「微分(Differential)」とは、ある瞬間を切り取り、擬似的に単純化して扱うような手法で、「積分(Integral)」は細かく分けて足し合わせるような手法である。これら(微分と積分)は逆と言われる。ようするに「足し算(addition)」と「引き算(subtraction)」、あるいは「掛け算(multiplication)」と「割り算「division」」みたいな関係である。「数字と数式の種類」数学の基礎の基礎。円の面積と球体の体積の微分2次元空間上の円と、3次元の球体を考えよう。「カヴァリエリの原理」錐体、球体の体積。半径rの円の面積「πr^2」を微分したなら、円周の長さ「2πr」になる。半径rの球の体積「4/3πr^3」を微分すれば、表面積「4πr^2」となる。n⁢xn–1上記は微分の基本的な公式であるが、そのまま面積や体積に当てはめればいい。微分は瞬間の変化率を求める方法とも言える。それは、円の場合は面積が変化する場合の、瞬間ごとの増減幅。球体は体積が変化する場合の、瞬間ごとの増減幅だ。言うなら、円の面積でも、球体の体積でも、変数は半径rだけで、後は定数である。x」として考えると、面積や体積がyで、xが変化するrである。「代数式は何のためか」変数と関数。rの変化がyを変化させる。微分はその瞬間ごとの量を導きだす。円の場合、rが変化した各瞬間ごとに変化しているのは円周付近の面積である。言うなら、円周の周囲のわずかな幅ΔSである。その幅ΔSを限りなく0に近づけた時の面積こそが、瞬間の増加幅、つまりそれは円周である。同じように体積の場合は表面積である。積分はどうか(球体の体積の場合)それは例えば、大量にあるわずかな表面積ΔSをすべて足し合わせることで、体積を算出するという方法である。)drこの積分の式は、rの長さ分(つまり0~rの範囲)の表面積すべての「和(summation)」。末尾のdrは、ひとつひとつは極限に微量なΔrを使うことを示している。ようするに、極限に微小な「差(difference)」に分割する作業が微分であり、それらを足し合わせる作業が積分である。円周を微小に分割して、曲線であるのに実質的に直線のように扱ったりする方法であるので、微積分のやり方では、真に正しい値は出せない可能性もある。実用上、問題ない程度に近似の範囲の数値が算出できるならば、それで問題ないと考えていい。どんなふうに使えるか微積分法は、古くはいい加減で有用でない方法、というふうに言われることもあったようだが、いい加減かどうかはともかくとして、応用力的には有用な方法なのは間違いない。万有引力の定理を初め、自然界の多くの原理が、微積分法によって記述されてきたという歴史がある。「ニュートン」万有引力の発見。「地動説の証明」なぜコペルニクスか、天動説だったか。微積分は逆という事実は微分の公式の逆処理が、積分の公式というわけでもある。nx^n-1の積分は以下の通り。xnこれは(x^nの場合の積分は)以下の通りでもある。体積を微分して表面積を算出できるように、表面積を積分すれば体積を算出したりできる。以下は、二つの関数f(x)とg(x)の「積(product)」の微分の公式。単純に、二つの関数fとgが縦横になる面積fgがあるとする。面積Sの微分は、その極限(短時間)での増加面積を求めることに等しい。そこで二つの関数の積の微分は、fがΔf、gがΔgだけ増加した時の場合の面積fgの増加率を求めるも同じ。実際にそうして面積を増やした時の増加量は、(Δf×g)+(Δg×f)+(Δf×Δg)となる。(Δf×Δg)は極限では無に等しいので無視してよい。増加する量は(Δf×g)+(Δg×f)である。増加率は、極限の関数fやgの増加量Δxで、さらに+を挟む両数を割れば出る。増加量は(Δf/Δx×g)+(Δg/Δx×f)。Δf/ΔxとΔg/Δxは、それぞれfとgの導関数である。すると、そこには自然と、積の微分の公式が現れる。積の微分の公式は、理解のためにも使いやすい。x^3)と考え、積の微分から、4x^3を導ける。商の微分の公式も導く「商(quotient)」の微分公式もある。g2これも積の微分公式を利用すれば導ける。fという形を用意する。両辺を微分すると、左辺の方には、積の微分公式から、(f/g)’がひとつだけ現れるから、それについて解けば、それは商の微分公式となる。それはつまり何の数が微分されたかを算出するということに等しいが、そう考えると問題が生じる。早い話が、微分すると0になる数Cは無数にある。そのCがプラスされている数式を微分した場合、Cは消える。逆算して、積分(微分前の数)を出す場合、Cがあったかどうかも知りようがない。通常、Cは面積とか体積とかに関係はない数字である。グラフとか、移動でいう、スタート地点のズレみたいなものだ。function)」と言う。この原始関数はFの積分で求めれるが、Cは特定することができない。(空間の位置など考慮しない)実態ある面積や体積などを算出するための積分には、Cは現れない。integral)」と言う。定か不定かは、だいたい数式で判断できる。不定積分はたいてい実態(具体的な「aからb」というような範囲)がないから∫の記号の上下に記号がついていない。定積分においてはCが発生しても、問題にしなくてよい場合も多い。これは例えば、空間のどこの位置にあろうと、その位置情報だけでは面積や体積は変わらないということ。ネイピア数eはどこからくるか関数の定積分の公式ある関数を積分するというのは、その関数が描くグラフの範囲面積が求めるに等しい。x^nと置くと、そのaからbまでのグラフの面積は以下の式で求めれる。an+1これがつまりある関数の定積分の公式。それはいいが、この式では、nが-1の場合、途端に機能しなくなる。実のところ、x^-1は1/xである。反比例の関数という、様々な分野で登場するものだ。これに積分の公式が適用できないのは明らかにまずい。2.718281828459......定積分の公式における1~xの範囲の場合を考える。1n+1つまり積分で出された1~xの範囲の面積yは以下になる。n+1yを1として、両辺にn+1を掛ける。xn+1–1この式をxについて解く。√x=x^1/2である。そこで巾乗の上付き数字nを移動するには、もう片方に巾の上数字1/nをつける。すると上の式のn+1をNと置いたら、x=(1+N)^1/Nになる。nが-1の極限に近づく時に、Nは0に近づいていく。1Nこのxの値は2.718281828459......と無限に続く数に近づいていく。この数は『ネイピア数』と呼ばれ、記号eで表現される数である。非常に重要とされている数である。y=1でない場合はどうか。1~xの範囲の面積yのyをそのままに、1の場合と同じ処理をしていく。両辺にn+1を掛ける。xn+1–1xについて解く。1n+1y(n+1)をNと置く(1/n+1はy/Nになる)。yここでは、eが現れている。&ExponentialE;つまり、x=e^yである。これが意味するのは1/xの関数がある時、1~Xの範囲を積分する時に、面積がyとなる場合に、X=e^yであること。一方でこの式での面積yが、つまり積分の結果だ。x」とか書いたりもする。x」と書かれることもある。対数関数とはそういうものだ。巾乗の関数は、「指数関数」と呼ばれる。指数関数の微分公式ちなみにe^xは微分してもe^xのままであることがわかっているが、微分しても変わらない数は一般的にはこれだけである。そこで指数関数の微分公式は以下のようになる。n⁢&ExponentialE;n⁢x積分はこれのただの逆でよいが、不定の場合は当然Cは現れる。指数関数の微積分の式は、基本的には(実用的に)最も重要とされている公式のひとつである。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト上に表示された文字を入力してください。「ドゴン族のシリウス神話」フランスか、宇宙生物か。「ストーンヘンジ」謎解きの歴史。「ピタゴラス数」求め方、見つけ方の公式。「ガウス」数学の王の生涯と逸話。「三角関数とは何か」円弧、動径、サイン、コサインの振動と波。「フェルマーの最終定理」最もわかりやすく難解な問題はいかに証明されたか「複素数とは何か」虚数はどれほど実在してないか。猫隼いつも大量の科学書を抱え、日々、学び続けている、科学オタクの変な人(約1年かけて200ギガ分くらいPDFにした)魔術書などが好きなオカルトオタクでもある。他にもいろいろなサブカルが趣味で、時々は自分が小説やゲームや音楽のクリエイターにもなる。このブログ「エミュー」についてはコチラ)完全趣味ですけどたまに曲作ってます。