ここで、すべての輻射線が偏光しておらず、また輻射線の強さがすべての方向で同一(等方的)ならば、Rν=Rν’となり、RνをdΩに関する積分の外に出せるのでとなる。ここのRは時間のみの関数です。ここでJとRの違いに注意して下さい。この違いを理解しないとここの議論の意味が解らなくなります。Jはあらゆる方向から振動子に当たる輻射光線が、いま注目している一つの一次元振動子の振動に影響をおよぼす輻射強度のことです。Rはその輻射場が等方的な場合に任意の方向の単位立体角を通過する輻射線の強度です。等方的なのだからどれか一つの方向について代表させて測定すればよいわけです。そのときある振動数についての強度Jνに寄与するRνの効果はその輻射線の方向によって異なるのですが、輻射場が等方的な場合Rνは方向によらず一定なので、あらゆる方向に進む輻射線のすべての効果を加え合わせるdΩに関する積分の外に出せます。当方的な輻射場の場合Jνはある任意の単位立体角の方向に進む輻射線の直線偏光した光の強度Rνで表せることになる。そのとき振動方向がz軸に一致する振動子に対する励起振動強度Jνに寄与するRνの方向に依存する効果はsin2θについてのdΩ方向積分の中で考慮されていることに注意して下さい。方向の違いによる影響の積分値が係数8π/3です。2.輻射のエネルギー密度(原論文3.§12、著書10.§183)これを、3.(1)1.のエネルギー密度の表現式に代入するとが得られる。これは、別稿「キルヒホッフの法則(熱的放射平衡における)」3.(2)や「偏光とは何か(光の強度と偏光)」6.(2)2.で証明した「等方的な輻射で満たされている空間のエネルギー密度uは輻射強度Kとの関係にある。」を、もう少し立ち入った計算で確認したことになる。3.1個の振動子を励起する振動の強度(原論文3.§13、著書10.§183)振動子のエネルギーUと励起振動の強度Jは、2.(4)3.で導いた方程式によって関係づけられていた。上で得たJνとRν関係式を用いて、この方程式のJ0(t)=Jν(t)をRν(θ,φ,t)、Rν’(θ,φ,t)に置き換えることができる。すると、あらゆる時刻に振動子に当たるすべての輻射線の強度と偏光が知られていれば、任意の時刻の振動子のエネルギーを計算することが可能になる。今後は一般的に固有振動数νの任意の振動子について考えることにするので、添え字0を省略して記述することにする。偏光していない、すべての方向に一様な輻射に対しては、Rν=Rν’となり、RνをdΩに関する積分の外に出せるのでを、2.(4)3.と同様な方法で解けばよいのです。ここでのRνは空間的には等方的だが、まだ時間の関数Rν(t)であることに注意して下さい。偏光していない、すべての方向に一様(等方的)な輻射の条件に付け加えて、さらに輻射が時間に依存しない“定常状態”であるならばUもRνも時間に依存しないと考えてよいので、dU/dt=0を考慮するととなる。ここで、Uは固有振動数がνのただ一つの振動子(共鳴子)のエネルギーの平均値であり、Rνは単色(振動数νを中心とした単位の振動数幅に含まれる)で直線偏光した単位立体角の方向へ進行する輻射強度(輝度)を表す。uνは輻射場の中の振動数νの輻射のエネルギー密度です。これは極めて重要な結論です。これは、定常的な輻射状態が実現されている場合には[固有振動数がνの振動子のエネルギーU]は、[振動数νの輻射の強度Rν]あるいは[振動数νの輻射のエネルギー密度uν]と密接に関係しており、それらの値により一意的に決まることを示している。そのとき、、振動子に対して用いた特殊なモデルに固有な量eやmや減衰係数σなどは消去されており、また定数ε0も落ちていることに注意されたし。熱平衡状態にあるときには固有振動数ν以外の性質には関係せずこの関係は一般的に成り立つのです。そのためプランクは熱輻射論を進めるに当たって、前者Uを後者uνあるいはRνの代わりに用いることができた。発表した一連の5編の論文1897(2/4、7/8、12/16)、1898(7/7)、1899(5/18)の最後のもので総まとめの論文です]ことであった。その際、明らかになったのば、この関係が共振子の性質にまったく依存せず、とりわけ、その減衰定数にも依存しないという、まことに注目すべき結果であるが、これは私にとって非常に喜ばしい、好都合な事情であった。そのことによって、輻射のエネルギーの代りに共振子のエネルギーをとることができ、こうしてまた多くの自由度からなる錯綜した系の代りに、唯一の自由度をもつ単純な系を当てうるということで、問題全体が簡単になったからである。・・・”と言っているものです。[補足説明2]プランク自身も2章〜3章(1)の議論はかなり込み入っていて解りにくいと感じていたようです。1901年でもっと簡単な導出法を報告しています。それが著書10.の§116〜123で説明されているものです。基礎�U」の§14.7等々・・・に引用されているものです。この簡単化された導出法を解りやすくまとめ直したものを別稿の付録1.で紹介しておりますので、この稿の説明と比較してみて下さい。“黒い輻射”に関して思い切った仮定をすることで論理展開は見通しが良くなって理解しやすくなっています。その中で設定されている等方性と独立性の仮定自体が解りやすくなっているわけではありません。[補足説明3]ここまでの成果を得る以前に、プランクは線型振動子から[放出される輻射]と[吸収される輻射]に付いての微分方程式には時間的な非対称性があり、これを積分することにより輻射が不可逆的に平衡状態へ近づいていくことが導けるのではないかと考えていました。付いて行うならば、減衰項の符号が変わり振動過程は逆方向には起こらないとして非可逆性が導けるのではないかと考えていたのです。当初、その方針で研究を進めていたのですが、それは結局旨くいきませんでした。プランクは、その当たりの事情を解説文12.で“・・・もちろん、この成果の意味するところは、今やまったく見当もつかない高さで、いっそうけわしくそびえたつことになった本来の課題に着手すべく、ほんの準備的な一歩を印したものにすぎない。これを征服しようとする最初の試みは失敗に帰した。私がもともとひそかに期待していたのは、共振子から放出される輻射が何らかの特徴において吸収される輻射とは区別され、そのことからある微分方程式が立てられて、これを積分すれば定常の輻射の性質をきめる特殊な条件が得られるだろう、ということであったが、これは見事に裏切られたのである。共振子は、自ら放出するのと同じ輻射にだけ反応して、近接するスペクトル範囲に対しては少しも感応しなかった。p182]ことになり、彼は自分のより豊富な経騒をもって、この問題に関し次のことを証明してみせた。古典力学の法則によれば、私の考察した事象のすべてはまさに反対の方向にも生じうるもので、つまり、共振子からいったん放出された球面波は、逆に外から内へと、絶えず縮小してゆく同心の球面となって共振子にまで収縮しつづけ、それによってふたたび吸収され、そのことによって他方また、以前に吸収したエネルギーを、それがやってきた同じ方向へと、共振子をしてふたたび空間内に送り出させるというのである。・・・”と記しています。考察だけからは時間軸に関して完全に対称的な、すなわち可逆的な結論しか出てこず不可逆的に平衡へ近づいていく過程を導き出すことができなかったのです。それは、全振動過程には振動子自身の振動ばかりではなくそれを励起する1次波も属しており、過程の反転について言うときには振動子ばかりではなくて外場も反転しなければならなかったからです。この当たりは著書10.の§167〜§174で詳しく説明されています。この中には非同次波動方程式の解に関するとても興味深い考察が含まれているのですが、ここでの紹介は省略します。いずれにしても、上記の最初の試みに失敗したプランクは、解説文12.で“・・・かくして私は、問題を一度反対側から、つまり、そうでなくても最初からそのほうが確実な基盤だと感じていた、熱力学から手がけてみるほかはなかった。共振子の温度ではなくて、エントロピーをそのエネルギーと関係させよう、しかも、エントロピーそのものをではなく、エントロピーのエネルギーに関する第二次微係数を関係させよう、なぜなら、これこそが共振子と輻射の間のエネルギー交換の不可逆性に対して、直接の物理的な意味をもつのだからと、ためらわずにすぐ思いついたことによって、事実、ここで熱理論の第二主法則についての私の初期の研究が役立つことになった。それにもかかわらず、私はその頃まだあまりにも現象論的な傾向にあり、エントロピーと確率の関連をつきつめて問うことができなかったので、当座はただ、現にある経験の成果だけを頼りにしているありさまであった。・・・”と言っている考察に進みます。それが原論文3.の後半部§14〜19および著書10.の§184〜190に記載されているものです。以下でそれを説明します。(2)吸収エネルギーと放出エネルギー(原論文3.§14、著書10.§184)ここでは、偏光していない、すべての方向に一様(等方的)な輻射の条件に付け加えて、さらに輻射が時間に依存しない“定常状態”である場合を考察する。時間dtの間に振動子によって吸収される全エネルギーは2.(4)3.と3.(1)1.で得られた結論よりとなる。したがって、一つの振動子に対して(θ,φ)方向に当たる輻射からは、dt時間にエネルギー量が吸収されることになる。ここで、[振動子に対して(θ,φ)方向に当たる輻射の強度]は、その輻射が吸収されうる[すなわち振動子に対応する振動数と偏光を持つ]ものである限りで与えられる。そのため次の定理が得られる。振動子によってdt時間に吸収されるエネルギーの絶対量は、ある方向(θ,φ)に振動子に当たる吸収されうる輻射の強度(輝度)にを掛け、それをすべての方向(θ,φ)について積分すると得られる。ここで因子(3c2σ/4πν0)は振動子によって遮られる輻射線ビームの、振動子の位置でのビームの[吸収断面積]とその[スペクトル幅]との積を与えるものである。振動子によってdt時間にあらゆる方向に放出されるエネルギーは2.(3)2.で得られた結論よりとなる。ところで、1.(2)で説明したように、もともとの関係があるのだからであることを考慮すると上記の式はと書き直せる。したがって振動子によってdt時間に(θ,φ)方向の単位立体角に放出されるエネルギーはとなる。これをで割れば[同じ(θ,φ)方向に放射される輻射の強度(輝度)]が得られる。”輻射状態においては、前節の終わりに示したようにであるから、これを用いるととなる。以下のことが確認できる。“定常的”輻射状態においては、ある任意の方向から振動子に当たる吸収されうる輻射の強度(輝度)は、同じ方向に振動子によって放出される輻射の強度(輝度)に等しい。振動子に吸収されるエネルギーは入射する輻射のある割合が振動子に吸収されて残りが同じ方向に通過して行くのに対して、振動子から放出されるエネルギーはsin2θの項が掛かっていますが、本来あらゆる方向に放射されます。それにも関わらず、“すべての方向から振動子に対して入射する輻射の効果を考慮すると、一つの方向に関して吸収される輻射の強度と同じ方向に放射される輻射の強度が等しくなる”と言っているのですから。著書10.§185)以下の推論の準備として、振動子を通り抜ける輻射線ビームの性質をさらに詳しく考察する。あらゆる方向から輻射線ビームが座標原点Oに置いた振動子に当たるものとする。いま振動子に当たる輻射線の内、極座標(π−θ,π+φ)をもった面要素から原点に向かって(θ,φ)方向にやってくる、振動子に頂点を持つ要素円錐dΩ内のものを再び考察する。それらはさらに単色成分に分解されるものと考えられる。それらの成分のうち振動子の振動数νに対応するもののみに注目すればよい。それ以外のすべての輻射線は、振動子に影響を及ぼさずに、また振動子によって影響を受けずにただ通り過ぎるだけだからです。振動数νの単色輻射線の強度(輝度)はです。このときRとR’は主強度を表す。この輻射線はその主偏光面の方向[3.(1)1.で説明したx’、y’軸方向]にしたがって二つの成分に分解される。1.x’軸成分x’軸方向の成分は、まさしく振動子を通過し、何ら変化せずに他方に再び出ていく。したがってそれは、振動子から開口dΩ内の(θ,φ)方向に出ていく直線偏光した輻射線を与える。この輻射線の偏光面は振動子の軸[z軸]に垂直で強度はとなる。2.y’軸成分y’軸成分は、さらに2つの部分に分解される。この内の第1の部分は振動子の軸[z軸]に垂直な成分なので、変化を受けずに振動子をとおりすぎる。第2の部分は、3.(2)1.で説明した様に、振動子の軸に平行な成分なので吸収が起こる。3.(2)2.と3(2)3.で証明したように、吸収されるものの代わりに輻射の中に放出輻射線の強度が現れる。第1の変化を受けない部分と、この放射輻射線の強度の和が、振動子の開口角dΩ内の(θ,φ)方向に出ていくy’軸方向に偏光した輻射線の全強度を与える。それをと置くことにする。結局、振動子を通り過ぎ、dΩ内に(θ,φ)方向に振動子から出ていく輻射線は互いに垂直な二つの偏光成分で表される。二つの偏光面の一方は振動子に垂直で、もう一方は振動子の軸[z軸]を通る面内にある。その主強度はR''およびR'''という値を取る。(4)エネルギーの保存(原論文3.§16、著書10.§186)1.系の全エネルギーUt輻射で満たされている真空空間に、ある数の共鳴子が存在する系を考える。その系の全エネルギーUtはと表される。ここでUはここの共鳴子1個のエネルギーを表し、Σは共鳴子全体に付いての和を表す。uは真空の空間要素dτ中の輻射エネルギー密度を表す。共鳴子は無に等しいほどの小さな空間体積を占めるにすぎないので、輻射エネルギー密度の積分は容器の全空間にわたって行うと考えればよい。場の中に振動子が一つも存在しないとき、無限に多くの要素輻射線ビームは、直進するときも場の境界面で反射されるときも、それぞれの強度とエネルギーを変えない。それに対して、場の中に振動子が存在するときには、どの振動子も、それに当たる輻射線に変化を引き起こす。上に考察した振動子がdt時間にそのまわりの場に引き起こす全エネルギー変化を計算しよう。その際、振動子の振動数νに対応する単色の輻射線のみを考慮すればよい。それ以外は振動子によって全く変化を受けないからである。そのため以下の議論ではRに付けるべき添え字νを省略するが、Rνの意味であることを忘れないで下さい。2.場に起こるエネルギー変化(θ,φ)方向に要素円錐dΩ内に、何らかの仕方で偏光し主強度RおよびR’の和で与えられる強度をもつ輻射線ビームが振動子に当たるとする。この輻射線ビームは3.(2)1.で得られた定理にしたがった断面積を乗じただけのエネルギーをdt時間に振動子に与える。そのため入射線の側でこのエネルギー量が場から奪われる。それに対して他方の側で同じ(θ,φ)方向に、一定の仕方で偏光し主強度R''およびR'''の和によって与えられる強度をもつ輻射線ビームが振動子から出ていく。これによって、まわりの場にだけのエネルギーがdt時間に供給される。したがって全体としてdt時間に生ずる振動子のまわりの場のエネルギー変化は、すぐ上の式からその上の式を引き、dΩについて積分することにより得られる。同じdt時間に生じる振動子のエネルギー変化はである。振動子と場の系に対して外部からエネルギーの出入りが無ければ、エネルギー保存則により場と振動子に起こるエネルギー変化は互いに打ち消しあってゼロとなる。