数学、直交の分野に関することです。>数学、直交の分野に関することです。入力中の回答があります。ページを離れますか?※ページを離れると、回答が消えてしまいますページを離れるA回答を続ける入力中のお礼があります。ページを離れますか?※ページを離れると、お礼が消えてしまいますページを離れるお礼を続ける数学、直交の分野に関することです。03:13回答数:1件L={u∈L^2(-1,1);u(t)=u(-t)(-1<t<1)}とすると、LはL^2(-1,1)の閉部分空間である。(u∈L^2(-1,1)).この時、2行目の閉部分空間になるのはなぜか、3行目L^⊥がこのように与えられるのはなぜか、5行目射影PLがこのようになるのはなぜか、について教えていただきたいです。通報するこの質問への回答は締め切られました。22:26L^2(-1,1)について考えますから、部分集合のtに関する条件はルベーグ測度での「ほとんど,いたるところ」になります。L={u∈L^2(-1,1);u(t)=u(-t)(-1<t<1を満たすほとんどいたる所のtに対して)}です。ほとんどいたるとろuに収束します。ここで、すべてのkについて、u_nk(t)=u_nk(-t)だから、u(t)=u(-t)。これでu∈Lが示されました。>3行目L^⊥がこのように与えられるのはなぜか、L^⊥は正しくはL^⊥={u∈L^2(-1,1);u(t)=-u(-t)(-1<t<1を満たすほとんどいたる所のtに対して)}.です。M={u∈L^2(-1,1);u(t)=-u(-t)(-1<t<1を満たすほとんどいたる所のtに対して)}としますと、任意のLの元uと任意のMの元vに対して,u(t)v(t)=-u(-t)v(-t)で、正のtと負のtの範囲の積分値が正負逆ですから、∫uv=0はすぐでます。逆に、任意のLの元uとL^2(-1,1)の任意の元vに対して∫uv=0ならvはMに属することは、背理法で証明できます:v(t)=-v(-t)が成立しないtの集合が測度正なら、{t∈(-1,1):v(t)>-v(-t)}か{t∈(-1,1):v(t)<-v(-t)}のどちらかが測度正。ここでは{t∈(-1,1):v(t)>-v(-t)}の場合だけを考えます。{t∈(-1,0):v(t)>-v(-t)}かA={t∈(0,1):v(t)>-v(-t)}のどちらかが測度正({0}はルベーグ測度0よりtの範囲から無視します)。v(-t)dt=0(A上のvとーA上のv(-t)は、任意の区間に値をとる定義域のルベーグ測度が同じなので、背積分値も同じ)より、∫uv=0になりません。>5行目射影PLがこのようになるのは1/2・(u(t)+u(-t))がLに属し、さらにu(t)=1/2・(u(t)+u(-t))+{u(t)-1/2・(u(t)+u(-t))}とuを分解して表現すると、u(t)-1/2・(u(t)+u(-t))がL^⊥={u∈L^2(-1,1);u(t)=-u(-t)(-1<t<1を満たすほとんどいたる所のtに対して)}.に属することは簡単な計算で確かめられます。直和での表現は唯一ですので、1/2・(u(t)+u(-t))がuのLへの射影となります。通報するこの回答へのお礼とてもわかりやすかったです。ありがとうございました。