4.エントロピーの増大(原論文3.§17〜19、著書10.§98〜99・§124〜127・§187〜189)ここからプランクはエントロピーの考察に入ります。彼は振動子などの物体に対して定義された熱力学的なエントロピーと同等なものとして輻射場にもエントロピーが定義されるとして電磁的エントロピーを導入します。振動子のエントロピーと電磁場のエントロピーをあわせて考察することにより、ここで対象としている輻射現象に対してもエントロピー増大の原理が証明できるのではないかと考えます。振動子と輻射場をあわせた全エントロピーが最大値を取った状態こそ、系が実現する最終的な定常状態であり、その状況の輻射場を記述する法則こそ黒体輻射のエネルギー分布を与えるものであろうと予測します。(1)輻射場のエントロピー(原論文3.§17、著書10.§98〜99)輻射場のエントロピーについては、すでに別稿「ウィーンの変位則」6.(5)で説明しましたが、大事な所なのでもう一度ここで復習します。熱力学第二法則から、輻射線ビームも一定のエントロピーを持つことが結論される。放出という行為によって物体の熱は輻射熱に変わるのだが、そのとき放出物体のエントロピーは熱の放出に伴って減少する。全エントロピー増大の原理によって、その補償として別の形のエントロピーがどこかに生じなければならない。それは放射された輻射のエネルギーの中以外には考えられない。従って、直線偏光した個々の単色輻射線ビームはそれぞれ一定のエントロピーを持ってビームとともに空間に伝播し広がる。それはエネルギーの輻射と同様に単位時間に単位面積を通過するエントロピーの量として測られる。各輻射線ビームはエネルギーと共にエントロピーも持ち運ぶのである。そのエントロピー量は輻射ビームのエネルギーと振動数のみに依存するはずです。そのとき、別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(1)でした輻射のエネルギー流について説明と全く同様な事柄が輻射のエントロピー流についても成り立つ。そこでの説明のエネルギーをエントロピーに置き換え、単位面積を単位時間に単位立体角の方向へ通過していく輻射のエネルギー流である強度(輝度)Kに相当するものとして、単位面積を単位時間に単位立体角の方向へ通過していく輻射のエントロピー流の強度(輝度)[今後はエネルギー流との混同を避けるために比強度と呼ぶ]Mを考えればよい。[補足説明]プランクの論文や著書では、[エントロピー比強度]と、その[偏光した単色成分]を、Lの[ラテン文字]と[ドイツ文字(フラクトゥール、亀の甲文字)]を使い分けて書体を変えることで表現しています。インターネット上の文章で書体を使い分けることは難しいのでこの稿では文字そのものを変える事にする。この稿では[偏光した単色成分]を表すのに[ラテン文字]Lを用いているので、[エントロピー比強度]を表すのに[ラテン文字]Mを用いることにします。プランクの著書と比較されるときは注意して下さい。空洞内部にある輻射を考える。空洞内部に任意の面積要素dσを考え、それを時間δt内に立体角dΩの方向に通過する輻射のエントロピーを求める。ここで単位面積を単位時間に面に垂直な方向へ通過していく輻射のエントロピー流をMとする。Mの事をここでは“強度(輝度)”改め“比強度”と呼ぶことにしている。一般にMは場所と時間と方向に依存するが、ここでの議論のように、Mはすべての方向について一様と見なして良い場合には、dσを通って一方の立体角2πの半球領域に向かう全輻射エントロピーはφについて0→2π、θについて0→π/2まで積分してとなる。ここで単色(νを中心とした単位の振動数幅に含まれる)で偏光面が片寄った、単位立体角の方向へ進行する輻射エントロピーの比強度を定義しよう。電磁波は横波だから、必ずある一つの偏光面に沿った振動で伝播する。そのとき輻射の強度は振幅(電場と磁場)Aの二乗に比例する。その振幅Aを二つの直線偏光成分に分け、それぞれの振動成分をAxνとAyν’とすると、ピタゴラスの定理よりA2=Axν2+Ayν2となる。光線は二つの偏光面で振動する波が混じったものであると考えることができる。その為、それぞれの振動面(AxνかまたはAyν)に対する直線偏光した単色エントロピーの比強度をそれぞれLνおよびLν’とすると、すべての振動数のエントロピー輻射の比強度Mはと表される。このときLνおよびLν’は直線偏光した振動数νのエントロピー輻射の比強度で、それぞれ輻射エネルギーの偏った輝度RνおよびRν’の値によって決められる。直線偏光した振動数ν〜ν+dνの単色輻射に対するエントロピー比強度についてMと同様にが成り立つ。ここでLνは単色(振動数νを中心とした単位の振動数幅に含まれる)で直線偏光した単位面積を単位時間に面に垂直な方向へ進行する輻射エントロピーの比強度を表す。偏光していない輻射線についてはLν=Lν’であるから、の関係が成り立つ。前に掛かっている数因子2はMが偏光していない事を表すために掛かっている。以前、KνはKの単色成分とし、RνでもってKの単色かつ直線偏光成分を表すことにした。ここでのLνはMの単色かつ直線偏光した成分である事に注意。偏光していないMの単色成分はMνで表すことにする。このように偏光していない光線を偏光した光線によって表すと係数2が乗ぜられるが、それは電磁波が横波なので二つの偏りを持つことができることによる。実際偏光していない輻射線をニコルプリズムなどを通して直線偏光成分だけにすると、そのエネルギー強度は1/2倍になることが確かめられるが、エントロピーについても同様に考えることができる。そのため直線偏光したエントロピー比強度Lνを用いると前記の結論はとなる。輻射に満たされた空間の一点に於けるエントロピー密度sは空間的なエネルギー密度uと同様に、この点で交わるすべての輻射線を考察することで決定される。別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(2)で示したように、あらゆる方向に一様な輻射場では進行するエネルギー輻射の強度Kから輻射エネルギーの空間密度uが得られた。同様に、進行するエントロピー輻射の比強度Mから“輻射エントロピーの空間密度”sが得られる。そこのエネルギー密度uをエントロピー密度sで、輻射強度(輝度)Kを比強度Mで、直線偏光した単色輻射強度(輝度)Rνを直線偏光した単色比強度Lνで置き換えればよい。あらゆる方向に一様な輻射場の単位体積当たりのエントロピー密度sはで表される。cは光速度、Mは密度測定点での“エントロピーの輻射比強度”です。エントロピー密度sをスペクトル分解してによって“振動数ν〜ν+dνの間のエントロピー密度”sνを定義すれば、の関係を用いてが得られる。(2)系のエントロピー(原論文3.§17〜18、著書10.§187)1.系の全エントロピーSt3.(4)1.に於いて全エネルギーUtを定義したのと同様に、ある瞬間の状態によって定まる系の状態量である全エントロピーStをで定義する。ここでSは個々の振動子のエントロピーであり、和Σは全振動子について行う。sは前節で定義した場の一点におけるエントロピー密度であり、積分は輻射が満たされている場の空間要素dτのすべてにわたって行うものとする。場の中に共鳴子がまったく存在しないときには、無限に多くの輻射線が直線的に進行し、克つ完全反射すると仮定した境界面で反射されている。そのとき、各輻射線の強さとエントロピーは不変のままに保たれるであろう。したがって系のエントロピー変化は生じない。これに反して、場の中に振動子が存在する場合には、一般に、それに当たる輻射線束のエントロピー変化を引き起こすであろう。その場合、振動子の固有振動数νに対応するような単色の輻射線だけを考慮すればよい。残りの輻射線は振動子によってなんの変化も受けないからである。そのため以下の議論ではLに付けるべき添え字νを省略するが、Lνの意味であることを忘れないで下さい。振動子が(θ,φ)の方向に進む要素円錐dΩ内の何らかの偏光状態を持つ輻射線束によって照射されたとする。その輻射はエネルギーの強さの主値RとR’をもち、エントロピーの比強度(L+L’)を持つ。この輻射線ビームは3.(2)1.で得られた定理にしたがった断面積を乗じただけのエントロピーをdt時間に振動子に与える。それにより、輻射線が入射した側で同量のエントロピーが輻射場から奪い取られる。このとき3.(2)2.で説明したように、他方の側で振動子から同じ(θ,φ)方向に、一定の仕方で偏光し主強度R''およびR'''の和によって与えられる強度をもつ輻射線ビームが振動子から出ていく。したがってそのエントロピー輻射は対応する比強度L''+L'''を持つ。これによって、周囲の場には時間dt内にだけのエントロピーが供給される。したがって、全体として、振動子を取り囲んでいる場の時間dt内に生じるエントロピー変化は、すぐ上の式からその上の式を引き、dΩについて積分することにより得られる。(3)ウィーンの変位則の改良(著書10.§124〜127)プランクは、熱輻射論を展開するとき、ウィーンの変位則を最も重要な成果として、大事なところで繰り返し利用します。そのためプランクはウィーンの変位則をもっと根源的な形に改良します。1.振動子と輻射場からなる系の断熱変化これまで考えてきた系、すなわち、完全に乱反射する壁によって囲まれた一様な輻射場でみたされた真空と、その中にある静止した振動子とからなる系を取り上げる。この系を無限にゆっくりと可逆的・断熱的に圧縮する。そのとき、熱力学の第二法則に従って系の全エントロピーは不変である。それにたいして各振動数の輻射強度Rνは圧縮によって変化し、その輻射のエネルギー密度も変化する。そのとき、振動子のエネルギーUも変化する。定常状態では3.(1)3.で証明したの関係式が成り立つので、振動子のエネルギーUも単色輻射の強度Rνの変化に応じて変化するからである。したがって振動子は圧縮によって生じた輻射エネルギーの増大分の一部を吸収し、それだけのエネルギーを真空中の自由な熱輻射から取り上げるだろう。解りやすくするために、無限小の圧縮過程を2つの過程に分けて考える。第1期には圧縮がおこり、その際輻射は振動子が全く存在していないかのように振る舞う。第2期に振動子はそれを励起する輻射から第1期の過程によって乱された前記の関係が再び成り立つだけのエネルギーを吸収する。第1期では真空中の熱輻射のエントロピーはそれ自体一定であり続けるが、第2期では熱輻射のエントロピーは、熱を振動子に引き渡すことによって変化する。このとき熱輻射のエントロピーは熱(エネルギー)を振動子に引き渡すことによって変化するが、熱力学第二法則により系全体のエントロピーは不変でなければならないので、自由な熱輻射ばかりでなく振動子にもあるエントロピーが属しており、振動子のエントロピー変化はちょうど熱輻射のエントロピー変化を打ち消す様になっていなければならない。共鳴子の熱力学的状態はエネルギーUのみに依存するから、“振動子のエントロピーS”も“振動子のエネルギーU”によって決まるであろう。系の全エントロピーは“振動子のエントロピーS”と、次式で表される“輻射場のエントロピー”からなる。ここでVは一様な輻射でみたされた真空の体積である。熱力学第二法則により、定常状態は系の全エントロピーが最大値を取る状態であると言える。それはまさしく、いま求めようとしている黒体輻射のエネルギースペクトル分布で容器が満たされた状態である。そのとき全エントロピーは極値を取るのでエントロピー変化を表す変分はゼロとならなければならない。これはと表すこともできる。変分δが満たさなければいけない唯一の条件は、系の全エネルギーが変化しないということである。固有振動数νの振動子は振動数νのまわりの幅Δνの狭いスペクトル領域とのみ相互作用するとして良いので、上記の2式は下記の様に簡単化できる。ここでΔνはνに比べて小さいということ以外は任意に取れる。この両式からが得られる。これはとても重要な関係式です。系が定常状態(そのとき輻射は黒体輻射の分布)にあるとき、“振動子のエントロピー”の“振動子のエネルギー”への依存性は、“輻射エントロピー密度”の“輻射エネルギー密度”への依存性と等しい事を示している。ここで“振動子のエネルギーU”と“輻射のエネルギー密度uν”との間には3.(1)3.で証明した関係式があるので、それをもちいるとと書くことができる。これを積分して、物理的に意味のない積分定数を省くとが得られる。これは系が定常状態(黒体輻射)にあるとき、[振動子のエントロピーS]と[振動数νの単色輻射のエントロピー空間密度sν]との間に成り立つ関係式である。4.(1)2.で証明した輻射エントロピー密度sνと偏光した単色輻射の比強度Lνの間に成り立つ関係式を用いるととなる。これは、系が定常状態にあるとき、[振動子のエントロピーS]と[振動数νの単色の直線偏光した輻射エントロピーの比強度Lν]との間に成り立つ関係を示している。別稿「ウィーンの変位則」6.(2)で説明したように、輻射場のエントロピー密度とエネルギー密度から輻射場の温度が定義されての関係がある。これを前節で求めた式に適用するととなる。ここでTは振動子を励起する輻射の温度です。量dS/dUは振動子のエネルギーとその性質のみに依存する。一般にこの量の逆数を振動子の温度と定義すれば、次の定理が成り立つ。「輻射の定常状態において、振動子の温度はそれを励起する単色輻射の温度に等しい。上記の関係式は熱力学第二法則そのものだと言ってよいものですが、今後繰り返し用いることになるでしょう。この式の意味については別稿「絶対温度とは何か(積分因子とは何か)」を御覧下さい。振動子エントロピーSの振動子エネルギーUへの依存性は、別稿「ウィーンの変位則」6.(5)3.で証明した(13)式に、この稿の3.(1)3.と4.(3)2.で得られた定常的な平衡状態にある振動子と輻射線の間に成り立つ関係式を適用すれば得られる。関数Fは変数U/νと普遍定数のみを含み、振動子の性質に関わる定数は一切含まないことに注意。この中には光速度cは含まれず、また振動数νも一乗の形で現れるだけなので、これは、これまでにウィーンの変位則として確立した形式のなかで最も簡単なものです。この変位則は固有振動数νの振動子についてのものである事に注意して下さい。“1個の振動子が持つエントロピーは、そのものが持つエネルギーを固有振動数νで割った変数(U/ν)の関数である”と言っているのです。この普遍関数Fの解析的表現を見つける事ができれば、別稿「ウィーンの変位則」6.(5)3.で説明したように黒体輻射のエネルギースペクトル分布は直ちに求めることができる。そのため、このFの具体的な形を探し当てることが今後の最大の目標となる。今後の証明過程でこの形のウィーンの変位則を繰り返し用いることになるでしょう。Wienの熱力学的な考察により、必然的にf(ν)とφ(ν)はともにνに比例するという結論に導くわけである。”と言って1/αと1/βがνに比例することを導いていますので、ここで説明した振動子エントロピーSの関数としてのウィーンの変位則の表現形式を、原論文4.を書いた時点で見つけていたと思われる。この形がハッキリ記述されているのは原論文5.のp204脚注の中です。そのため、以下で説明する原論文3.を書いた段階でこの形を見つけていたのかどうかは、明らかではありません。振動子に絶対温度を導入する手順も、上に述べた別稿「ウィーンの変位則」6.(2)の結論を利用して4.(3)3.の関係式を導くやり方と違って、原論文3.§19、§20ではとても回りくどいやり方をしています。別稿「ウィーンの変位則」6.(2)で説明した内容は著書10.から引用したもので、彼が後からまとめなおしたものです。プランクが原論文3.を書いた段階で、この当たりを明確に認識していたかどうかは疑問ですが、そこで展開されている内容は同じことなので、以下では上記の結論を用いて説明します。[補足説明2]上記の振動子エントロピーSによるウィーンの変位則の表現形式の導出法は、著書10.§127の中で展開されているものです。この著書(1906年)は輻射場のエントロピーについての考察を深化させた後のものです。この稿の8章で説明するように、原論文7.§6〜9(1901年)の中では、ここで説明したやり方よりもより根源的で素朴な方法で求めています。それは別稿「ウィーンの変位則」5.(1)で説明した最初の形のウィーンの変位則(輻射についての)を変形して求めるものです。8.(2)で説明しておりますので参照されて下さい。(4)エントロピーの解析的表現(原論文3.§17、著書10.§187〜189)1.振動子のエントロピーここで、プランクは最も困難な課題である振動子エントロピーS=F(U/ν)の解析的表現に関する考察に入ります。プランクは[固有振動数νの1個の振動子のエントロピーS]を次式で定義します。ここでUは1個の振動子の持つエネルギーで、νは振動子の固有振動数です。この中のaとbは二つの正の普遍定数をあらわします。eは自然対数の底で、外形的な好都合さのために入れられているものです。[補足説明1]上記のエントロピーの表現式は低温・短波長領域の輻射線と平衡関係にある振動数の振動子のエントロピー表現として近似的にのみ成り立つもので、真に正しい表現形式ではないことが後に解ります。その当たりは7.章以後で説明することとして、ここではとりあえず原論文3.が書かれた時点のプランクの説明を紹介することにします。[補足説明2]この形は原論文3.§17の中で突然定義されており、プランクはなぜこの形で定義したのかを説明していません。いろいろな状況から推測すると、おそらく以下に述べる三つの理由からこの形にしたのだと思います。一番目の理由は、4.(3)4.で導いた振動子エントロピーによる表現形式のウィーンの変位則がの形をしていることです。変数(U/ν)の関数としてできるだけ簡単なものを探してこのようにしたのでしょう。正直な所4.(3)4.[補足説明1]で説明したように原論文3.の段階でこの形を認識していたのかどうかは解りません。二番目の理由は、後ほど5.(1)で説明しますが、このエントロピー表現形式をUで微分したものに、4.(3)3.の振動子の絶対温度の定義を適用して変形して、さらに輻射の強度に変換すると、当時の実験・観測結果をほぼ旨く説明していたウィーンの輻射公式(変位則ではない)が得られる事です。1896年で導いた黒体輻射のエネルギースペクトル分布を与える公式での形をしています。これは別稿「ウィーンの変位則」5.(2)2.で導かれたウィーンの変位則の波長λを用いた表現形式において、未知であった黒体輻射のエネルギースペクトル分布関数F(λT/c)の具体的な形を与えるものです。この公式が与える関数形は、1897年にPaschenが実験的に得た結論によって検証されていました。ウィーンの輻射公式は確かに実験・観測結果を旨く説明できるのですが、その導出の過程で用いられている仮定は気体分子運動論を用いたかなり恣意的なものです。その当たりの事情は多くの解説書で説明されていますが、そこで展開されている理論は、当時の物理学者にとって、とうてい受け入れられるものではなかった。実際、プランクもウィーンの論理には全く納得していません。その公式は実験・観測結果を旨く説明したので、プランクはウィーンの輻射公式をU=(c2/ν2)Rνにより振動子のエネルギー公式に直してからTについて解いて、さらにdS/dU=1/Tを適用して上記の関数形を得たのだと思います。三番目の理由としては、エントロピーがこの形であれば、系の全エントロピーは不可逆的に増大して平衡状態へ近づいていく事が証明できた[4.(5)1.参照]からでしょう。これが最も大きな理由だと思います。実は、全エントロピーの増大性が証明できるもっと違った形もあるのですが、それに付いては別稿の付録2.で説明します。上記の表現に3.(1)3.と4.(3)2.で得られた結論を適用すると、[一つの単色の直線偏光した輻射線のエントロピーの比強度L]を定義することができる。(5)系の全エントロピーSt増大の証明(原論文3.§18〜19)1.全エントロピーStの増大(原論文3.§18)ここで、再び4.(2)1.で導入した系のエントロピー表現式に立ち帰る。この式に4.(2)2.のLに付いての結論と前節のSの定義式を適用すると、系の全エントロピーStが不可逆的に増大することが証明できる。4.(2)2.で求めたように、[1個の振動子を取り囲んでいる輻射場の時間dt内に生じるエントロピー変化]はとなる。前節の定義から[同じ時間dt内に生じる振動子のエントロピー変化]はとなる。これら二式を系全体のエントロピー関係式に代入する。そのとき、dτに関する積分は系内に存在する個々の振動子のまわりの輻射場に生じるエントロピー変化を全振動子について足しあわせた和Σに置き換えることができる。)の中の表式が常に正となる事を証明すればよい。)内の部分はと表されるので、これが常に正になることを証明すればよい。正の量であるR、R’、U、θ、ωのすべての値に対して、R''とR'''はで与えられるので、R''もR'''も正の値になる。そのめたα、β、γ、δはいずれも正の値になる。最初にとなることが言える。ここでと置くととなるが、この関数のグラフはとなる。このグラフから明らかなように、δは必ずδ0と1/eの間にある。ところでy=−δ・logeδの関数のグラフはの様になるので、−δ・logeδの値は極大値1/eと−δ0・logeδ0の間に存在する。そのため前述の式はとなる。この式の右辺が正であることが証明できればよいことになる。ここでσを任意の定数としたときなる関数は、x=σ/2で唯一の極小値を取る。それは幾つかのσの値に対して上述の関数のグラフを描いてみれば直ちに了解できる。したがってxがσ/2よりも大きいか、小さいかにかかわらず、x→σ/2にしたがって極小値に近づく。このときR''の定義式から明らかなようにR''はRとR’の間にある。したがってγもαとβ=σ−αの間にある。そのためγはαとβの算術平均(α+β)/2=σ/2に対して、αやβよりもより近いところにある。したがって常にが成り立つので、が証明できたことになる。[補足説明]4.(4)1.で定義した振動子のエントロピー表現式は、そこの[補足説明1]で注意したように真に正しいものではありません。後ほど7.章以降で導きますが正しい形はです。そのためプランクはこの真に正しいエントロピー表現式が得られた後に、全エントロピーの増大法則を証明し直しています。これが原論文9.あるいは著書10.§187で報告されているものです。時間的には後から書かれたものですが、ここと関連したとても重要な証明ですから別稿「付録2.」で説明しておりますので御覧になられて下さい。2.定常的な状態の条件(原論文3.§19)全エントロピーの絶対的な極大に対応する系の状態は、定常的な状態と呼ばれるべきである。定常的な状態に対する必要条件は、まず全エントロピーStが時間と共に変化しない事です。前節の不等式を等式に変える条件です。それは、すべての位置、すべての方向についてが満たされる事です。輻射場全体において、それぞれの振動数のすべての輻射線が偏光しておらず、等しい強さを持つことです。変化がゼロであることです。それは、次のように表すことができる。振動数ν1の振動子の無限小のエネルギーが、振動数ν2のもう一つの振動子に移され、しかしその他の振動子は不変に保たれる変化を考える。そのとき、全エントロピーStが極値を取っているのであるからが成り立つ。ここでそれぞれの振動子に対して4.(4)1.で導入した[振動子エントロピーの定義式]と[エネルギー保存則]を用いるとがいえる。このとき選び出す振動子は任意であるから、この“一定値”は系中に存在するどの振動子に対しても同一の値でなければならない。この一定値を1/Tとおくことにすると、となり、全系が定常的な状態のとき、その中のあらゆる振動子のエネルギー状態はただ一つの変数Tに依存することになる。このときであることを考慮すると、このTこそ4.(3)3.で導入した振動子の絶対温度に他ならない。[補足説明1]上記のエントロピー表現式は正しいものではありません。8.(3)で説明するように真に正しいエントロピー表現式はです。これを用いると上記の結論はと、置き換えられなければ成りません。[補足説明2]上記の議論を8.(1)の統計的エントロピー表現式で行うとどうなるかが、[付録4]に示されていますので参照されて下さい。5.熱力学的考察(原論文3.§19〜26)前節までに論じた熱輻射と振動子の電磁的な性質を承認できれば、定常的な輻射状態を熱力学原理から導き出す事ができる。キルヒホッフやウィーンが得た重要な結論を導くのに使われた定理は“一様な温度の物体で取り囲まれた真空中の熱輻射はその物体壁の性質には無関係な唯一の変数である絶対温度により完全に決定される”でしたが、ここでの様に完全に反射する壁に取り囲まれた容器内の振動子と輻射の平衡においても上記の定理が成り立つであろう。この場合も、容器内に置かれた振動子の性質には依存しないはずであり、真空容器内で実現される輻射場の定常状態こそ黒体輻射である。そのとき熱力学第二法則は系の全エントロピーが極大の場合実現される輻射状態が系の定常状態であることを保証している。系に無限小の熱dUが与えられたとき、それによって引き起こされる無限小のエントロピー変化dSとの関係で絶対温度Tが定まることを保証している。この熱力学原理を用いればただちに黒体輻射のエネルギー分布則が導き出される。前節の最後の結論より、定常状態における、振動数νを持った一個の振動子のエネルギーはとなる。上記の結論を、4.(4)1.で定義したエントロピーの表現式に代入するとが得られる。2.輻射場の温度の定義(原論文3.§21)熱力学的に振動子と平衡にある輻射場の温度は当然振動子の持つ温度と同じものであり、その絶対温度は、輻射場が熱力学的に平衡に保たれている場合に輻射場に与えられる無限に小さな熱量とそれによって引き起こされるエントロピー変化との比によって与えられる。そのとき、3.(1)3.で証明したように、定常状態にある振動子と輻射場の間にはの関係式がある。ここでUνは固有振動数νの1個の振動子が持つエネルギーであり、Rνは単色で直線偏光したある方向へ向かう輻射強度(輝度)であり、uνは輻射場中の任意の点における振動数νの輻射のエネルギー密度です。この関係式を4.(5)2.の振動子のエネルギーと絶対温度との関係に適用するとで輻射場の絶対温度が定義されることになる。上式の右辺は振動数ν、強さRνの単色輻射線の温度の逆数を与える。以上は定常的な場合の話であったが、非定常な場合でも個々の直線偏光した単色輻射線に対して上記の温度を定義できるとしても良いであろう。輻射線のエネルギー分布が黒体輻射の分布とは異なっている場合でも、輻射線はそれが分裂したり吸収されたりすることが無ければ、たとえ完全反射する壁で反射を繰り返しても、その強さとともに自分の性質を不変のまま保持して進行している。そのため、温度もそれらの個々の輻射線に付随して不変のまま進行していると考えられるからである。3.輻射線のエネルギー分布(原論文3.§19)上記の輻射場の温度の定義を用いるか、あるいは前述の振動子についての結論を輻射場についてのものに変換することで、輻射場のエネルギー分布が求まる。直線偏光した一つの単色(つまり振動数がν)の輻射線の強さRνはとなる。ある方向に向かう全エネルギー輻射の強さKはとなり絶対温度の4乗に比例する。これはシュテファン・ボルツマンの法則に他なりません。個々の振動数のエネルギー密度uνはとなる。輻射場の任意の点に於けるエネルギー密度uはとなる。4.輻射線のエントロピー分布(原論文3.§19)ここで前記の結論を4.(4)2.で定義した[輻射場のエントロピーの表現式]に代入すると、ある方向へ向かう振動数νの偏光したエントロピー輻射の比強度Lνがえられる。ある方向へ向かう全エントロピー輻射の比強度Mはとなる。個々の振動数のエントロピー密度sνはとなる。輻射場の空間的なエントロピー密度sはとなる。5.ウィーンの分布則(原論文3.§23)定常的な輻射のスペクトル分布則は、普通振動数νにではなく、波長λに関連づけられている。そのため5.(1)3.で得られた輻射のエネルギー分布則を、ある方向に向かう波長λとλ+dλの間に存在する偏光した輻射強度Eλdλで表してみる。プランクは原論文3.では偏光していないものをEλとしているのですが、ここでは偏光しているものをEλと置くことにする。これは著書10.で採用している定義ですが、等方的な輻射の場合には原論文3.での定義のちょうど1/2倍となります。別稿「ウィーンの変位則」5.(2)2.で説明したように、真空中の光速度をc、波長をλとするととなる。ここでEλは直線偏光した波長がλを中心とした単位波長幅に含まれる輻射の輝度を表す。ここで積分範囲はν:0→∞からλ:∞→0となることを考慮するととなる。これを前記の式に適用するとが得られる。Wienによって提案されたエネルギー分布則です。等々の実験・観測結果から裏付けられていると説明している。(ただし、最後の二つの中にはすでにWienの法則からのずれが見いだされる。)さらに引き続いてプランクは、ウィーンは上記の式を単位体積中に存在する輻射中心の数とそれらの運動の速度に関するある仮定に基づいて求めたのだが、ここで用いた方法は、それとは全く別のものであることを強調している。[補足説明]4〜5章で紹介した内容は、プランクが解説文13.で“・・・この過程の不可逆性からして、時間と共にその値が増大する状態函数を容易に示すことができ、それをエントロピーと解釈できるわけである。系全体のエントロピーは、すべての振動子のエントロピーと空洞輻射のエントロピーとの総和になる。一つの振動子のエントロピーを私は、とした[前掲論文(古典論文叢書10)の式(41)]が、ここでaとbは普遍定数であり、自然対数の底eを因数としてbに付加してあるのは、単に便宜上のことにすぎない。空洞輻射のエントロピーの表現は、すべての輻射がそのエネルギーとともに、対応するエントロピーを伴うという仮定から類推により導かれたので、空間のエネルギー密度と類比的に空間のエントロピー密度が定められる。これらを確定した上で私は、振動子および空洞輻射の初期状態を任意に選んでも、系全体のエントロピーは時間とともに増大することを証明したが、その終りの定常状態である熱力学的な平衡状態は(その時エントロピーが最大になるのだが)、そのすべての部分において唯一つのパラメーターに、すなわちなる関係で与えられ、熱力学的には絶対温度を表わすTのみに依存している。これに式(2)のSの値を代入し、式(1)の関係を当てはめれば、振動数νの輻射強度が得られる。[この計算はこちらを参照]これはすでに1896年、W・ウィーンによって立てられていた定常エネルギーの分布法則(古典論文叢書6)であり、当時(1899年5月)の測定によって本質的には実証されていたものである。ここまでは、万事が満足にうまく運ぶかと思われた。・・・”と言っている部分です。解説文13.でKνと言っている量は、この稿のRνに相当することに注意して下さい。(2)観測値による定数の決定(原論文3.§25〜26)1.クールバウムとパッシェンの測定値(原論文3.§25)つぎに、プランクは公式中の普遍定数aとbを、当時得られている測定値から計算します。1898年]を用いて、まずb/a4を求めた。100°C=373Kの黒体の放射強度S373と0°C=273Kの黒体の放射強度S273の差がとなることを測定した。この放射強度Sは絶対温度TK(ケルビン)に保たれた黒体の単位面積から1秒間に真空中に放出される全エネルギーのことで、別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」2.(3)で説明したものです。エントロピーSやポインティングベクトルSと同じ記号を用いていますが、これらと混同しないで下さい。ここでとなりますので、前記の測定値と比較するとが得られる。Wienの公式の指数の定数acの値としてを報告している。これら二つの式を連立させて解けばが得られる。ここで、bは後に[プランク定数h]と呼ばれるものです。aは[プランク定数h]÷[ボルツマン定数kB]そのものです。プランクはこの段階で[プランク定数h]と[ボルツマン定数kB]を得ていたことになる。[補足説明]この段階でこれらの定数の値が求まるのは不思議に思われるかも知れませんが、ウィーンの輻射分布公式は、後に発見される真に正しいプランクの輻射分布公式の短波長、低温側での近似形だったのですから、それもむべなるかなです。実際、後で説明するプランクの輻射法則において指数のν/T(または1/λT)が大きな領域では、ほぼ正確にウィーンの分布則に一致します。熱輻射の測定は、最初に高振動数(短波長)、低温側で可能になります。それは当初、黒体壁を実現するセラミックを作る技術が未熟なため千度以上の高温状態を実現することが難しかったからです。そのため1897年のPaschenの論文を御覧になれば解るように、当初の測定は主に温度が常温〜1000°C程度で行われていました。[この当たりは参考文献14.の天野氏の説明を参照されて下さい。]この温度範囲では、横軸をλで表したプランクの分布則のグラフを御覧になれば解るように波長が短い領域での放射エネルギー密度は大きくなります。正確な波長の測定が可能であった。低振動数(長波長)の赤外線領域では放射エネルギー密度が弱くなる上に、赤外領域での正確な波長の測定が難しかった。長波長側の正確な測定を行うには、もっとエネルギー密度が大きくなる1300°C〜1600°C程度以上の高温状態が実現され、しかも正確な波長の測定が可能になることが必要だった。ウィーンの分布則が観測値と合わなくなるのはまさにこの高温・長波長の領域ですから最初はその不一致性が解らなかったのです。そのとき、黒体の温度が1000°C以下の場合、λ=0〜5×10-6mの領域でウィーンの分布公式はほぼ正確に観測値に一致します。そのため、当初行われた短波長・低温領域での測定から得られたaやbの値は、思いのほか正確な値だったのです。[8.(5)[補足説明4]参照]2.自然単位(原論文3.§26、著書10.§159)現在人類が用いている単位系は、われわれの世俗的な文化の要請から選択され定義されてきた。長さや時間の単位は、我々の惑星の大きさや、その運動から導かれている。質量や温度の単位は水の密度や水の相変化を基準点として導かれている。地球表面で最も重要な液体である水を、我々を取りまく大気の平均的な圧力のもとで取り扱うことで定められた。具体的に説明すると、長さの単位1mは地球の極から赤道までの子午線長の1/10000000倍を1mと決めた。時間の単位の1秒は、地球の自転周期の1/(24×60×60)倍を1秒とした。質量の単位1kgは最大密度における一辺10cmの立方体(つまり1リットル)の水の質量であり、温度の単位1°Cは一気圧のもとでの水の凝固点と沸点を百等分したものである。その後、より正確な定義するためにその基準は繰り返し変更されて、現在は別稿で説明したように定められている。基準は変わったが我々の世俗的な文化に関係していることは変わらない。厳密な定義が可能になったとしても、これらの定義には避けがたい任意性がある。質量の単位として選ばれ白金合金の固まりである質量原器はもちろんであるが、時間の単位の基準のセシウム原子にしても沢山の化学元素の中からこれを選ぶ必然性などどこにも無いのである。そのため、異なった時代や、異なった惑星系の生物に取ってこのような特殊な条件の下で定められた単位は、その意味を失ってしまうであろう。プランクは、上記の様な現時点の人類の特殊な事情に依存するような単位系ではなくて、時間的、場所的(他の惑星系に存在する知的生命体も含めて)に普遍的な意味をもつ単位系をを提唱している。それが自然単位の概念です。用いて、長さ、質量、時間および温度の単位を決めればよいと言うのです。文化に対して保持する。したがってこれは“自然単位”と呼んでも良いであろうと言うのです。これら4つの定数の数値を、現在の単位であるセンチメートル、グラム、秒、摂氏温度で表せばつぎのようになる。“自然単位”とは、ここに上げた4つの定数をすべて1(a=1、b=1、c=1、G=1)としたものに他なりません。すれば、現在使われている各次元の量を測るときの単位はそれぞれとなる。これらの大きさは、[重力の法則]、[真空中の光の伝播の法則]、[熱理論の二つの法則]が正しい限り、その自然の意味を失わない。したがってどんなに異なった考え方で、どんなに異なった方法で、どんな知的生命体が測定しても常に同じ数値になるはずです。同じ10進数を採用しての話しですが。置き換えた場合には下記の様になります。現在の単位系で、それらの量はとなります。そのとき、cmをh、kB、c、Gで表す事を考える。あるから、以下の連立方程式を解いて指数w,x,y,zを決定すればよい。この連立方程式の解はとなるのでとなる。g、sec、°Cも全く同様に考えればよい。測るときの単位となります。置き換えても変わりません。[補足説明2]プランクの自然単位系とは、根本的な物理法則(その多くは左辺と右辺で異なる次元の物理量を結びつけている。)の比例係数を1と置くことによって構成する。多くの物理法則は普通、左辺と右辺で異なる物理量(つまり左辺の次元と右辺の次元が異なる)を結びつけており、その両辺を結び付ける時に掛かる定数は左右の異なる物理量(次元)を関係付ける換算定数となる。いった換算定数を含む幾つかの独立の物理法則を用いれば、物理で用いられる物理量の測定単位を人間世界の任意性にもとずく事情に患わされることなく定める事ができます。E=1/2・kBTの比例定数kB(ボルツマン定数)の4つを1と置いて定められたものでした。今日の“プランクの自然単位”はプランク定数hそのものではなくて、それを2πで割った(h/2π)が用いられている。F=(1/4πε0)q1・q2/r2の比例定数(1/4πε0)[Q-2ML3T-2](但しε0は真空の誘電率であり、これは有理化単位系での公式形です)を付け加えた5個の換算定数を1に定めることによってプランクの自然単位系を構成している。これを付け加えることで電気量の測定単位を定めることができるからです。これらを用いると[補足説明1]の換算定数一覧はとなる。数値は今日の値を用い、単位系はSI有理化単位系にしてある。)を測るときの単位となります。これらの値に、自然の秘密を解き明かす何らなのメッセージが込められているのかもしれないと検討を重ねる科学者もいます。そのとき、これらの値には2πや4πの取り扱いに伴う任意性がある事を忘れないでください。その任意性に伴いぞぞれの単位となる量のオーダーはほぼ適切かもしれないが数値そのものには恣意性があります。[詳細はWikipediaの記事など参照]プランク長やプランク時間はあまりにも小さすぎ、ブランク温度はあまりにも大きすぎる。プランク質量とプランク電荷のみが我々に身近な範囲のオーダーに収まっている。実際にそういった単位としての塊に何らかの意味があるのか、その真意は不明です。スティーヴン・ワインバーグは彼の著書「科学の発見」文藝春秋(1916年刊)のp342で“同じ距離にある二つの電子間反発力と同じ強さの重力をもつために粒子が持っていなければならない質量(これは上記の“プランク質量”とほぼ同じオーダーの値になる、また単位電荷は上記の“プランク電荷”とオーダー的に近い)を基準にすることによって、重力及びその他のまだ発見されていない力を標準モデルの諸々の力と統一できるのではないかと考えられている。人類の経済的資源のすべてが物理学者の自由裁量にまかされたとしても、そんな巨大な質量を持つ粒子を実験室内で創造することはできないだろう。6.振動子エントロピーの一般的な導出(原論文4.、著書10.§188〜189)プランクは、一応前節までの議論で、まがいなりにも実験結果を説明できるエネルギー分布則を導いたのですが、4.(4)1.で仮定した振動子のエントロピー表現形式は、いかにも唐突に導入された観を免れないと思っていたようです。そのため、彼はこの式をより一般的に導けないものかと考察を進め、原論文4.で報告しています。これは前節の理論の正当性をさらに補強するものですからここで説明します。1899の測定や、少し遅れたF・パーシェンの測定によって、ウィーンの分布法則の検証をより長い波長へ広げるとそこに若干のずれが認められることが解っていました。そのずれは測定が精密になるにつれて、ウィーンの分布公式の正当性を真剣に疑わねばならぬほどはっきりしてきたのです。実際この段階で、M.Thieserなどが、観測事実と良く合う新しい分布公式を提案していました。そのため、プランクは“ウィーンの分布公式が変更されなければならなくなり、4.(4)1.で仮定した振動子のエントロピーの表現式を、より適切な表現に置き換えなければならなくなったときでも、彼の理論がその変更に耐えうるように、より根源的な原理から振動子エントロピーの表現式を導こう。(1)理論の物理的基礎(原論文4.§1〜2)プランクは原論文4.の§1と§2で、彼が得たそれまでの成果と、彼の理論の物理的根拠を概観しています。これは、もってまわった言い回しのとても難解な文章ですが、彼の考え方を知る上でとても興味深い部分ですから、その内容を以下に箇条書で要約しておきます。当時、輻射線そのものの温度について言うべきではなく、輻射線を放出する物体の温度についてのみ言うべきであるという見解の物理学者がいました。それに対してプランクは、太陽を例に出して、太陽が黒体表面の様に輻射を放出し、輻射が途中でエネルギーを失わずに進むときに、太陽の物体としての温度は太陽の輻射線の温度以外の何者でもないだろう。輻射の温度を考えなくて、地球で感じる太陽光線の輻射熱の性質を論じるようとすると、太陽と地球の間での輻射の性質について非常に煩雑な手続きが必要になるであろう。そのように物体と輻射を断絶的に考えるよりも、単色の太陽輻射線のそれぞれに特有の温度を付与した方がはるかに有効であると説明しています。」を拠り所にしているのですが、彼が仮定したように、輻射による減衰はわずかでその大きさに比較して大きな波長の輻射線を放出する静止した線形振動子を十分大きな距離隔てて配置しておきさえすれば、彼が言う“自然輻射”の仮定をおくだけでキルヒホッフの定理が実現する状態になることが証明できる。この自然輻射の仮定こそ熱力学第二法則からの不可避的な要請であると彼は言っています。分子運動論的な熱理論の立場からいくと、プランクの導入した振動子も当然熱運動によって動いているべきなのだから、振動子が静止していると仮定したことは適切ではないのではないかと言う疑念が生じる。分子の速度が、その温度への依存性によって熱輻射に介入してくるのは間接的なものにすぎない。温度は平均速度ではなくて平均運動エネルギーと関係づけられている。振動子の振動エネルギーの中で振動子の運動の効果は考慮されているのであるとプランクは説明します。気体分子運動論に於ける非可逆性は、非常に多数個の分子のランダムな運動に関係していた。これに対して、プランクが論じたように、たった1個の振動子について、輻射過程の非可逆性や輻射エントロピーの概念を論じることができるのだろうかと言う疑念に対して、プランクは次のように答えています。気体分子運動論における非可逆性は無数の分子の位置と速度の不規則性によっていたが、輻射場の議論の非可逆性は、輻射の中に存在する無数の振動数や位相や強さの不規則性にある。1個の振動子の定常的な振動といえども、実質はほとんど等しい周期と一定の振幅及び位相を持つ非常に多くの小さな固有振動の重ね合わせであり、位相が不規則に変化する沢山の振動から成り立っている。したがって、たとえ1個の振動子であっても、その無秩序さ(すなわち振動子のエントロピーや温度)について語ることができる。上記の無秩序が熱輻射線に存在することが、ウィーンのエネルギー分布則が示しているように、“一定の色の輻射の強さ(つまり波長を固定したときの輻射強度)が温度の増大と共に限りなく増大するのではなくて、一つの有限な極値に近づいていく”というようなことが生じる原因であろう。[補足説明1]上記の1〜4.までの項目については、確かにプランクの言うとおりかもしれないのですが、5.の推測についてはプランクは間違っています。項目5.でプランクが言っているのは以下のことです。ウィーン分布公式において、λを固定してEλの温度による変化に着目します。するととなり、温度を無限大にしてもある極値に近づいてそこで止まってしまい、決して無限大まで増大することはありません。そのことを言っているのです。この事実はウィーン自身も、彼の分布公式を発表した1896年の論文の最後で注意していることですが、この時点(1900年3月)のプランクはこの事実こそ熱輻射の性質を特徴づけるものだと考えていたようです。実は、これはレーリーが彼の輻射分布則を提案した1900年6月の論文の最初のページで、ウィーンの分布公式が物理的に考えて正しくないと批判している所です。“温度を無限大にすれば、それに応じて熱輻射の強度Eλも無限に増大すべきで、そうなっていないのはおかしい。”と言っているのです。熱輻射と量子」、あるいは参考文献14.のデジタルライブラリーの中に翻訳掲載されています。]この点でレーリーが正しく、プランクは間違っていました。長波長・高温領域でウィーンの分布則と観測値に食い違いが生じていたのですから。この当たりは、参考文献14.の第3章13.や参考文献21.の§8.2.4と§8.3.4で解りやすく説明されていますので参照されて下さい。8.(5)[法則説明4]のグラフを御覧下さい。於けるウィーンの分布公式の特徴をレーリーと同じようにプランクもハッキリ認識していたことは重要です。それだからこそ、1900年10月の段階で長波長・高温領域のより正確な観測データが得られたとき、直ちに正しいエントロピー表現式を見つけることができた(原論文5.)のだと思います。項目5.の推論において間違っていたのはエントロピーを用いた考え方ではなくて、原論文3.で仮定したエントロピーの表現形式の方だったのですから。(2)輻射場の中にある1個の振動子(原論文4.§3)ここでの議論を展開する準備として、3.〜4.章の結論を復習しておきます。1.エネルギー保存3.(4)4.で証明したように、振動数νの1個の振動子に対するエネルギー保存則はとなる。その先端が振動子にある円錐の無限に小さな開き角である。R’は、二つの互いに直角に偏光した、円錐ないで一方の向きから振動子にあたる振動数νの輻射線束の強さ。同一方向で逆向きに共鳴子から出てくる輻射線の強さ。振動子により輻射のエネルギーの一部が吸収された残りの通過光の強さである。3.(3)で証明したようにで与えられる。R’の偏光面と輻射線及び振動子の軸を通る平面との間の角度を表している。R''の偏光面は振動子の軸[z軸]に垂直であり、R'''の偏光面は振動子の軸を通る。ある時間に、ある方向に伝播する振動数νを持つエントロピー輻射の比強度と呼ぶことにする。[4.(1)1.で注意したように、この稿ではエントロピー輻射については強度と呼ばずに比強度と呼ぶことにしている]SはUとνとのある関数になる。4.(4)1.ではSの形を天下り的に定義して用いたのだが、ここではその表現式の正当性をより一般的考察から求めたいので、4.(3)4.で証明した様にUとνのある関数になることだけ解っているとする。Lは、別稿「ウィーンの変位則」6.(5)3.で証明した(13)式のように、Rとνとのある関数になる。そのときエントロピー輻射L、L’、L''、L'''の偏光面の方向をR、R’、R''、R'''と同じ意味とし、またLの比強度をRの強度に対応させるとすると、ここで考察している振動子を取り囲んでいる輻射場の時間dtないに生じるエントロピー変化は、4.(2)2.で求めたようにとなる。このとき同じdt時間に生じる振動子のエントロピー変化をdSとすれば、共鳴子と輻射場の中に生じる系全体のエントロピーStの変化はとなる。これは前記のエネルギーについての式と全く類似したものになっている。(3)特別な場合への応用(原論文4.§4〜5)ここでプランクは前節の結論を、“振動子のおかれている場は定常的輻射状態にあるが、振動子の振動エネルギーは初め全く任意である”特別な場合に当てはめて、さらに何か言えないか考察を進めます。1.定常的な輻射場(原論文4.§4)ここで、“振動子のおかれている場は定常的輻射状態にあり、振動子の振動エネルギーは初め全く任意である場合”を考えるのですが、これに対する条件は、振動子に当たる輻射が偏光しておらず、すべての方向に対して一定であることです。これが時間的にも、輻射の方向にも依存しないことです。これを用いると前節のエネルギー保存則はとなる。R=R’=R''が成り立つので、エントロピー輻射Lに対してもが成り立つと考えられる。そのため前節の全エントロピーの変化はとなる。ここでL'''は2.系全体が定常的なときのエントロピー(原論文4.§4)ここで、振動子を取り囲んでいる輻射場だけではなく、系全体が定常的な輻射の状態にある場合にはだから振動子のエネルギーUはとなる。ここでR'''=R0も言えるので、L=L’=L''=L'''=L0が言えることになり、系のあらゆる部分でエネルギーもエントロピーも時間に依存しないことになる。したがって我々は、U0を振動子のエネルギーの“定常値”と呼ぶことにする。してUは時間と共に漸近的にU0に近づいてゆくはずである。ここで、振動子のエネルギーが“定常値”U0からほんの少しΔUだけズレた値を持っていたとする。小さな量ΔUを、振動子エネルギーの“定常値”U0に関する“(正または負の)余剰”と呼ぶことにすれば、これは振動子の定常状態からのズレの大きさと方向に対する尺度を与える。このときと置くことができる。そのため、L'''をTaylor級数に展開して、ΔUの高次の項を無視するととなる。これを前記の式に代入するととなる。この式は定常的な輻射場に対応するエネルギーUよりΔUだけ大きいエネルギーを持った一つの振動子が、輻射場からdUのエネルギーを受け取った時に生ずるエントロピーの変化を表す。3.エントロピーに不可欠の性質(原論文4.§5)前節の最後の式に於いて、熱力学第二法則が真であるならば、右辺は常に正かゼロで無ければならない。ここでdUは正あるいは負で、しかもΔUは任意に小さいとできるので、右辺が常に正またはゼロであるためにはでなければならない。ここでであったことを思い出すと、上式はまさに、個々の輻射線の絶対温度がで定義され、個々の輻射線の温度と振動子の温度が等しくなっていることを意味する。前記の式を積分、あるいは微分するととなる。ここで、積分定数は物理的に意味を持たないので省略してある。これらの関係式を、前節の最後の式に適用すればとなる。ここで添え字の0は、今は余計なものとして省かれている。これは、定常的な輻射場のなかにある1個の共鳴子が、その定常値に関する小さな余剰ΔUを含むエネルギーUを持っていて、エネルギー変化dUを蒙るときに、自然に生じるエントロピーの増大を表す。なるので、最後の項が負でなければならない。対して定義してきたエントロピーの概念が適切なものであったことを証明していると言える。このときと置けばf(U)は必ず正の関数となる。なるが、このエントロピー関数f(U)は振動子のエネルギー以外に、振動子の振動数νに依存するが、対数的減少率σには依存しない。それは、以前求めたの左辺にσが含まれてはいないことから解る。(4)エントロピー関数の導出(原論文4.§6)ここで考察している特別な場合の考察からも、彼が行っているエントロピーを用いた考察の正当性が裏付けられ、エントロピー関数の満たすべき性質についてさらに幾つかの重要な事が得られた。エンロピー関数f(U)の形が決定できなければ、先に進むことはできません。それは4.(4)1.で振動子のエントロピー関数を天下り的に与えないと先へ進めなかったのと同じ状況です。真に正しいf(U)の関数形を見つける方法を知らなかったこの段階のプランクは、仕方なしに次に述べるかなり恣意的な方法でこの関数を見つけようとします。プランクは原論文4.§6で1個の振動子ではなくて、n個の振動子の集まりを考えます。“全体のエントロピーの増加は全エネルギーUnに依存するだけで個々のUやその個数nには依存しない。”という仮定を立てて考察を進めます。彼は、前節の最後に得られた式をn個の振動子を含む場合に拡張して、この仮定を適用することで一つの関数方程式を導きます。[ただし、この証明の論法は間違っていることが後で解ります。成り立つととなります。ここで正の定数αは振動数νに依存する可能性があります。これを二回積分すればが得られます。ここで、νに依存する第二の正の定数であるβを導入する必要がありますが、これ以外の付加的な積分定数は、物理的な意味を持たないので省略できます。プランクは、この式を、一般的な議論から導かれる故に、彼が最も信頼していたウィーンの変位則(ただし振動子エントロピーについてのもの)と比較して定数のν依存性を決めます。ウィーンの変位則が正しければでなければなら。そのためとおかなければならないことが解ります。ここで1/βの比例定数をbではなくe・bと置いたのは単なる計算の便利のためです。このように置くと、振動子のエントロピーの表現式としてが導けます。これは4.(4)1.で天下り的に仮定したものと同じです。これに、熱力学第二法則を適用し、さらに振動子のエネルギーと輻射強度の関係式を用いて、振動子のエネルギー分布から輻射場の分布に変換すればウィーンの輻射分布公式が導けるのは5.(1)でに説明したとおりです。ここの一連の考察の中に、プランクが後に繰り返し使うことになる手法のすべてが現れています。この段階で考察に必要なすべての鍵を取得できたことになる。後は正しいエントロピーの表現形式を得る事だけだったのです。以上の考察により、プランクはエントロピーを用いた彼のやり方に、自信を深めます。このときが非常に単純な形になったことから、彼はこのエントロピーSのUに関する二次微分係数(二次導関数)の重要性に着目します。この二次微分係数の表現形式の中に本質があるに違いないと確信します。後に、これが彼を内挿式の発見に導くことになった確信です。導いた証明の過程を説明しなかったのは、結局その証明は間違っていたからです。彼がそこで行った仮定“全体のエントロピーの増加は全エネルギーUnに依存するだけで個々のUやその個数nには依存しない。”が正しくなかったのです。そのため、それから得られた結果も正しくないので証明の説明は省略しました。彼がd2S/dU2の重要性に気付いたことは大切ですので、その部分を中心に原論文4.の内容を紹介しました。[補足説明2]プランクは真に正しいエントロピー表現式が得られた後に、その正しい形を用いて、ここでの考察をもう一度やり直しています。それが著書10.§189で報告されているものです。そこで、“全体のエントロピーの増加はn個の振動子の全エネルギーnU=Unに依存するだけで個々のUやその個数nには依存しない。”と仮定したことが間違いだったことを確認しています。実は、n個の振動子を含む系全体のエントロピーの変化は全振動子のエネルギーUnやその変分ΔUnやdUnに依存するばかりでなく個数nにも顕わに依存していたのです。導いた証明が間違っていた可能性がある事を認めています。[補足説明3]この章で紹介した内容は、プランクが解説文13.で“・・・エントロピーの性質を徹底的に明らかにするために、私はまず関係式(2)を用いないでまったく一般的に、定常の輻射場の中にあって、その輻射場に対応するエネルギーUよりΔUだけ大きいエネルギーを持った一つの振動子が、輻射場からdUのエネルギーを受け取った時に生ずるエントロピーの変化を計算してみた。(1900)(古典論文叢書11)]。熱力学の第二法則によってこれが常に正であり、また自然界において実際に生ずる変化では、dUとΔUとの符号がとにかく逆であることから、必然的にとなる。実際、ウィーンの分布法則が導かれるエントロピーの表現式(2)によってもが得られるのである。この関係が非常に単純なので、私はそれを適当な直観的考察から直接に導いてみようと考えた。そのような考察をやってみたものの、こうして私は別の面からふたたび関係(2)に、従ってまたウィーンの分布法則に到達した。この考察は、ある程度まで説得力があるにしても、否みがたいものとは言えないので、ここではそれを紹介することを控えておく。それが実際に適合しないことは、ウィーンの分布法則が測定によれば、一般的には成り立たないという事実からも明らかである。して式(2)を改善しようとする試みはゆき詰ってしまい、私はそれを究極的に放棄しようとしていた。・・・”と言っている部分です。7.内挿公式の発見(原論文5.)1900年10月にプランクは[共鳴子のエントロピーのエネルギーに付いての二階微分係数についての内挿式]と[ウィーンの変位則]から導かれる式を[熱力学第二法則]と結びつけることにより今日プランクの熱輻射公式と言われるものを導きます。内挿式の導出過程については、参考文献15.§20や、18.、19.等々・・を含めて多くの本で説明されています。参考文献14.の国立国会図書館のデジタルライブラリーの中に原論文5.の翻訳があります。これはとても短い報告なのでぜひ原典を読まれて下さい。その内容は、プランクが解説文13.で“・・・こうして式(2)を改善しようとする試みはゆき詰ってしまい、私はそれを究極的に放棄しようとしていた。そのとき、こういった状態にあって、決定的な転回をもたらすべき出来事が起った。それは、1900年10月19日に開かれたドイツ物理学会で、F・クールバウムがH・ルーベンスと共におこなった、非常に長い波長部分に対するエネルギー測定の結果が報告されたことである。その報告の一部として、黒体の輻射強度は高温になればなるほど、ますますよく温度Tに比例するということが明らかにされたが、これは輻射強度を常に有限ならしめるウィーンの分布法則(4)とは、かなりあい容れない事実だった。学会の数日前に私はこの結果を口頭で知らされたので、それからの結論を学会が開かれるまでに私なりの仕方で引き出して、振動子のエントロピーを計算してみるだけの時間的余裕があった。高温Tにおいては輻射強度Kνが温度Tに比例するとすれば、式(1)より振動子のエネルギーも温度Tに比例してとなり、これを式(3)に入れて積分するとが得られ、従ってとなる。この関係は従って、Uの大きな値に対しては、Uの小さな値に当てはまる関係式(5)にとって代るものである。(1900)(古典論文叢書12)]で提出し、検討を加えるよう申し出たのである。翌朝同僚のルーベンスが訪ねてきて、学会が終った夜、私の式を自分の観測データと詳しく比較した結果、すべての波長で十分に両者は合致することが判った、と述べた。(1941)]が、間もなく(プリングスハイムが口頭で伝えてくれたところでは)、それが計算の間違いによるとはっきり判ったので、反論をとり下げた。・・・”と言っている部分です。この説明で尽くされていますが、以下で幾つかの補足をします。[補足説明1]解説文13.でプランクが“黒体の輻射強度は高温になればなるほど、ますますよく温度Tに比例するということが明らかにされたが、これは輻射強度を常に有限ならしめるウィーンの分布法則(4)とは、かなりあい容れない事実だった。”と言っている部分が、6.(1)[補足説明1]で説明した事柄です。プランクは、この事実をエントロピーSのUに関する二次微分係数(二次導関数)で解釈すると(6)式になると言っているのです。上記(6)式は以下のようにして導かれます。解説文13.でKνと言っている量は、この稿のRνに相当することに注意して下さい。プランクは高温部でのこの形と、低温部で正しい(5)式の形をつなぎ合わせた式を考えます。それは実験事実をきわめて旨く説明する分布公式を導いた。1901年また8.(5)[補足説明4]のグラフを参照されたし。)[補足説明2]上記解説文13.の(5)式と(6)式を極限として含む内挿式として、原論文5.に書かれているのは上記解説文13.中に書かれている形と違っての形です。定数としてより一般的なαとβを用いて書かれています。このとき、この式だけからではαとβが何を意味するのか解りません。そのためプランクはこれを積分して得られるを、彼が最も信頼している“ウィーン変位則”(ただし振動子エントロピーについてのもの)と比較することで、αとβを振動数νに結びつけます。αをわざわざa’/aと置いたのは(7)式が簡単な形になるようにするためで深い意味は有りません。β→a’νと置かねばならないことは本質的です。置くとdS/dUが解説文13.の(7)式の形になります。上記の振動子のエントロピー表現式はとなります。後にと呼ばれることになります。前記の振動子のエントロピー表現式が得られると、直ちにプランクの黒体輻射の分布公式が導き出せます。解説文13.でKνと言っている量はこの稿のRνに相当しますので、それに置き換えます。この段階で、正しい黒体輻射の分布公式が導き出せたことになるのですが、まだ“エネルギー量子ε=hν”の概念は出てきていません。上記の振動子エントロピーの表現式を統計力学的に解釈して始めて発見されるものです。それが次章8.の内容です。8.内挿公式の統計力学的解釈(原論文6.、原論文7.§1〜10、著書10.128〜154)前章で説明したようにプランクが見つけた振動子のエントロピーの表現式は実験事実を極めて旨く説明しました。スペクトル上のエネルギー分布法則の問題は、これで究極的に解決したと見なしてもよいであろう。ここに、この法則の物理的意味を適切に基礎づけるという理論的に非常に重要で、これまでとは比較にならぬほど困難な課題が残された。問題は、式(7)から積分によって得られる振動子のエントロピーの表現を理論的に導出することなのだが、その表現はの形に書かれる。この表現に物理的意味を与えうるためには、電気力学の領域をはみ出した、エントロピーの本質に関するまったく新しい考察が必要であった。気付いたのかを明らかにすることが最も重要です。ところが、プランクは、源論文6.と7.の中ではそのことについて詳しいことは何も述べていません。ボルツマンの得た結論を利用したと言っているだけで、後はWの統計的な計算法とこの式を用いた議論を展開しているだけです。難しい所ですが、それをするにはボルツマンの統計力学に深く立ち入らないといけません。いつか機会があればその当たりの説明に挑戦したいのですが、残念ながら今の私がその当たりを良く理解しているわけではないので、ここではやりません。以下の説明は、この関係式を認めることができて、Wを求める統計的計算法に納得できたとしての議論です。そこさえ納得できれば、ここは論理的に難しいところはありません。関係式に気付いた後の理論については多くの参考書、教科書で解説されていますが、そんなに難しくはありません。参考文献14.の国立国会図書館のデジタルライブラリーの中に原論文6.と7.の翻訳があります。これらは、比較的短く理解しやすい論文なのでぜひ原典に当たられて下さい。(1)共鳴子のエントロピーをそのエネルギーの関数として表す(原論文6.、原論文7.§1〜5、、著書10.§146〜148)1.同一の固有振動数を持つN個の振動子の系のエントロピーエントロピーは無秩序性を前提としている。その無秩序性は、振動子の単色的な振動の場合に、それが永続する定常的な輻射場の中にあるときでも、振動の時間よりも大きいが測定時間よりも短い時間間隔で、単色的振動子が輻射場を通じて他の同じ固有振動数の単色的振動子と、その振動の振幅と位相を無秩序に交換している不規則さに由来するであろう。[これがプランクが“自然輻射の仮定”と呼んで理論の拠り所としているものです。]そのとき、定常的な振動をする単色的な振動子の個々のエネルギーは時間的には変動するが、個々の振動子エネルギーは時間的な平均値であると考えるべきである。同じ性質(つまり同じ固有振動数)を持った多数の振動子が、定常的な輻射場の中にあって、輻射場を通じて互いに影響するだけで振動子どうしが直接影響を与えないほど互いに十分離れている場合、その単色の個々の振動子のエネルギーは同じ固有振動数を持つ多数の振動子が同一時刻において持つ様々なエネルギー平均値と考えるべきである。等しいN個の振動子からなる系を考える。そのときN個の振動子の全エネルギーはとなる。Uは一つの振動子が持つ上記の意味で平均化されたエネルギーで、すべての振動子は平均的に同じエネルギーを持っていると考えて良いであろう。同じ系の全エントロピーはとなる。Sは個々の振動子の平均エントロピーを表している。全エントロピーSNは、全エネルギーUNを個々の共鳴子に配分することによる無秩序性に基づいている。そのとき、1個の振動子のエントロピーSは多数の振動子に同時にエネルギーを配分する配分の仕方によってきめられる。それはボルツマン氏が明らかにした熱力学の第二法則の確率論的考察を輻射の電磁理論に導入することで達成されるであろう。ボルツマンの統計力学の原理に従って、系のエントロピーSNを、N個の振動子が全体としてエネルギーUNを持つことに対する確率Wの対数に比例すると置く。このように置けるであろうと言う根拠は、今まで議論してきた輻射の電磁理論の中には存在しないのだが、プランクはボルツマンによって展開された運動学的気体論の成果を拠り所としてこのように置くことにしたと言っている。[この仮説が一番重要なのですが、この稿では深く立ち入らない。]2.分配総数Wの導出N個の振動子が全体として振動エネルギーUNを持つ分配数Wを求めよう。そのためには、UNを連続的な値であると考えるのでは無しに、離散的な整数個の有限な比として部分からなる量と考える事が必要である。しないと実質的な確率を計算することは不可能である。その様な1つの部分をエネルギー要素εと呼ぶことにする。するとUNはと表される。ここでPはNよりも十分大きな整数であるが、εの値はきめないでおく。この段階では単に分配の数を有限にするために仮の要素を考えるだけであり、最終的な結論においてε→0とするつもりである。今、P個のエネルギー要素εをN個の振動子に配分する場合、その分配のやり方の数は次の様にして計算すればよい。例としてN=10個の振動子に、P=100個のエネルギー要素を配る場合、一つの配り方は例えば次のような数の並びで表される。上段の数字は10個の振動子を表しており、下段の数字は上段の振動子に振り振られたエネルギー要素の数を表している。これは100個の粒を10個の箱に分配するやり方の数であり、100個の粒を1列に並べたときに10−1=9個の仕切りを入れて分ける分け方の数と同じである。P個の粒の並びの間にN−1個のの仕切りを入れる入れ方の数である。それはP+N−1個の球があり、その内のP個は同じもの、N−1個は他種類の同じものであるとき、それらP+N−1個の球を一列に並べる並べ方の総数です。この数は高校数学の順列組み合わせで習うように、粒と仕切りがすべて異なっているとして一列に並べる並べ方の総数(P+N−1)!を、粒だけ、あるいは仕切りだけ、をそれぞれ入れ替える並べ方の数で割ってやればよい。ここでもう一度注意しますが、Nは、輻射と振動子の集合からなる系の中に含まれる、固有振動数がνの振動子の数です。Pは、このN個の振動子に分配されるエネルギー要素εの数です。このとき、PやNは非常に大きな数なのでとすることができる。Stirlingkの公式によりN!≒NNが言えるのでとなる。3.分配(Complexion)に対する仮説これから先の計算の基礎になる仮説は次のようなものである。固有振動数νのN個の振動子が全体として全体として振動エネルギーUNをもつための確率は、エネルギーUNをN個の振動子に配分する場合に可能な分配数(Complexionの総数)Wに比例する。これは言葉を変えれば、ある一つの分配(Complexion)は、他の分配(Complexion)と等しい確率で生じると言うことです。この仮説が妥当かどうかは、経験によって確かめる他ない。経験によりこの仮説の妥当性が確認できれば振動子のエントロピーは、付加定数(今後kBと書く)を適当にきめることにより、次のようになる。このようにして、固有振動数νの1個の振動子がもつエントロピーSを、それが持つエネルギーUの関数として表すことができた。振動子がN個ありそれ全体が持つエネルギーをE、固有振動数ν'の振動子がN'個ありそれ全体が持つエネルギーをE'、固有振動数ν''の振動子がN''個ありそれ全体が持つエネルギーをE''、等々・・・・とする。それらすべての振動子の持つエネルギーをE0とするととなる。小さくなければならない。空間を満たしている輻射場の持つエネルギーとなる。この系に対して、それぞれのエネルギー分配を任意に行えば、E、E'、E''、・・・・のそれぞれに対して前記と同じ分配数(Complexionの総数)が得られる。このとき次のことに注意して欲しい。分配数(Complexionの総数)を計算するときに仮定したエネルギー要素εに関しては、固有振動数が異なる系に関しては互いに異なったものを仮定してもかまわないだろうから、それぞれをε、ε'、ε''、・・・としている。すればすべての振動子へのエネルギー分配の可能な分配数(Complexionの総数)W0が得られる。このとき、を一定に保つ可能なエネルギー分配のなかには、可能な分配数(Complexionの総数)W0が他のどんな分配の場合よりも大きくなるような唯一のE、E'、E''、・・・・の分配がある。することで、それぞれの固有振動数の振動子1個当たりの平均的なエネルギー値Uν、Uν'、Uν''、・・・が得られる。これが得られれば、3.(1)3.で証明した関係式を用いて輻射場のエネルギー密度に変換できるので、各振動数の単色輻射に対するエネルギー密度が得られる。持つときに実現される“黒体輻射の分布法則”です。このときE0の値を、与えられた全エネルギーEtに対してどの様な割合にしたらよいかも直ちに計算できます。わたって積分して輻射の全エネルギーEradを求める。越えるようならばE0の値を小さくし、Etよりも少なければE0の値を大きくして、E0+Erad=EtとなるようにE0の値を調整すれば良いのです。この一連の手続きを実行するのは非常に煩雑であるようにみえるが、次の事情を鑑みれば8.(1)1.〜3.で行った、ただ一つの固有振動数の振動子系についての考察をすれば十分なことが解る。それは、熱力学第二法則より振動子の全体系の温度Tはで表現されるが、これは個々の振動数ν、ν'、ν''、・・・・の系についても言えることで、平衡状態において常にが成り立っているからです。この事に関して下記の[補足説明3]と[付録4]を御覧下さい。そのため、固有振動数の異なる系間のエネルギーE、E'、E''、・・・・の分配に関しては、すべての系が“同じ温度でなければならない”ことを通じて自動的に調整されているのです。そのとき固有振動数ν、ν'、ν''、・・・・の各系を構成する振動子の数N、N'、N''、・・・・は全く任意で良く、さらに固有振動数ν、ν'、ν''、・・・・の各系に於けるエネルギー要素ε、ε'、ε''、・・・の設定についても全く任意で良いことに注意して下さい。結局、ただ一つの固有振動数の振動子系について考察すれば十分なのです。これはとても重要なことなので、8.(3)[補足説明5]や8.(4)[補足説明1]でもう一度注意を促します。[補足説明1]この節の内容が、プランクが解説文12.で“・・・しかしながら、たとえこの輻射公式が絶対に正確だと保証されるにしても、それはただうまくあたった内挿式だという意味で、あくまでもまったく制限された価値をもつにすぎないだろう。従って私は、この式を立てたその日から、それにほんとうの物理学的な意義を付与するという課題に没頭したのであり、そしてこの問題は、私をおのずからエントロピーと確率の関係についての考察に、こうしてまた、ボルツマンの思考過程へと導くことになった。私の生涯で最も緊張した研究作業の数週間がたって、ついに暗闇はしらじらと明け、新しい、思いもかけなかった遠景が姿を見せはじめた。・・・”と言っている部分です。[補足説明2]この節の4.全体系に対する考察の最後の部分で、固有振動数が異なる系間のエネルギー分布は温度が等しい事を通じて互いに自動調整されると述べましたが、それがどの様な電気力学的な方法に基づいて達成されるのかをプランクは説明していません。彼は、全固有振動数系を含む全体系についてのエネルギーの分配確率の最大化によってあたかも達成されるような言い方で誤魔化しています。原論文6.を読まれたらお解りのように、この部分は彼の説明の中で最も歯切れの悪いところです。4.(5)2.で説明した考察を、新しいエントロピー表現式でやり直せば、全体系のエントロピーが極大値を取っている場合、振動数が異なる振動子系の温度が互いに等しくなければならいなことは言えます([付録4]も参照)。どの様な方法で固有振動数が異なる振動子系間のエネルギー移動が起こり、等温になるように調整されるのかは説明されていません。彼の理論は、同じ固有振動を持つ振動子は同じ振動数の輻射との相互作用を通じて互いに作用し合い、同じ振動数を持つすべての輻射線の強度と偏光の大きさと方向が互いに一様になってエントロピーが最大の定常状態が実現されることを電気力学的方法で証明しているだけです。実際、プランクは著書10.§190で、彼の理論は振動数が異なる振動子間のエネルギー移動に関して何の説明も与えることができていない事を認めています。この理論の基礎となっている振動子は、その固有振動数に対応する輻射線のみと相互作用して、他の振動数の輻射線とは相互作用しないからです。輻射エネルギーを放出・吸収する以外の作用を仮定しないと振動子は、その固有振動数が異なる振動子とエネルギーの交換ができないのです。そのため、プランクは異なった固有振動数の振動子間のエネルギー交換が起こるには、振動子が互いに衝突して、振動子と輻射線の相互作用とは全く異なった形の相互作用が存在する事を仮定しなければならないだろうと言っています。それが有れば、異なる振動子間のエネルギー移動が可能になる。そのためには自然界に存在する振動子の構造がさらに詳細に解明されなければならいし、その解明によって作用量子hの意味がさらに明らかになるだろうと述べています。これは有る意味、当時すでに明らかになっていた気体や固体の比熱が低温部において示す理論と観測の不一致を量子論によって説明できることを予言するような言い方です。[補足説明3]全固有振動数系を含む全体系についてのエネルギーの分配確率が最大値をとる場合に成り立つ事[異なる振動数の振動子系の温度が等しくなること]についてプランクは詳しく説明してくれていませんが、江沢先生が参考文献21.p246〜248で、とても解りやすく説明して下さっています。その内容をそのまま[付録4]として引用しておきますので御覧下さい。これはプランクが4.(5)2.で説明している事柄を分配数Wの議論に焼き直したものです。S=kB・logeWに注意されて、その部分と比較しながらお読み下さい。(2)ウィーンの変位則を導入(原論文7.§6〜9、著書10.§127)プランクは、熱輻射の理論を確実に根拠づけている基礎の中で最も価値あるものと評価している“黒体輻射についてのウィーンの変位則”を、ここで議論している振動子のエントロピーに関係したものに変形します。それは4.(3)4.ですでに導いたものですが、原論文7.では別稿「ウィーンの変位則」5.(1)で求めた最初の形からより素朴なやり方で求めています。ここではそこの手順を紹介します。このSは固有振動数νの1個の振動子のエントロピーであることを忘れないで下さい。(3)エネルギー要素の解釈(原論文7.§10、著書10.§148〜149)プランクは、前々節と前節で得た二つの結論を用いて最終的な考察に進みます。8.(1)節で導いた[統計的に求めた振動子のエントロピー表現式]と、8.(2)節で説明した[ウィーンの変位則]を比較すると、直ちに“エネルギー要素εは振動数νに比例しなければならず、そのときの比例定数は普遍定数でなければならない”ことがわかる。あり、かってにε→0とすることはできないことを表している。これは、エントロピーの統計力学的解釈から解るように、“振動子の持つエネルギー値がε=hνの整数倍の飛び飛びの値しか取ることはできない”ことを表している。このνは振動子の固有振動数です。これれこそがプランクが発見した有名な“普遍定数h(プランク定数)”であり、エネルギー量子を表す“魔法の公式”です。[補足説明1]プランクがエネルギー要素εを考えたのは、エントロピーを導くために必要なエネルギー分配の“場合の数”を数えるためには振動子の取り得るエネルギーの値が離散的でないと無限大になってしまうからです。当初の彼のもくろみは、その様に有限なエネルギー要素εを仮定して得たエントロピー表現に於いて、最終的にε→0(あるいは比例定数h→0)として連続的なエネルギー分布にすれば良いというものだったのでしょう。ところが最終的に得られたエントロピー表現式のなかのエネルギー要素εは必ず(U/ε)のように組み合わせられた変数の中にしか出てこなかったのです。そのため“かってにh→0とすることはできない”のです。その様なことをするとエントロピーが(U/ε)の関数であることにならない。かってにhを小さくしたり大きくしたりすることができるのならU/εが定まらず、状態量であるべきエントロピーSが確定しないことになります。ε=hνの比例定数hはある確定した値の“普遍定数”でなければならないのです。[補足説明2][エントロピーのエネルギー二次微分係数の内挿式から得られたエントロピー表現式]と[ウィーンの変位則(プランクが改良したS=F(U/ν))]を比較すると、解説文13.の(8)式が得られて確かにβ=hνは導けます。解るのはβがエネルギーの次元を持つ量である事だけで、βが統計的に分配される離散的な量であるエネルギー要素εであるとは決して解らないことに注意して下さい。[統計的に求めた振動子のエントロピー表現式(解説文13.の(12)式)]と[ウィーンの変位則(プランクが改良したS=F(U/ν))]を比較して初めて“エネルギー量子の概念”が出てくるのです。この式と比較して初めて、a’/aがボルツマン定数であることが解るのです。世にある解説書は、ここのところの説明が実に不明瞭です。そのためここで、エネルギー量子(hが普遍定数であることと同義)とボルツマン定数kBは“振動子についての統計的(確率的)エントロピー表現式”を“振動子のエントロピーについてのウィーンの変位則”で解釈することから出てきたことを特に強調しておきます。ウィーンの変位則からエネルギー量子の考え方が導き出されるのか非常に不思議ですが、ウィーンの変位則は輻射のエネルギー分布に極大値を取る波長領域があることと関係しており、それは短波長(高振動数)領域のエネルギー分布密度が零に近づくことから生じている。そのとき、エネルギー分布に極大値が生じるのはエネルギーが量子化されているためだったのですから、ウィーンの変位則の中にエネルギー量子発見の鍵が隠されていたのもむべなるかなです。そのように考えればウィーンの変異則を導き出す過程の中にエネルギー量子発見に繋がる鍵が隠されていることになります。それが「断熱不変量の定理」だったわけです。[補足説明3]解説文13.では、エントロピー内挿式から得られたエントロピー表現式[解説文13.の(8)式]と、ボルツマン流の統計的手法で導いた振動子のエントロピー表現式[解説文13.の(12)式]を比較して作用量子を導いたように説明しています。確かにやることは同じなのですが、プランクに取ってエントロピー内挿式は単なる実験観測値を旨く説明する実験式の意味しか無かったのですから、実際の展開は(8)式を用いて導いたのではありません。1901年の原論文7.では、実験式である内挿式[解説文13.の(8)式]ではなく、上記の様に[統計的に求めた振動子のエントロピー表現式(解説文13.の(12)式)]を、彼が最も信頼していた[ウィーンの変位則(プランクが改良したS=F(U/ν))]と比較することでエネルギー要素の表現式ε=hνを導いています。ローレンツが、“このやり方の方がより厳密である”と言ったものです。[補足説明4]プランクの理論を振り返えれば解るように、エネルギーが量子化されて飛び飛びの値しか取れないのは“振動子のエネルギーについて”であって、輻射のエネルギーについてではないことに注意してください。プランクの理論では輻射の取るエネルギーが量子化されているかどうかは解りません。輻射場においてもエネルギー量子ε=hνが成り立つのか?あるいは成り立たないのか?は全く明らかではありまん。この時点のプランクに取って輻射は連続的なマクスウェルの電磁波なのですから、波のエネルギーを量子化するなど思いもよらないことでした。実際、輻射のエネルギーがどうなっているのかは、プランクを初めとして多くの物理学者を悩ました大問題でした。そこにアインシュタインの光量子仮説(1905年)という革命的な考え方が出てくるのです。[補足説明5]ここで導かれたエントロピーSの表現式は、あくまで1個の振動子の持つエントロピーであり、その中のUは、その1個の振動子の持つ平均エネルギーです。νは、その振動子の固有振動数です。そのとき固有振動数νが同じ振動子についてはすべて同じエントロピーや平均エネルギーを持ちますが、他の固有振動数の振動子のエントロピーやエネルギーとはどの様な関係になるだろうか?それはdS/dU=1/Tを通じて関係づけられています。“どの振動子の温度も等しくなければならないことを通じて、dS/dUはどの振動子のdSν/dUνについても等しい値になるようにSνとUνが定まっている”と言うことです。“1/T=dSν/dUν=(kB/hν)log(1+U/hν)は、固有振動数が違っても同じ値を持つ”のです。そのため以下のような事情が生じます。εはかってに大きくしたり小さくしたりすることはできないと言いましたがそれはhの値をかってに変えることはできないと言う意味に於いてであって、ε=hνですからν(振動子の固有振動数)を通じて大きくなったり小さくなったりします。そのときνの変化に応じてU/hνの値が第一項目中の(1+U/hν)の1に対しておおきくもなり、小さくもなります。そのため第二項目の−(U/hν)log(U/hν)との兼ね合いで、1/T=dSν/dUν=(kB/hν)log(1+hν/U)の値が異なる固有振動数の振動子のものと同じ値(つまり同じ温度)を持つためには、νの違いに応じて1個の振動子がもつ平均エネルギーUが変化しなければならない。振動子が保持し得るエネルギー量子εは比例定数hとそれぞれの振動子の固有振動数νの積です。そのため“固有振動数の大きな振動子については、その振動子がとりえるエネルギー量子ε=hνの固まりはνとともに大きくなる。それは各固有振動数の振動子にエネルギーが配分される確率はνが大きくなるにつれて小さくなることを意味します。やりとりするエネルギーの固まりが大きいため分配の場合の数がすくなくなるからです。そのため固有振動数νが大きな振動子の1個当たりの平均的なエネルギー値Uはνの増大と共にゼロに近づいていきます。”それは、第一項目の(1+U/hν)log(1+U/hν)と第二項目の−(U/hν)log(U/hν)との兼ね合いがあるため、1/T=dSν/dUν=(kB/hν)log(1+hν/U)の値が異なる固有振動数の振動子のものと同じ値を持つためにはν→∞と共にU→0とならねばならないと言うことです。そのとき、任意の振動数を持つ輻射の単位振動数幅当たりのエネルギー密度は、同じ固有振動数の振動子が持つエネルギーにリンクしていたので、当然のことですが輻射の単位振動数幅当たりのエネルギー密度もν→∞と共にゼロに近づきます。これが輻射分布則公式における短波長側の単位振動数幅当たりのエネルギー密度が零に近づくメカニズムです。固有振動数νが小さな振動子の1個当たりの平均エネルギーUも振動数νの減少(波長λの増大)と共に変化します。ε=hνに於いてν→0とともにε→0となるため、一項目目(1+U/hν)log(1+U/hν)と二項目目(U/hν)log(U/hν)の兼ね合いで、固有振動数が異なる振動子においても同じ1/T=dSν/dUν=(kB/hν)log(1+hν/U)の値を持つためにはνの違いに応じてUが変化しなければならないからです。実際、ν→0とともにU→kBTとなっていきます。そのとき、任意の振動数の単色輻射の単位振動数幅当たりのエネルギー密度は、同じ固有振動数の振動子が持つエネルギーにリンクしていたので、当然のことですが輻射の単位振動数幅当たりのエネルギー密度もν→0と共にkBTに比例する値に近づきます。これが輻射分布則公式における低振動数(長波長)側の単位振動数幅当たりのエネルギー密度が零に近づくメカニズムです。kBTではなくてゼロに近づくのは輻射の式ではkBTの前にν2が掛かっているからです[8.(5)[補足説明2]参照]。このように考えれば、“振動数に比例する”エネルギー量子の概念が、分布則のメカニズムに本質的な役割を果たしていることが解る。[補足説明6]プランクは1906年に出版した著書10.§150で、振動子エネルギーの位相空間に於ける楕円形の面積要素が互いに等しくなるように分けて、それらに等確率性を適用してエネルギー要素を導入しています。すれば“ウィーンの変位則”を引き合いに出さなくても、ε=hνが導ける事を説明しています。これは後に注目されることになる“断熱不変量の定理”を用いたエネルギーの量子化に繋がる着想です。これは朝永先生の参考文献16.§8で説明されている論法そのままでして、とても興味深いものです。実際、“ウィーンの変位則”をもっと一般的な“断熱不変量の定理”に焼き直すことにより、様々なエネルギーを量子化する一般的なやり方が発見されるのですから、この着想は重要です。(4)固有振動数νの1個の振動子が持つエネルギー(原論文6.、原論文7.§10、著書10.§152〜154)固有振動数νの1個の振動子のエントロピー表現式が確定すると、その振動子が持つエネルギーは直ちに求まる。これは7.[補足説明3]で説明した内容ですが、大事なところなので繰り返しておきます。置くことにしたのでとなります。[補足説明1]定常的な平衡状態では、どの振動子の温度Tも等しくなる。前節の[補足説明5]で説明したように、この温度が等しいと言うことを通じて他の固有振動ν’を持つ1個の振動子の平均エネルギーも定まります。それは上記の式のνを単にν’に変えればよいのです。それ故に“上記の式は“固有振動数を変数とした”振動子のエネルギー分布則を表している”と言っても良い。[補足説明2]固有振動νの振動子が、今考えている輻射場との平衡を考えている系の真空の箱の中に何個あるかは全く任意です。そのため固有振動数νの振動子の数がNνであるとすると、その全体が持つエネルギーはNν・U(ν,T)となります。数Nνに応じて変化します。それをすべてのνについて加え合わせたものが振動子全体が持つエネルギーとなります。[補足説明3]ここで[ν/Tが小さなとき]、すなわち固有振動数νが小さい振動子の絶対温度Tが高いときのエネルギー値を考えるととなる。これは、まさしくボルツマン統計力学における“エネルギー等分配則”にしたがって各振動子には固有振動数の違いにかかわらずすべての振動子にエネルギーが等分配されることを示している。このとき(1/2)kBTではなくてkBTとなるのは、ポテンシャルエネルギーも含むからである。このとき振動子の固有振動数νなどの振動子の性質には全く依存しなくなることに注意。[ν/Tが大きなとき]、すなわち固有振動数νが大きい振動子の絶対温度Tが低いときのエネルギー値を考えるととなる。温度が低くなると振動数νが大きな振動子には、同じ温度であっても、エネルギーが分配されなくなる。これは、固有振動数νが高い振動子が持つエネルギー量子ε=hνの大きさが大きくなるため、エネルギーをもらって保持することが困難になる(“縮退”する)ことを意味している。[補足説明4]エントロピー表現式において[ν/Tが小さなとき]となります。これは、7章で説明した低振動数の高温部における振動子のエントロピー表現式に一致します。そこでの定数Cはボルツマン定数kBであったことを思い出して下さい。これは低振動数の高温部の輻射場について正しい“レーリーの輻射分布公式”を与えたものです。[ν/Tが大きなとき]となります。これは4.(4)1.で振動子のエントロピー表現式として仮定したもので、振動数が大きくて温度が低いときの輻射場について正しい“ウィーンの輻射分布公式”を与えたものです。(5)輻射場のエネルギー分布(原論文7.§10、著書10.§152〜154)振動子のエネルギー分布則が解れば、3.(1)3.の成果を用いて、直ちに輻射のエネルギー分布則が求まる。ここも7.[補足説明3]で説明した内容ですが、大事なところなので繰り返しておきます。これらはいずれも“プランクの熱輻射公式”と言われる。いずれの式も単位振動数幅(あるいは単位波長幅)当たりの輻射強度あるいは輻射エネルギー密度の、振動数(あるいは波長)に関する分布関数です。[補足説明1]ここで特に注意して欲しいことは、前節で導いたU(ν,T)は固有振動数νの“1個の振動子”の持つエネルギーの平均値であり、それのνに関する分布則は、それぞれの振動数を持つ1個の振動数のエネルギー値を表している。ある特定の固有振動数の振動子系全体が持つエネルギーは、その固有振動数を持つ振動子が、その輻射空間の中に何個含まれているかによって異なります。これに対してこの節で導いたu(ν,T)は振動数νの単色輻射の“単位体積当たりの”エネルギー密度を表しています。そのとき、その輻射と平衡関係にある同じ固有振動数を持つ振動子が何個存在しようとその数には全く無関係であることに注意して下さい。輻射場が持つ振動数νの単色輻射の全エネルギーはその輻射が占めている空間の体積に関係するだけです。u(ν,T)は単位体積当たりのエネルギー密度ですから、その空間体積の広さには関係しないと言うことです。これはまさしく、高温・長波長の部分で成り立つ“レーリーの輻射分布公式”です。このとき、前節[補足説明3]で注意したように、振動子の場合であれば、kBTの意味をボルツマン統計力学における等分配則で解釈できるのですが、ここの輻射場に於けるkBTが何を意味するのかは全く明らかではありません。レーリーは1900年6月の論文で、kBTの前に掛かっている係数の意味を輻射場に於ける定常波モードの単位振動数幅(あるいは単位波長幅)当たりのモードの数と解釈して、それに等分配則で割り振られるエネルギー値kBTを乗じて分布則を導きました。その様な解釈は理解に苦しむもので、当時のプランクがレーリーの論文を知っていたとしてもとうてい納得できるものでなかったでしょう。[ν/Tが大きなとき]、すなわち絶対温度が低く、光の振動数が高い(短波長)ときの輻射場の強度分布とエネルギー分布はとなるのでとなる。これはまさしく、低温・短波長の部分で正しかった“ウィーンの輻射分布公式”です。[補足説明3]上記のν/Tについて両極端に極限移行したときの分布公式についての補足です。多くの教科書では“レーリーの輻射分布公式”はレーリーとジーンズが採用した手法で説明されています。輻射が存在する空洞内に於ける電磁波の定常波のモードを考えて、その各振動モードが輻射の取り得る自由度そのものであるとします。輻射の自由度(つまり定常波振動モードの一つ一つ)にボルツマンの等分配則を適用して輻射分布公式を導きます。プランクは、1906年の著書10.§165、166でレーリーの理論を吟味していますが、プランク自身このやり方には決して納得していませんし、私自身も納得できるものではありません。“ウィーンの輻射分布公式”についてですが、ウィーンは容器の中に気体分子と電磁波が閉じこめられており、その中の気体分子が黒体として電磁波を吸収・放出していると仮定した。「気体分子が放出する電磁波の波長と強度はその分子が持つ速度で決まる」と言うかなり恣意的な仮定をして、気体分子の速度分布から黒体輻射のエネルギー分布を導いた。ウィーンが行った仮定はかなり疑わしいもので、レーリーやプランクを含めて多くの物理学者が納得できるものではなかったのは確かです。それに対して、プランクの導いた結論は、“自然輻射の仮定”という解りにくいものを含んでいますがはるかに納得できるやり方によって導かれたものです。プランクの法則はν/Tが大きな場合も、小さな場合にも観測事実を正しく説明する分布公式を与えた。そのとき、この特異な分布則を導き出す原理が“振動数に比例するエネルギー量子の概念”だったのです。[補足説明4]<輻射エネルギー密度の波長分布><輻射エネルギー密度の波長分布>クールバウムとルーベンスがウィーン公式と観測値のズレを明らかにしたλ=2.4×10-5〜5.1×10-5mの波長領域を示す。プランク公式やレーリー公式ではエネルギー密度は絶対温度Tに比例して増大する。温度が高くなるほどレーリー公式とプランク公式の一致性は良くなる。ウィーン公式では温度が増大してもほとんど変化しなくなることが解る。<輻射エネルギー密度の振動数分布><輻射エネルギー密度の振動数分布>クールバウムとルーベンスがウィーン公式と観測値のズレを明らかにしたλ=2.4×10-5〜5.1×10-5mに相当する振動数領域を示す。9.実験との比較(原論文3.§25、原論文6.、原論文7.§11〜12、原論文8.、著書10.§138〜144・§155〜158)著書10.§138〜144で、プランクは[力学的熱理論の確率的考察(今から説明する)]を[電気学的熱理論に於ける確率的考察(前節まで説明したもの)]と対比させることで、普遍定数kBの意味を説明しています。“アボガドロ数NA”と“電気素量e”の値を求めることができます。この値こそが彼に自分の理論の正当性を確信させたものです。思い至った事情を推測する手がかりになる興味深い記述ですので、この内容を紹介することからこの章を始めます。(1)単原子理想気体のエントロピー(著書10.§138〜144)ここは、下記のボルツマン論文の内容をほぼそのまま単原子理想気体に適用したものです。形を明確に認識していたわけではありません。これはあくまでプランクが1900年の段階で提起した表現形式です。1.分布関数の実現確率kBの意味を明らかにする目的には特に単純な系について考察すれば十分です。そのためN個の同一種類の“単原子分子からなる理想気体”を考える。ここで空間座標(x,y,z)と速度成分座標(ξ,η,ζ)からなる6次元の位相空間を考える。その中の要素領域について、その状態要素dσ中に見いだされる分子の数をとおく。今後すべての要素領域dσはすべて同じ大きさであるとする。f(x,y,z,ξ,η,ζ)の最も実現する確率が高いものが、平衡状態における気体の状態を一義的にあらわす分布関数であるといえる。fはすべての領域で連続で微分可能であると仮定する。このすべての要素領域についての積分は系内に含まれる気体分子の全数とならねばならない。ここで重要なのは任意に与えられた空間・速度分布f(x,y,z,ξ,η,ζ)が実現する確率を求めることである。その確率の計算法が解れば、確率の最も大きくなる分布関数を探して、平衡状態において熱力学的に実現されている状態を決定することができる。この確率の計算法を考えるために、例えば10個の分子と7個の要素領域を考察する。このとき一つの分布状態は次の様な数の並びによって表される。これはと言うことを表している。このとき上記の並びをの様に表すこともできる。これはを意味している。この配置の実現確率W(または上記配列の可能な数)を求めるには、全分子数が与えられている条件の下で可能な重複を許す順列の数に等しい。ここで分子は全分子数の階乗であり、分母は各要素領域にある分子数の階乗を、すべての要素領域について求めて、その積を取ったものです。従って一般的な、与えられた空間・速度分布の実現される確率としてが得られる。こごて記号Πはすべての要素領域dσに於ける分子数(f・dσ)の階乗の積を表す。[これが一番重要なのですが、この稿ではこの仮説に関して深く立ち入らない。和Σはすべての要素領域dσにわたって取られる。ここで、(f・dσ)は大きな数であるから、その階乗にはStirlingの公式が適用できる。それは大きな数nに対してと近似できることでした。この式のnを(f・dσ)に置き換えたものを上式に適用するととなる。持つエントロピー表現式です。これは、4.(4)1.で仮定した振動子のエントロピー表現式や、7.章で求めた内挿式としての振動子エントロピー表現式と、非常によく似た形をしている。そのため、プランクはこの類似性から“振動子エントロピーの解釈”にボルツマン統計力学の“エントロピーの確率表現”を用いることを思いついたのではないかと推察されている。平衡状態に於ける気体のエントロピーは、体積Vが一定、全エネルギーUが一定、全分子数が一定の条件の下でエントロピーSが最大値を取る条件から求めることができる。気体の全体積はで与えられる。気体の全分子数はで与えられる。気体の全エネルギーは、分子の質量をmとするとで与えられる。これらの式より、全分子数が一定の条件はで与えられる。全エネルギーが一定の条件はとなる。平衡状態において、気体のエントロピーSが満たすべき条件は、V、U、Nが一定値として与えられた条件の下でとなることです。V、U、Nが満足すべき条件式の下で、上記の式を満たす関数f(x,y,z,ξ,η,ζ)を求めるには、変分法に於けるラグランジュの未定乗数法という数学テクニックが使われます。詳細は別稿「多変数関数の極値とラグランジュの未定乗数法」をご覧ください。いずれにしても上記の式の解は、αとβを二つの定数としてとなります。この式から明らかになることは、平衡状態では分子の空間的な分布は一様になり座標(x,y,z)に依存しなくなることです。関数f(x,y,z,ξ,η,ζ)はMaxwellの速度分布と言われるものになります。定数αとβは、N、V、Uの値から求められます。前記のf(x,y,z,ξ,η,ζ)の表現式をそれぞれの式に代入するととなります。この当たりの積分計算については、別稿の積分公式を御覧下さい。これらの式をαとβについて解くとが得られます。これを前出のエントロピー表現式に代入するととなります。5.熱力学関係式との対比ここで求めたエントロピーの表現形式は、最初に仮定したエントロピーと確率との関係式のみに基づいている。この中には、どこにも気体論の法則は用いられていない。)とどの様に対応するのかを調べることは重要です。熱力学に於けるエントロピーの定義式(熱力学第二法則)[この式の意味については別稿「絶対温度とは何か(積分因子とは何か)」を参照]から、直ちに以下の関係式が導かれる。上記式の第一項よりこれは、まさしく古典的統計力学に於ける“エネルギー等分配則”を表している。先に導入した定数βが絶対温度Tの逆数に比例する量であることが解る。これから、前述の分配関数はとなり、係数の確定した、温度の関数としての“Maxwellの速度分布則”が得られる。第二項よりがえられるが、これを理想気体で成り立つ“ボイル・ゲーリュサック・アボガドロの法則”と比較するとであることが導かれる。この関係式は9.(4)1.でボルツマン定数kBからアボガドロ数NAを求めるときに使います。(1983年刊)などに解りやすく説明されています。その中の§5-1〜§5-5が該当する部分ですから、ここのプランクの説明と比較してみて下さい。議論の仕方は微妙に違いますが同じことです。この当たりの説明でいつも思うのですが、最近の教科書における温度やボルツマン定数の導入は実に曖昧で解りにくいです。本来、絶対温度Tは熱力学的にしか導入・定義できないのですから、ここで説明したプランクのやり方がはるかに明快で解りやすい。王道に沿った議論です。(2)シュテファン・ボルツマンの法則とウィーンの変位則の導出(原論文7.§11〜12、著書10.§155〜156)1.シュテファン・ボルツマンの法則(原論文7.§11、著書10.§155)“プランクの熱輻射公式”から“シュテファン・ボルツマンの法則”が直ちに導けます。上記のエネルギー密度関数u(ν,T)を振動数νに関して0〜∞まで積分すれば、黒体輻射平衡にある輻射場の単位体積当たりのエネルギー密度が求まる。この結論を別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」2.(2)2.の“輻射場のエネルギー密度”についての表現式や、別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」2.(3)の温度Tの黒体の面要素dσからdt時間に真空の半空間のあらゆる方向に放射される“全放射エネルギーS”についての表現式と比較すると、それぞれの定数はとなります。別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」2.(3)では定数の意味は明らかではありませんでしたが、ここでより根源的な普遍定数kB、h、cに関係づけられた事になります。そのため輻射場のエネルギー密度uや、全放射エネルギーSが観測できれば、それらのデータにより普遍定数kBとhを決定することができる。2.ウィーンの変位則(原論文7.§12、著書10.§156)同様に“プランクの熱輻射公式”を波長で微分した導関数がゼロである条件から、“ウィーンの変位則”が直ちに導かれる。ウィーンの変位則は最大強度あるいは最大エネルギー密度を与える波長が温度に逆比例して変化するというものでしたが、それが成り立つ事を確かめるためには、分布曲線が最大値を取る波長(λmaxと置く)を絶対温度Tの関数として求めて見ればよい。いずれかを用いればよい。左の式を用いるとのような超越方程式が得られる。この左辺と右辺のグラフを描いてみるとの様になるので、解βは5に近い値であることが解る。これを求めるには数値計算で解けばよい。簡単に行うには例えばこのようにすればよい。上記の超越方程式はただ1つの確定した解を持つ。その為となり、別稿「ウィーンの変位則」5.(2)2.で求めた式が成り立っていることが解る。この式によって、それまでその意味が明らかではなかった、定数bが根源的な普遍定数kB、h、cに関係づけられたことになる。観測から求めれば、その値から普遍定数kBとhを決定することができる。(3)ボルツマン定数kBとプランク定数hの決定(原論文7.§11〜12、著書10.§157)プランクは、原論文3.6.7.の最後で、実験・観測値との比較から普遍定数kBとhの値を導きます。1898年]を用いている。100°C=373Kの黒体放射強度S373と0°C=273Kの黒体放射強度S273の差が7.31×102W/m2であることを測定した。この値を用いると前節の比例定数aはとなる。1900年]を用いている。当時、光速度はかなり正確に測定できていたから、結局の三式を連立させて解けば普遍定数kBとhを決定することができる。その様にしてプランクが得た値はです。これは5.(2)1.で説明した原論文3.ですでに得ている値に一致する。(4)アボガドロ数NAと電気素量eの決定(原論文6.、原論文8.著書10.§158)プランクは原論文6.の最後で、5.(2)1.で説明した原論文3.ですでに求めていた普遍定数aとbからボルツマン定数kB=b/aを求めて、“アボガドロ数NA”と“電気素量e”の値を導いて見せます。別稿「アボガドロ数の測定法」1.と6.でも注意しましたように、これらの値は精度に於いて他の測定法に約10年先行しており、偉大な功績です。1.アボガドロ数NA9.(1)で説明したように、平衡状態にある単原子理想気体の状態方程式に、ボルツマン統計力学のエントロピー確率表現式を適用するとが導かれます。気体定数Rは当時かなり正確に測定できていましたので、その測定値と前節で求めたボルツマン定数kBの値から直ちにアボガドロ数NAが求まる。2.電気素量e別稿「アボガドロ数の測定法」2.(1)で説明したように、電気分解に於ける[ファラデー定数F]と[電気素量e]と[アボガドロ数NA]の間にはの関係がある。ファラデー定数Fは当時かなり正確に測定できていましたので、その測定値と上で求めたアボガドロ数NAの値から直ちに電気素量eの値が求まる。この理論の実験的な検討については、当時はまだ非常に限られたことしかできなかったが、それというのも、そのためにとり扱えたのが定数kだけであって、しかもその値はたかだかオーダーがある程度知られていたにすぎなかったからである。(1877)]のだが、いまのそれは、その場合の様にグラム分子におけるにではなく、現実の分子に関するものである。従ってという比は、一グラム分子の質量を現実の分子の質量に換算する換算因子であって、ローシュミット数Lの逆数に等しい。1898]は6.5×10-10を見いだしていた。電気的要素量子のそれ以上の測定は当時まだおこなわれていなかった。以上の結果で私はある程度満足できたが、多くの物理学者の目には事情は当然別様に映った。熱輻射の測定から電気的要素量子を算定するといったことは、時として真面目に受取られさえしなかった。私はこのような疑惑によって、私の定数kに対する自信を失うようなことはなかった。(1908)]と知った時である。その後測定の方法が精密になって、この値は周知のごとく少しだけ大きくなった。これに比べて、最初はまったく宙に浮いていた、第二の定数hの値を吟味するという課題は、はるかに期待がもてぬもののように思われた。それゆえ、J・フランクとG・ヘルツが、電子の衝突によるスペクトル線の励起に関する実験で、これを測定するのにそれ以上直接的であることを望みえないほどの方法を見いだしたことは、私には大きな驚きであり、かっ喜びでもあった。これによつて作用量子の実在に関する最後の疑いもまた消え去ったのである。・・・”と言っている部分です。解説文12.の1.(4)で説明している部分です。[補足説明2]この稿で説明したプランクの理論には、正直なところ、私自身良く解らない所や納得できない所、またこの推論は本当に正しいのだろうかと思う所もあります。未知の領域を切り開いていく物理学の理論とは本来そのようなものかも知れません。その様なものだけれども以下のことは確実に言える。彼が提出した輻射法則は実験観測値と極めて良く一致した。実際、今日のより正確な多方面にわたる観測からも、その一致性は極めて高いことが解っています。一致したからこそ、次に述べるように正確なアボガドロ数や電気素量の値を求めることができた。輻射場の性質を温度の概念と結びつけて説明できたことも重要です。この章で説明したように、この輻射法則と実測値を比較することで求められたボルツマン定数kBとプランク定数hは、極めて正確なアボガドロ数NAや電気素量eの値を与えた。1900年当時までに測定されていたアボカド数NAや電気素量eの値はたかだかその位(10の指数)が確認できる程度だったのに、プランクの得たNAやeの値は(今日の値と比較しても)誤差数パーセント以下という驚くべき精度だったのです。このことこそが作用量子hとボルツマン定数kBが絡むこの理論展開の正しさを保障しているし、自然界に存在する特異なメカニズムの存在を示している。解説文12.や13.を読むとプランクの言いたいこともまさにこの点にあることが解ります。世にある解説書の中にはプランク自身はエネルギー要素の意味をつかみ切れていなかったとか、彼の理論にはいろいろな欠点があると指摘しているものもあります。原論文3.や6.の最後の部分を読めばプランクはhとkBの重要性をハッキリと把握しており、その意味を正確に理解していたことが解ります。これは正にプランクが最初です。実際、プランクは原論文3.§26や、文献10.§159で、これら二つの定数(kBとh)に光速cと万有引力定数Gを加えた4つですべての物理量を表現・測定できるとして“自然単位”の概念を提唱している[5.(2)2.参照]。)が同一の値を持つことになるであろうと言っています。この事からも、プランクが当初よりkBとhは極めて根源的な普遍定数であると認識していたことは明らかです。それ故に、プランクの発見は量子理論の嚆矢として高く評価されるべきものだと思います。10.まとめ後にプランクの輻射法則の別証明が様々提案されます。プランク自身もいろいろな別証明を示しています。それらは、それぞれ特徴はあるのですが、プランクの輻射法則がなぜ絶対温度に関係するのかを最も明確に示してくれているのは、この稿で説明したプランクが最初に用いたやり方です。他の方法ではその点が実に曖昧で絶対温度との関連性の見通しが良くありません。エントロピーこそ積分因子である絶対温度Tを正確に説明するものですから、このエントロピーを用いるアプローチこそ、輻射公式の絶対温度との関連性を一番明確に理解させてくれます。それだからこそ作用量子hを発見できたのではないでしょうか。この点に於いてこの最初の証明法はもっと評価されてしかるべきです。熱力学および統計力学」の序文で次のように述べている。“・・・プランクは、この概念(エントロピー)が一般に通用するものであるという確信を、つとにその博士論文の中でのべているが、この確信がプランクを1900年の彼の輻射則や量子論へ導いたのである。・・・”またエミリオ・セグレは彼の著書「X線からクォークまで」みすず書房(1982年刊)の第4章で次のエピソードを紹介している。ウッドがプランクに、いったいどうやって量子論のような信じがたいものを作り出したのかと尋ねると、プランクはこう答えた。「それはいわば絶望的な行為だった。6年間というもの、私は黒体の理論と取っ組み合っていた。この問題が本質的なものだということはわかっていたし、答えもわかっていた。そこで私は何を犠牲にしてでもその理論的な説明を見つけ出さなければならなかったのだ。神聖犯すべからざる熱力学の二つの法則だけはそのままにしてね。Press,1971),p23]熱力学の二つの法則は量子論の世界でも正しいものだったのですから、プランクの確信はまさに本物だったわけです。なかで次のように述べている。“・・・この問題にとり組むようになったとき、以前には好ましくないと感じられていた外的状況、すなわち私の切り拓いた方向に対して専門仲間が関心を持ってくれないということが、今やまさしく私の仕事を楽にする事情として、むしろ好都合になるように運命ははからった。いうのは当時、実験の面からも理論の面からも、正常スペクトルのエネルギー分布の問題には多くの優れた物理学者がとり組んでいたが、彼らはすべて輻射強度Kνを温度Tの函数として表現しようという方面でのみ研究していたのに対して、私はエントロピーSがエネルギーUに依存している点に、より深い関連を推定していた。エントロピー概念の意義が当時はまだ正当な評価を受けておらず、私の方法には誰も注意を払わなかったので、私は十分な時間をかけて徹底的に計算をやってみることができ、どの方面からも邪魔されはしないか、追い越されはしないかと心配する必要はなかったのである。・・・”これが文献3.と4.で報告されているもので、彼が真に正しい輻射公式を見いだすことを可能にした最も重要な考察です。重要な所なのに難解なので、ここを詳しく紹介している解説書はほとんどありません。原論文を読むしかありません。ここでWは、状態のしかるべく算定された確率を表わしている。この関係が実際に普遍的な意味をもつとすれば、エントロピーが加算量であるのに対して確率は乗算量であるのだから、定数kBはその単位にだけは依存するにしても、普遍定数でなければならない。それはしばしば、ボルツマンの定数と俗称されているが、ボルツマンがこの定数を導入したのでもなく、また私の知る限り、彼はその値を求めることにも思い及ばなかったということは、注意しておく必要がある。力学的な体裁をとりうるかどうかということだけであった。それゆえ彼はグラム原子のレベルで満足していたのである。文字kBは非常に徐々に一般の間に浸透していったのであって、それが導入されて数年後でも、なおそれの代りに、一グラム原子に相応する原子数であるローシュミット数Lで計算するのが普通のことであった。・・・”と述べている。ここが、彼が正しい輻射法則を量子論的に解釈することを可能にした方法で、もう一つの重要な考察です。こちらは多くの解説書で説明されています。熱力学および統計力学」講談社(1969年刊)§29で次のように述べている。“・・・ボツルマン自身は一度もこのような形[つまりS=kBlogeW]で公式を書いたことはなかったのだが、それはたいしたことではない。最初にこの式を書いたのはプランクである。定数kBを入れたのもボルツマンではなくプランクである。ボルツマンは単にSと状態確率の対数とが比例することを述べただけである。与え、定数kBを入れたのはプランクです。今日の量子統計力学理論の大半がこの関係式に基づいているのですから、プランクの考察がいかに先見性に満ちていたかが解ります。プランクの論文の至る所に出てきて、証明の中核をなすのがの関係式です。中の熱の移動量dQをエネルギーの変化量dUに変え、エントロピーSに前記の統計力学的な状態数Wを適用したものです。これは今日の熱・統計力学で最も重要な関係式ですが、当時この式の重要性を最も深く理解していたのはプランクだと思います。この関係式を用いて上式を積分するととなり、ボルツマンの原理となります。これこそ熱理論[つまり温度(エントロピー)と熱量の理論]と力学理論[つまりエネルギーと仕事の理論]を結びつける[つまり温度とエネルギーを結びつける]最重要な関係式ですが、これを一番最初に認識して導入したのはボルツマンです。前に記した式のの部分はボルツマンの原理そのものです。関係式を提起できたのでしょう。確かに、この形はプランクが文献10.の§134で述べているエントロピーが満たすべき形を満足している。実際のところ、我々がこの式S=kBlogeWを始めて学ぶとき最も理解に苦しむ所は“本来連続的な量であるはずのエントロピーSが単なる自然数の集合である状態数Wと単純に結びつけられるところ”です。このとき、高林先生が文献20.のp26で、いみじくも指摘されているように“・・・さて、エネルギーがε=hνによって「量子化」されたが、そのことによってWは実際に数えられるもの「自然数」となり、エントロピーもその対数の意味で「量子化」され、それはもはや付加定数をともなわない絶対的な量となったわけで、この点も重要である。・・・」ということに気付けば、量子化されて初めてエントロピーが単なる自然数Wに関係づけられ、克つ定数kBが確定した意味をもつことになったことが理解できます。ボルツマン定数kBは、新しい物理量である温度(これはエントロピーと共に導入された)を、それまでの長さ・時間・質量で定められた様々な物理量と結びつける根源的な換算定数となる。温度はエントロピーと共に導入されたのだから、エントロピーとそれらの古い物理量を結びつける換算定数と言っても良い。事実これらの関係式は量子論に於いても正しいものです。空洞輻射のなめらかな連続スベクトル分布[原子の線スペクトルではなく!]に関する一見複雑な統計力学的分析から初めて観測されたということは、一見不思議に見えるが、よく考えてみるとそうでないことをここで注意しておきたい。第一に、まだ原子の構造がわかっていないような時期にあって、この空洞輻射の問題は原子模型の特性によらないような、純粋で絶対的な[結局は輻射場自体の性質を反映するような]問題であり、輻射場の問題を原子構造の問題から分離することを可能にする問題であったということである。第二に「量子」というような新しい運動学にかかわる概念に達するためには、純粋の力学的問題の追及よりも、実際にプランクがとったように熱輻射というような問題について「熱力学」と「ボルツマンの原理」のような普遍的原理[たとえそれの力学的基礎が変革されたとしても、それ自身としては護持されるような]に対する強い信念をもって進むほうがより有効であったということである。・・・”それだからこそ、プランクがエネルギー量子を発見することができたのだと思います。輻射公式になぜ絶対温度Tとボルツマン定数kBが絡むのか?が説明されないと熱輻射論は絶対に理解できない。絶対温度Tは熱力学でしか導入できないし、エントロピーと密接に関係(もちろんkBも)している。プランクが行った絶対温度とエントロピーから入る考察は“王道”だった。王道であるが、絶対温度とエントロピーの概念はとても難しく大家と言われる人でもそれを正しく理解できていたのか疑わしい。1946年)」の中でキルヒホッフやアーレニウスといった大家でさえもエントロピー概念を正しく理解していなかったことを嘆いている。当時エントロピー概念を正しく理解していた科学者は少ない。関係式を認識できたのだろう。プランクのたどったこの王道はとても難解だから世の一般の教科書は避けているのですが、もっと紹介されても良いものだと思います。ここで最後のまとめですが、高林先生が文献20.のp27に書かれている内容の引用です。プランクの熱輻射分布公式(エネルギー密度に関して)はの形をしている。この中の三つの普遍定数c、h、kBを含む事は、それが[輻射場]の[量子論]的[熱統計]理論である事を象徴的に表している。このように波動場の量子力学に繋がるものが、量子論の最初に現れたことは驚くべき事である。これ以後、プランク自身を初めアインシュタインなどの人々によってこの公式の意味が繰り返し繰り返し問い直され、量子論の進展に何度も新たな示唆を与えることになる。量子論の以後の全展開はプランクの“魔術的な公式”から流れ出したと言っても良い。この大発見は、本人の思い及ばなかった遠大な展望を持っていた。11.参考文献プランクは共鳴子の集合と輻射場の間を行ったり帰ったりしながら彼の論理を展開します。彼にとってレーリーのような輻射場そのものの自由度を考えて、それに等分配則でkBTを割り当てるような解釈[これは1900年6月に出てくる]はとうてい納得できるものではなかったでしょう。実際の所、我々がレーリーの理論を初めて学ぶとき最も面食らうのは電磁波の定常波の一つ一つに統計力学の等分配則によってエネルギーkBTを割り当てるという考え方です。おけるエネルギー分布を旨く説明するのですが、プランクがたとえ知っていたとしても納得できるものではありません。ファインマンは文献17.§16-2で輻射場と熱平衡にある調和振動子(共鳴子)に等分配則でkTを割り当ててレーリー・ジーンズの分布則を説明していますが、これはプランクがエントロピーについての内挿式の高温・長波長領域での表現式を導くために、共鳴子にエネルギーU=C・Tを割り当てたことと同じです。この比例定数Cこそ、後にボルツマン定数kBに置き換えられるものです。低温・短波長領域におけるエネルギー分布の減衰曲線をかなり旨く説明するウィーンの分布則についても、そこに用いられている気体分子運動論的な仮定はとうていプランクが納得できるものではないのは明らかです。プランクには、初期状態に於いて任意の分布をしている輻射場を最終的に黒体(空洞)輻射のエネルギー分布に導くのは黒体(共鳴子)と輻射の相互作用であろうという考え方がありました。そのため、それらの相互作用の中にこそ黒体輻射のエネルギー分布を説明する鍵があると考えたのですから、最後まで共鳴子を使って論じるやり方を捨てきれなかったのでしょう。プランクが輻射公式を証明してしばらく経った1920年の段階では、電子を含む物質はhνの固まりの状態でエネルギーを光りとやりとりすると言う考え方は確立していました。当時においても、固まりとして物質とやりとりされるエネルギーhνを、光そのものがどんな形で保持しているのかは全く明らかではありません。これは1920年の解説文12.の最後の所でプランク自身が述懐しているところです。hνが光のエネルギーだと言っても、当時波であると考えられていた光[これはヤングやフレネルによって比較的近年(1820年ころ)に取り上げられた考え方]の取り得る状態というものが何か解らないと、それがなぜプランクの輻射法則のような数の分布になるのか全く明らかにはなりません。光を粒子(光子)と捉える考え方[粒子説はアインシュタインが初めて唱えたのではなくて、ニュートン以来の長い歴史があります]では、レーリーのような定常波の存在数で取り得る状態を数えてhνを与えることはできないのも明らかです。最初から光を波として習う我々は、アインシュタインの光量子仮説は革命的であると教えられますが、“光は粒子である”とする考え方自体はもともと古くからありました。多くは光は粒子だと考えていた。考えた方が何光年もの彼方からやってくる光が我々の所に届くわけを理解しやすい。波では薄まってしまって本当に地球まで届くのか疑問です。19世紀後半に確立したマックスウェルの電磁気学による光の波としての説明がとても旨く成功して、光はほぼ波であろうとの認識が確立したのが19世紀末の状況でした。実際、光が電磁波の一種であると言うことが明らかになったことはどんなに強調してもしすぎることが無いくらいの大発見であり、大成功を収めた理論だったのです。そのため、当時の物理学者にとって、ほんの数十年前まで光が粒子なのか波動なのかは論争の的で最大の謎だったことは周知の事実です。プランクも光が絡む現象を深く考えたときに粒子的な考え方と波動的な考え方の齟齬に苦しんだと思いますが、マックスウェルの電磁気学の成功を良く理解していたプランクが、今更光の粒子説に後戻りできるはずは無かったのも確かです。プランクが原論文1.や2.で拠り所としたヘルツの理論などは、まさに当時の最新鋭の理論だったわけですから。結局、光は粒子でもなく波でもないのですから、プランクのように光と相互作用する振動子のエントロピーとエネルギーを使って考えるしか無かったのでしょう。行けば一部を除いてほとんどを無料でダウンロードできます。有料でダウンロードできます。