etc.を適用します。特殊な散乱過程に対してdσ/dΩを評価するため,適切なπ中間子のアイソスピン波動関数φiと運動量qi,および,対応する核子Nのアイソスピンχiを上記の不変振幅:Mの表現に挿入します。π中間子のspinはゼロですが,核子のspinは1/2ですから,特殊なspinに偏極していない断面積については,いつものように核子のspinにわたる総和を取ります。例として,π+-p散乱(I3=3/2なので,I=3/2チャネルのみが寄与する)を考えます。MにおけるP波の項:-{ig02/(4M2ω)}(4πq2/3)u+(s2)χ2+<φ2,q2|(8P11^+2P31^+2P13^-4P33^)|φ1,q1>u(s1)χ1において,I=J=3/2(L=1)を除く全ての寄与を無視すると,P11^≡Pi/2^Q1/2^,P13^≡Pi/2^Q3/2^,P31^≡P3/2^Q1/2^,P33^≡P3/2^Q3/2^より,χp+<φ2,q2|P33^|φ1,q1>χp={3/(4πq2)}{q2q1-(1/3)(σq2)(σq1)}です。φ+≡(φ1-iφ2)/√2,φ-=φ+*=(φ1+iφ2)/√2,φ0=φ3であったことを思い起こします。|φ+>は,|φ+>=(|φ(1)>+i|φ(2)>)/√2で与えられます。(※つまり,軌道部分の波動関数をφ(x,t)とすると,例えば,|φ(1)>の波動関数は.軌道部分とアイソスピン部分の直積として,φ(x,t)(1,0,0)=(φ(x,t),0,0)を意味し,また,内積<φ(1)|φ(1)>は,<φ(1)|φ(1)>=(1,0,0)t(1,0,0)∫d3xφ*(x,t)φ(x,t)を意味します。<φ2|φ1>を意味し,φ(i)は実ベクトルであって,φ(i)φ(j)=<φ(i)|φ(l>=δijと規格化されています。φ2*×φ1=(1/2)(φ(1)-iφ(2))×(φ(1)+iφ(2))=(i/2)(φ(1)×φ(2)-φ(2)×φ(1))=i(0,0,1)なので,-iτ(φ2*×φ1)=τ3です。以上から,χp+<φ2|P3/2^|φ1>χp=χp+{2/3+(1/3)τ3}χp=χp+χp=1を得ます。,<q2|Q3/2^|q1>={3/(4πq2)}{q2q1-(1/3)(σq2)(σq1)}ですから,χp+<φ2,q2|P33^|φ1,q1>χp=χp+<φ2,q2|P3/2^Q3/2^|φ1,q1>χp=χp+<φ2|P3/2^|φ1>χp<q2|Q3/2^|q1>={3/(4πq2)}{q2q1-(1/3)(σq2)(σq1)}を得ます。|2=(1/2){g02/(4M2)}2(4/ω)2Σspins|u+(s2){q2q1-(1/3)(σq2)(σq1)}u(s1)|2={g02/(M2ω)}2(1/2)Tr[{q2q1-(1/3)(σq2)(σq1)}{q2q1-(1/3)(σq2)(σq1)}]={g02/(3M2ω)}2{q22q12+3(q2q1)2}を得ます。※(注13-3):Σspins|u+(s2){q2q1-(1/3)(σq2)(σq1)}u(s1)|2=Σs1,s2[u*(s2)α{(q2q1)δ-(1/3)(σq2)(σq1)}αβu(s1)βu*(s1)γ{(q2q1)δ-(1/3)(σq1)(σq2)}γδu(s2)δ]です。δは2×2単位行列です。Σs1,s2[u*(s2)αu(s1)βu*(s1)γu(s2)δ]=δδαδβγより,Σs1,s2[u*(s2)α{(q2q1)δ-(1/3)(σq2)(σq1)}αβu(s1)βu*(s1)γ{(q2q1)δ-(1/3)(σq1)(σq2)}γδu(s2)δ]={(q2q1)δ-(1/3)(σq2)(σq1)}αβ{(q2q1)δ-(1/3)(σq1)(σq2)}βα=Tr[{(q2q1)δ-(1/3)(σq2)(σq1)}{(q2q1)δ-(1/3)(σq1)(σq2)}]です。寄与として次式を見出すことができます。{4f2/(3ωμ2)}2q4(1+3cos2θ)です。ここで,以前のように,f2≡{g02/(4π)}{μ/(2M)}2を導入しました。この式は,ほとんど当てになりません。これは既にS波散乱で,オーダーをうまく評価できず失敗したBorn近似に基づいているからです。これは散乱角θに対する角分布:(1+3cos2θ)を予測しているのが重要な利点です。200MeVの領域で近似的に実験との一致が見られています。このエネルギー領域では,散乱断面積の比が計算値のそれに近い,と評価されています。計算されることが,近似的に実験結果と一致することがわかっています。これは,πと核子Nの間の謂わゆる強い相互作用に,確かに,アイソスピン(isotopic-spin:荷電スピン)の対称性が存在することの1つの証拠を与えるものですが,長くなり過ぎたので,これらの説明は次回に譲ることにして,今日はここまでにします。(McGrawHill)PS:今日はまた,健康診断を予約していて,その後,その医院から出社ということで朝9時前後に自宅を出ればいいので余裕です。