数学者の加藤文元先生が、<神なき>時代における真理の正しさの根拠について、数学史探究とともに分析考察されています。21世紀現在には、いわゆる<絶対的>真理などほぼ崩れ去ったと、学問的には解されています。一方で、世俗的世界では、その不安定感に耐えられず、わかりやすさの前に立ち往生するかの現状にあります。今回は、この本をご紹介します。美的観点からも探究されてこられた数学者です。構築しようと奮闘されてこられたといいます。数学の歴史~正しさへの挑戦』(同上、2009年)などがあります。各人各様の美的意識(世界観)が色濃く反映された知的営みであります。一見して明確ではないところもあるようです。他の科学的自然観や学問的方法論とも大きく異なる接近法が、この学問には、採用されてきたといいます。横たわっている事象を厳しく見据える独特の美学があります。その「深淵」こそが、自由への道の端緒だともいいます。幅広い注目が集まっているようです。人類が、懸命に取り組んできた知的営みもないものと思われるからです。厳格なルールでもって、<この世>の奥深い部分に隠された「共通項」を求め合おうとする志向性が強い学問であります。各人各様の世界観の奥底に潜む「正しさ」の根拠を問い直す方法論が強く待望されています。いえ、その「正しさ」には、「偏見」や「高慢」といった不純物が含まれない知恵と工夫が厳しく要求されます。いうことで、本書から、数学史を通じた人類の世界観構築の軌跡を皆さんとともに再確認していくことで、世俗的世界観の<低>次元にとどまらない<高次>意識を育みながら、万類協和の道を実現させていくヒントを探ろうと、この本を取り上げさせて頂きました。「数学は、独立精神を養うのに最適な学問!!」その<独立精神>にも、互いに矛盾衝突しない「公理」体系という「制約」が付きまといます。「矛盾は、矛盾としても、互いの重なり合う<共通項=接点>での邂逅こそ、大切にしたいものです・・・」その意味では、数学が示唆する「集合論」の考え方も有益な視点を与えてくれることでしょう。詳細に解説されています。「文系」の方にも安心して、お読み頂ける内容になっています。内容を理解されることに集中されることをお勧めさせて頂きます。「数学」的観点からは、どのようにして、より正しい(美しい)世界観へと辿り着こうとしていったのかに注意されながら、ご一読されると、また、文系的視点とは違った面白い視点も得られるのではないかと思われます。「流れ」とは、『<始まり>と<中間>と<終わり>を持った一つのユニット』(本書21頁ご参照)にあります。それでは、本書の内容構成の要約です。※本章では、数学と音楽の「流れ=証明過程」における類似性を観察する視点から、<真理>に接近していく「証明法」が紹介されています。いえ、<真理>そのものを直接的に証明することは困難であります。そこで、数学的証明法の一つとして、間接的に「裏」から迫ろうとする背理法の特徴について解説されています。「否定」から入っていく証明法であるため、わかりづらい性格があります。・時系列が逆転していること・ノープランで出発できること・推論過程が完全なる虚構であること・仮定を後出しできること(本書35頁)にあるとされています。最初の<つまずき=誤解の上に誤解を重ねてしまう誤謬性>を未然に回避し得るメリットがあります。『様式化された正しさ』(本書35頁)だといいます。ここから、人類の「未知」の世界へ向けられた探究法が開けていきます。「運命」にも似た性格があります。著者は、ここから、「人間と数学」(本書38~40頁)を主要テーマに据えながら、数学に対する一般的イメージを覆す斬新な思索を展開していくことになります。ある意味では、数学とは、もっとも人間らしい学問なのかもしれませんね。幾何学を主軸とした数学的思考法が展開されていったようです。プラトンの「イデア論」なども、そうしたある種の素朴実在観に基づく見方が大前提になっていたようです。した見方には、常に、「限界」も付きまといます。同じ世界観を共有していないと、<信じる>ことも出来ないからです。信仰的要素が介在しているようです。なってくると、同じ世界観を共有しない人間にとっては、<真理>など存在するのか否かすら懐疑的になっていきます。「正しさ」を確信させる方法について、工夫考案していくことになります。本章では、この『正しさの認識における三要素』が提出されています。-議論の落としどころ、往々にして直感的(本書63頁)だと。何も「証明」だけには限りません。伝統が長く続いてきたようです。意外にも、新しかった背景事情も描かれています。「代数学」(つまり、『数を観る(観察する)』視点)による「正しさを確信させるための方法」が紹介されています。その一つとして、日本の江戸期に盛んだったとされるいわゆる「和算」も紹介されています。江戸期における「和算」興隆の気風は、絵馬などにその解法や問題を書いた<算額>を奉納するなどの習慣に見られます。江戸期の人びとが、数学に想いを寄せた心意気を感じ取って頂ければ・・・と思います。※本章では、前にもご紹介させて頂いたピタゴラス(や、その学派)についての紹介記事を中心に、その後の「西洋」数学が、「見る」を排除していった過程が詳細に解説されています。補助手段でありました。ここには、どのようにすれば、人びとの間で共有し得る共通の世界基盤を構築出来るかが問題意識として設定されています。詳細は、本章の『議論の形式化』(本書94~99頁)や『ギリシャ的明証性の根底にあるもの』(本書115~118頁)のテーマにて、ご確認頂けますが、可能な限りでの独断と偏見を生み出す「見る」ことによる強烈な思い込み(誤謬)を回避するための方法論が模索されていく様子が読み取れます。現代に至るまで、数学的世界観の形成に多大な影響を及ぼしてきたといいます。『「暗黙」の前提や「自明」など存在しない!!』とする共通ルールの設定へ向けた取り組みが、非ユークリッド幾何学的世界観を始めとする「数学革命」を経た後の現代数学のお約束事のようですね。先にも触れさせて頂きました間接的証明法(著者の表現では、<非図解的明証性>)の代表例である「背理法」が、大きな役割を果たしてきたことが解説されています。ここから、ある意味での「限定(制約)」された枠組み内における「様式化された正しさ」成立の過程が解き明かされていきます。『計算を証明で置き換えた』(本書214頁)道を辿ることになったようです。著者は考えられています。東西交流の再開が始まるのではないかと思われます。世俗的世界観における根本的見方も「改善」していくのではないかと期待しています。有意義なことだと確信しています。一定レベルでの知的クリアが叶ったとしても、なお残る、極めて「人間らしい」疑問も残されているようです。それが、前にもご紹介させて頂いたバークリー司教による<信仰的懐疑>の問題意識でした。人間は、「形式」だけでは、満足出来ないようです。実質的な「内面」の価値観(つまり、「信仰!!」です。)にまで至る共通項を目指そうとするなら、どこかで矛盾衝突も起きてくることでしょう。世俗的世界との日々の触れ合いの過程でも憂慮する点が、ここにあります。悩める「人間」の一人であります。生涯を求道的な生き方で貫かれたそうで、また、数学における「微積分学」に対する人類史における功績も大きいとも言われていますが、「無限に連なる<夜空の星々>」を「内なる」世界へと納める精神志向を持っていたといいます。したカント的視点が、後の「微積分学」の萌芽ともなり、ニュートンやライプニッツにも受け継がれていったともいいます。「信仰」に曖昧さを持ち込むことに慎重だったようです。「信仰」についても、単なる「盲目的崇拝」だけで納得というわけにはいかなかったようです。当時の数学的論証過程の明確性に不透明さを嗅ぎ付けたのかもしれません。謙虚に受け止めていく必要があるでしょう。数学的視点を介した「正しさ」に対する慎重さと謙虚さを抱きつつ、学び続ける姿勢を提唱されています。現代数学は、それ自体、その土台が、「無根拠」かもしれないことを自覚しながらも、一貫して「矛盾」なき世界観(モデル)を構築しようとしてきたようです。その点では、「数学は、まさしく、自由だ!!」とも言えましょう。新たに創り出す数学観へと変化してきたようです。「対象を<作る>」(本書291~293頁)のだと・・・その数学的発見法の精神過程は、「理性と信仰」(本書293~296頁)の緊張関係の狭間にあります。「数学とは、人間だけにとどまらない、神々と接する学問でもある!!」という視界が開けてくるようです。本書ご紹介の趣旨も叶うというものです。触れておくことにしましょう。それは、「西洋」数学が忌避し続けてきた「無限(無限小ないし無限大=∞)」や「虚無(0)」に対する「肯定的」再評価の視点であります。常に「<知的>限界」が伴います。「極北=限界点」にも当たってきたのでしょう。「知的傲慢さ(誤謬と偏見)」に他なりません。「どうすれば、その目標に達することが叶うのでしょうか??」この「問い」は、管理人を含め、すべての人類に課せられた「宿題」であります。人類同士が、小さな次元で争っている暇などありません。「再起動」を始めるしかありません。「相補性の原理」の活用です。そのことが、本書において紹介されています東西数学交流史を読み進められていきますと、自ずと得心されることと思われます。数学的思考法には、秘められています。それは、「矛盾」なき「美的探究」でもあります。現代数学の「形式性」自体が、「イデオロギー化」してしまいかねません。忘れてはならない大前提条件であります。著者も、本書にて、この問題意識を最後に強調されておられます。現代的な<信仰>の姿なのである。言うまでもなく、この『「内的整合性」という規準は原理的に立証不可能なもの』(本書296頁)であります。人類は、この地点を乗り越えられずにいます。本書の結論は、著者の問題意識でもあった『第1章最後の問い「数学が正しい根拠は何か?」に、まだ我々は答えられていない。我々は数学の<正しさ>における「理性と信仰」という両義性を乗り越えられてはいないのである。』(本書296頁)という知的教訓に「自覚的」かつ「謙虚」でなくてはならないということにあります。日々の人生も過ごしていくことが、少しでも、「調和点」へと辿り着く一歩となっていくことでしょう。皆さんとともに、精進して参りたいと心より願っています。築き上げてきた「数学的」精神史を紐解いて頂きたく、ご一読されることをお薦めさせて頂きます。最後までお読み頂きありがとうございました。≪宗教のなかで、学術的にも倫理的にも私が最も惹かれるのは、仏教のある宗派の考え方だ。≪平面に格子を描きその結節点を消去してもそのモノを認知できる。