タイリング研究概要1.フラクタルの高次元化について。フラクタル上の解析学でよく扱われているフラクタル図形は、自己相似集合であり、しかも、位相次元が1であるものが主となっている。高次元のフラクタルを扱う際、よい枠組みは何であるかという問に幾何学的立場で考察した。基本的なフラクタルは、(n次元)シェルピンスキ・ガスケットであり、これは1次元の線分を一般化したものとして捉えることができる。線分から円を作るように、ふたつのシェルピンスキ・ガスケットをその境界で張り合わせたもの(ガスケット・スフィア)は、円の一般化と考えられる。普通のトポロジーのアナロジーで考えると、ガスケット・スフィアを境界にもつようなフラクタルこそが最も基本的な2次元フラクタル図形であるとしてよさそうである。これは、自己相似集合では実現できないので、何か別の構成法で作り出す必要がある。本研究では、その有望な候補として、アポロニウス・パッキングと類似な方法でガスケット・スフィアを境界に持つフラクタルを構成した。2.非自明な対称性を持つフラクタル図形について、前年度から引き続き研究を進めた。ガスケット・スフィアのようなフラクタル図形を一般化し、局所的に自己相似集合となるような空間とその上の変換群の組を考察した。適当な条件の下では、それは、頂点推移性を持つ超グラフとその上の変換群の組と一対一に対応していて、そのフラクタル上の変換群は超グラフ上の変換群から定まることが明らかになった。3.劣双曲型有理関数のなす力学系についてのジュリア・タイリングの研究を前年度に引き続き行った。これまでの研究でまだ明らかにされていないのは、コーディングの重複度がどのように定まるか、特に重複度1のコーディングは必ず存在するかという問題であった。この問題へのアプローチとして、コーディングから定まる、あるデッキ変換の集合(一般に部分群ではない)を調べた。