωk-ωk')t}-a^+(k')exp{-i(k+k')x+i(ωk+ωk')t}]=(-i/2)∫d3k'(ωk'/ωk)1/2[a^(k')δ(k-k')exp{i(ωk-ωk')t}-a^+(k')δ(k+k')exp{i(ωk+ωk')t}]=(-i/2){a^(k)-a^+(-k)exp(2iωkt)}を得ます。(注11-1終わり※)ところで,a^(k)=i∫d3x{fk*(x,t)∂⇔0φ^(x,t)}の左辺はkのみの関数のはずですが,これの右辺は一見したところではtの関数の形をしています。fk*(x,t)とφ^(x,t)が共にKlein-Gordon方程式の解なのでGreenの定理を用いて右辺がtに依存しないことを示すことができて,これは問題ないことがわかります。,∂2φ^/∂t2=(∇2+m2)φ^です。それ故,Greenの定理を用いることができて,∂a^(k)/∂t=i∫d3x{fk*∇2φ^-(∇2fk*)φ^}=i∫d3x[∇{fk*∇φ^-(∇fk*)φ^}-(∇fk*)(∇φ^)+(∇fk*)(∇φ^)]=i∫d3x[∇{fk*∇φ^-(∇fk*)φ^}]=i∫d2Sn{fk*∇φ^-(∇fk*)φ^}です。仮定していますが,さらに,R=|x|~∞で,|fk*∇φ^-(∇fk*)φ^|≦O(R-3)なら,(4πR2)max|x|=Rfk*∇φ^-(∇fk*)φ^|≦O(1/R)=0なので,∂a^(k)/∂tを表わす式の右辺はR→∞でゼロとなります。より,a^(k)は確かにtに独立であることが示されます。被積分関数の絶対値:|fk*∇φ^-(∇fk*)φ^|のオーダーはφ^(x,t)のそれで決まります。これは理論が無矛盾であるためには必要なことなので,無限遠方でのφ^のオーダーはa^(k)がtに依存しないようなオ^ダーであると仮定しておきます。(注11-2終わり※)a^(k)=i∫d3x{fk*(x,t)∂⇔0φ^(x,t)}なる形は,以前に伝播波関数(propagaator)について議論したときに遭遇した内部積を思い起こさせます。:[φ^(x,t),φ^(y,t)]=[π^(x,t),π^(y,t)]=0,および,[π^(x,t),φ^(y,t)]=-iδ3(x-y)と,a^(k)=i∫d3x{fk*(x,t)∂⇔0φ^(x,t)}から,a^(k)の交換関係を導くことができます。同様にして,[a^(k),a^(k')]=[a^+(k),a^+(k')]=0が得られます。科学記事の草稿を作るスピ-ドは最近,遅くなってきていることもあり,記事をアップする間があまり長くならないよう短く区切ることにしして,ここでまた一休みです。訳の解答が速度であるとしていました。一般常識としては速度も速さも同義でしょうから,別に間違いではないでしょうが,理系用語としてこまかい重箱の隅をつつけば,速度はvelocityであり一方,speedは速さでしょう。何が違うかといえば,速度は向きも含んだ概念で,一方,速さは運動がどちら向きとかには関係のない速度の大きさだけを示す概念ですね。いいのに,ヒマ人だなあ。(McGrawHill)PS:,東北では,よせばいいのにエラソウに,「年齢がいくつになっても遅すぎるとか,手遅れということはない,,また,たとえ体に障がいがあっても必ずしもあきらめることはない,夢を持って何かをやれば今からも達成できるカモ。」というような説教めいたことを言って,昔,ニュースで見た中国の両手が不自由で足でピアノを弾く人の話をしました。これ,実は私自身に対するハゲまし,でもあります。場理論・QED」カテゴリの記事くりこみ理論(次元正則化)(5)(2019.04.25)くりこみ理論(次元正則化(4))(2019.04.14)くりこみ理論(次元正則化)(3)(2019.03.10)くりこみ理論(次元正則化)(2)(2019.02.25)くりこみ理論(次元正則化)(1)(2019.02.07)コメントおお,謙信。