量子論は5つの仮定があります。仮定1系の状態は波動関数$\Psi$が代表する。\tau$中に粒子を見出す確率を与える。$\Psi$は連続でどこでも有限値を取り、$±∞$ではゼロになる。仮定2系の観測可能な性質には、それに対応する線形エルミート演算子が存在する。線形エルミート演算子の固有値は実数であるいいかえると、量子論で使う演算子はエルミート演算子だけです。演算子というのは数学的処理のことですから、無数にありますが、量子論ではエルミート演算子というものだけに制限されます。$$が成り立つような演算子$α$をエルミート演算子といいます。注意なのは$\Psi_i$と$\Psi_j$が入れ替わっています。このエルミート演算子なのかというと、エルミート演算子だと、固有値が実数になるからです。物理量は絶対に虚数にならないからです。(仮設2の後半)これは証明されています。以下で、エルミート演算子の固有値が実数になることを証明します。$\newcommand\a{{\hat{α}}}$出発点を、以下の式とします。$a_i$を定数とします。(まだa_iが実数であるとは限りません。)\tag{1}\\&&(1)の左辺右辺に複素共役をつけます。^*a_i\Psi_i\\&&そして、定数が入っているので、a_iは外に出せます。\\&&\aは演算子なので外に出せません。\\&&そして、定数が入っているので、a_iは外に出せます。\\&&\aは演算子なので外に出せません。(3)式を全空間で積分します。(4)式を全空間で積分します。\\&&(5)式の左辺と(6)式の左辺は等しいので\\&&両式の右辺も等しくなります。$$よって、定数$a_i$は実数であることが証明された。エルミート演算子に「線形」がついているのは、ばらしてもいいという性質が加わるからです。$$それでは、下で具体例を挙げます。x}$は「線形」ではありますが、エルミートではありません。x}$として、$\hat{F}$はエルミートではなく、$\hat{G}$はエルミートであるという確認をします。なるため、やはり、$\hat{F}$はエルミート演算子ではありません。(最後の式の積分の前に「ー」がつくためです。これがなかったらエルミートです)次は、$\hat{P}$がエルミートであることを確認します。なり、エルミートであることが確認できた。仮設3$α\Psi_s=a_s\Psi_s$なら、$α$に対応する物理量を測定したときに常に$a_s$である。このとき、$α$は確定値なので、変動しません、期待値(平均値)とは全く違います。