NOフレーム版プランクの熱輻射法則(1900年)熱輻射法則を見つけるためにプランクが利用した方法は以下の着想に基づいています。熱輻射もまた熱力学第二法則を満たしていること、たとえば異なった温度の物体が相互に行う輻射放出は常にその温度を均質化する向きに起こるであろうこと、は常に成り立つとして良いであろう。キルヒホッフは物体の輻射能、吸収能についての理論を、この法則によって基礎づけている。シュテファン・ボルツマンの法則やウィーンの変位則もこの法則に基づいて導かれたものです。そのためここで考察する熱福射の分布則も、おそらく熱理論の第二法則を輻射熱に適応することで解決されるであろう。これがプランクが追求した方法です。彼は[熱力学におけるエントロピーの概念(熱力学第二法則)を輻射場に適応して、エントロピーについての深い考察から熱輻射の観測値を旨く説明する内挿公式を見つけた]。その公式を、[ボルツマンの統計力学に現れるエントロピーの表現形式を自分流に書き換えたもの]と[ウィーンの変位則]を用いて、解釈し直すことでエネルギー量子ε=hν(作用量子h)を発見したのです。このページは、プランクの解説文12.と13.を導きの糸にして原論文1.〜9.と著書10.と11.を参考にしながら、彼自身がたどった発見への過程を紹介するものです。解説文12.と13.を常時参考にされながらお読み下さい。1.線型振動子の振動方程式(原論文1.と2.、著書10.§104〜111)プランクは上記の指針に従って研究に着手したのですが、その前提として輻射熱の放出と吸収の現象を電磁的な成り行きとして理解することが必要であると考えました。熱輻射線の放出は、物質原子で構成される何らかの要素的な振動子(共鳴子)によって送り出される電磁波であり、輻射熱の吸収とは上述の共鳴子に当たる電磁波によって引き起こされる共鳴振動であると理解して良いであろうとして、その様な共鳴子と電磁波の相互作用の考察から始めた。この章は参考文献に揚げたプランクの原論文1.と2.、および著書10.の§104〜110で説明されているもので、H.Hertzの偉大な研究「Maxwell理論による電気的振動の力」(1889年)に基づいています。電磁気学」§19,§36を参考にして球座標・MKSA有理化単位系に直しています。熱輻射論の重要な問題は、黒体輻射のエネルギースペクトル分布を導き出すことです。これはウィーンの変位則で未知のままに残されていた関数F(ν/T)を見いだすことです。そのときの出発点はキルヒホッフの法則です。それによると、「鏡のように反射する壁によって囲まれた真空は、その中に任意の放出吸収物質が任意の配置でおかれているとき、時間を経ると黒体輻射の定常状態になる。それは一つのパラメーター温度によって完全に決められ、物体の配置や性質には依存しない。黒体輻射の性質を調べるためには、真空中に存在すると仮定される物体がどんな種類かということはどうでもよく、任意に選ばれた特定の放出・吸収系に対して、完全な安定性によって他と区別される輻射状態を示すこに成功しさえすれば、その状態こそ黒体輻射といえる。」この法則によって保証される無拘束性を利用して、すべての放出・吸収系の中で最も簡単な系、すなわち静止したある一つの振動子を選ぶ。それは反対符号の当量の電気を帯びた二つの極から成り、それらは固定した直線上を互いに振動運動する。運動は本来三次元的なものであるが、空間的な運動を互いに垂直な直線成分に分解すれば一成分の運動に限って扱うことができるであろう。そのため以下の状況を考察する。(1)線形振動子(著書10.§104〜105)任意の電磁波に満たされた真空中に線形(z軸方向にのみ振動する)の電気的共鳴子が存在しており、その固有振動数は共鳴子の一次元の大きさに比べて十分大きい波長の光の振動数νに対応しているとする。その振動の振幅は定常電流の抵抗とか、共鳴子内部で作用する摩擦のようなものではなくて、ただ周囲の空間に輻射としてエネルギーを放出することによってのみ減衰するものとする。プランクは輻射場の中へ、これといくらか作用し合う一次の振動子を入れた。それは決まった固有振動数ν0を持つヘルツ双極子で、その大きさは問題とする波長よりも十分小さいとした。この振動子の状態は、そのモーメントf(t)=[軸の正方向にある極電荷:e]×[極間距離z]、及びその時間微分によって完全に決められよう。そのとき振動子のエネルギーは力学的考察からであろう。ここでKとLは振動子の性質に依存する正の定数である。ここでエネルギーが保存される場合にはdU=0となるのでなる微分方程式を満足することになる。この解はよく知られているようにとなるるここでCおよびθは積分定数、ν0は振動子の固有振動数と言われるものです。これは、周囲の電磁場に影響されず、また周囲に輻射線を放射しない場合の解です。[補足説明1]ここで振動運動の一般的考察から運動エネルギーと位置エネルギーの時間的平均値は等しいと考えられるのでが言える。これらの関係はこういったタイプの振動について一般的に成り立つ。[補足説明2]プランクはできるだけ一般的に議論するために、K、L、f(t)を用いて論じていますが、最も簡単な場合にはK=k/e2、L=m/e2、f(t)=e・zとすれば良い。kはバネ定数、mは質点の質量、eは質点の持つ電気量です。2.で論じたものに他なりません。この簡単な場合では、[補足説明1]の内容は次の関係を意味する。運動エネルギーと位置エネルギーの時間的平均は等しいのでとなる。(2)電磁波の放射がある場合の運動方程式(著書10.§106〜109)Maxwell理論によると、電荷を持った振動子は、その振動のためにあらゆる方向に球面電磁波を送り出す。それは別稿「線型振動子による電磁波の放出」2.(3)で求めたように、球座標の(r,θ,φ)の位置での電磁波の強度はとなる。ここでrは振動子と放出された電磁波を観測する点の距離、cは光速度、ε0は真空の誘電率、θは動径ベクトルrが振動子の軸(z軸)となす角です。ヘルツベクトルp(t)は、ここでの表現式f(t)に置き換えてある。Poyntingの定理に従うと、dt時間に球面要素dσ=r2dΩ=r2sinθdθdφを通って外に流れ出るエネルギーはとなります。従って、全球面(φ:0〜2π、θ:0〜π)について積分するとであるから、t〜t+Tの時間に振動子から流出する全エネルギーはとなる。エネルギー保存原理によると、T時間に放射されるエネルギーは、同じ時間に生じる振動子の振動エネルギーUの減少に等しいのでとなり、非線型の微分・積分方程式が得られる。このとき1.(1)[補足説明1]で説明した事実を用いるととなるが、ここでと置くと、このσは1より極めて小さな値となるのでとなる。σが1より極めて小さな値となることは次節の[補足説明2]で確認します。対して成り立つ振動子の運動方程式とすることに対して、必ずしも明確な根拠があるわけではない。この稿での議論を検証する物理的測定は、最も精密なものでも常に1振動周期の間隔に比べて著しく長い時間間隔で行われる。そのため、もともとの微分・積分方程式に矛盾しないf(t)についての微分方程式なら、いずれも振動子に対して許される振動法則を与えると考えても良いであろう。用いて議論を進めることにする。よる電磁波の放出」4.(2)1.の(34)式と同じになります。kはバネ定数、mは質点の質量、eは質点の持つ電気量です。よる電磁波の放出」4.(1)で用いたものと同じです。σ<<1の仮定は、1振動周期程度の時間間隔では振動がほとんど減衰しない事を意味します。解としてはの形のものが考えられる。これ微分方程式に代入するとなるωの三次方程式が得られる。このωの方程式は一つの正の実根と二つの複素数根を持つ。第一の正の実根は関数f(t)が時間と共に途方もなく大きな値になるので物理的に何ら意味を満たず省略して良い。従って複素根のみに着目して、改めてと置いて上式に代入するとの二式が得られる。第二の式よりとなるので、これを第一の式に代入するととなる。ここでであるが、σが小さい数であることを考慮して三次方程式の係数値を比較すると、実根αはαの高次の項を省略したの解と考えて良い。この様に近似できる事は[補足説明3]で確認します。ここでαは負の値であることに注意。これを前記のβ2の式に代入するとが得られる。このαとβを最初の式に代入して、定数項ω’を適当に調整するとが得られる。従って振動子はその振幅をわずかずつ減衰[t〜1/α経つと1/eになる]しながら角振動数βで振動する解が得られる。振幅Cと位相定数θは初期条件に依存する。式の形から明らかなように振動数はの関係がある。これは1.(1)で述べた非減衰振動の場合と同じなので、そこで説明し振動子の固有振動数ν0に関係づけられる。なりσとν0と関係づけられる。エネルギー定数KおよびLの代わりに振動子の固有振動数ν0と減衰係数σを用いると、振動子の解はとなる。この式から1.(2)で導入したσは次の様な物理的意味を持つことが解る。時間が1振動周期=1/ν0経つと振幅がe-σ倍に減少する事を意味する。そのためこのσの事を今後対数的減少率と呼ぶことにする。1振動での減衰率e-σの自然対数を取り符号を変えたものがσだからそう名付けたのです。この事から、以前設定したσが小さい[ゼロに近い]と言う仮定はe-σがほぼ1に近く、1振動周期程度の時間では振幅の減少はわずかである事を要請した事と同じです。実際この事は次の[補足説明2]で確認される。最後にK、Lとσ、ν0の関係を導いておく。よる電磁波の放出」4.(2)2.で得られものと同じになります。kはバネ定数、mは質点の質量、eは質点の持つ電気量です。これらの値を用いれば対数的減少率σはと表されます。なることが確認できます。4.や別稿「線型振動子による電磁波の放出」4.(3)で出てきたρに相当します。ここで振動子の固有振動数ν0が光の青色可視光(λ=4×10-7m)程度と仮定できる場合、ν0=c/λ=3.0×108m/s÷4×10-7m=7.5×1014Hz/sとなりますので、σν0はとなります。σν0自体はかなり大きな値(〜108程度)です。そのため強制力が働かない自由振動の振幅は電磁放射でエネルギーを失ってかなり短い時間(σν0の逆数〜10-8秒程度)で1/e倍に減衰してしまいます。振動子が1振動する時間は1/ν0〜10-15秒程度ですから1/e倍に減衰するまでに莫大な回数の振動をしています。そのため1振動周期(〜10-15秒)程度では振幅はほとんど減衰しないと言って良い。このときν0〜1015Hz/s程度ですからσ自体は10-7程度になり1に比較して極めて小さな値になります。そのため1.(2)でσに対して行った仮定の正当性が裏付けられます。ここで説明したの関係は今後の議論で重要になりますので注意して下さい。[補足説明3]上記の値を用いるとαの三次方程式を求めるとき設定した仮定の正当性が評価できます。三次方程式の係数のオーダーはそれぞれとなります。そのためαの高次の項は省略できて、αの一次の項と定数項から−α〜108/s程度が得られたのです。(著書10.§111)これまでは、外からの作用がなく、任意に与えられた初期振動が自然に減衰していくような振動子を考察してきた。これからは振動子が電場中に存在するために振動子に強制力が働く場合を考える。この場合、1.(2)で考察したエネルギー方程式は拡張されて、振動子のエネルギーUは、電磁波によるエネルギー放射の他に、外部電場が振動子にする仕事によって変化することになる。ここでEzは振動子の場所での外部電場の強さ、すなわち振動子がなかったらその場所に存在するであろう電場の強さのz成分です。外場のその他の成分は振動子の振動になんら影響を与えない。このとき振動子のエネルギーUは時間要素dtに外から成された仕事の量だけ増大するから、十分長い時間間隔Tに振動子よって吸収されるエネルギーはとなる。これを追加したエネルギー方程式から導かれる運動方程式はとなる。ここで定数K、Lを定数ν0、σで表すととなる。与えられた初期条件と外部電場の強さEzを用いて振動子の振動関数f(t)が計算される。解が求まれば、振動子の外部電磁場への反作用も決めることができる。それは、振動子の外部でもともと与えられた電磁場成分と振動子によって放出される球面電磁波を単純に重ね合わせたものによって、あらゆる時間における状態が一義的に決められるからです。よる電磁波の放出」3.(2)1.で考察した運動方程式と同じであることが解る。“容器に囲まれた空間を満たしている全く任意のエネルギー分布の輻射が物質(振動子)との相互作用を通じて、どの様な仕方・どの様な過程によって熱力学的な平衡状態に移行していくのか?”という不可逆な過程に適用します。それは、容器の中に閉じこめられた気体が初め任意に与えられた流れ(任意の速度分布)と温度差のある状態から除々に静止した等温状態における速度分布に移行する過程を明らかにするのと同じことです。プランクは、その過程を調べれば、エントロピー極大に対応する状態のエネルギー分布として黒体輻射のエネルギー分布則が導かれるのではないかと期待するわけです。(1)振動子の方程式(原論文3.§1、著書10.§108〜111)ここでは場所的にも時間的にも任意に変わりうる輻射場の中に存在する振動子(共鳴子)を考察する。輻射場は可能なすべての方向に空間中を横切る輻射線によって満たされているとする。このときエネルギー保存原理により振動子の持つエネルギーUのt〜t+Tにおける変化分について次のエネルギー方程式が成り立つ。は時間Tの間に振動子から外部へ放出されるエネルギーを表す。振動子のエネルギーはで表される。右辺第1項は振動子のポテンシャルエネルギー、第2項は運動エネルギーを表す。これから得られると、以前説明したを用いると、前記のエネルギー方程式からが得られる。これが前章で求めた運動方程式です。整理すると下記の様になる。]とt=0に対する初期条件によって決められる。:時刻tでの線形振動子により表される電気的双極子。:真空中を伝播する波によって振動子の位置につくられる電磁場の強さの振動子の軸方向の成分。:共鳴子の固有振動数。今取られている前提からすれば1より非常に小さなゼロに近い値です。:真空の誘電率(ここではMKSA有理化単位系を用いている)を表す。ここで別稿で説明したように、[エネルギー保存則(エネルギー方程式)]、[エネルギーの表現式]、[運動方程式]は同等な内容を異なった形式で表している。上で説明した様に一方から他方を導くことができる。そのため、この三つの形式を同等と見なして今後の議論を進めてゆく。(2)振動子の振動(原論文3.§2〜5、著書10.§175〜177)1.励起振動をフーリエ積分表示した場合の振動解(原論文3.§2〜3、著書10.§175)励起電磁場には様々な振動数の電磁波が含まれるので、有限な時間間隔(例えばt=0〜T)に対して、励起振動Ez(t)は次のように書かれるであろう。ここで、Cν(正)及びθνは正の積分変数νの関数であり、その値はt=0〜Tを越えてそれ以前の過去の状況に依存する。Ezの角振動数に対する振幅の分布が時間的にどの様に変化するかは後ほど示される。このとき、1.(3)で説明したようにt=0における初期状態に依存する解は、Tを十分大きく取ってσν0・Tが1より十分大きくなるようにすれば、ゼロに減衰する。そのため今後Tとして振動子の初期状態(t=0に対する)をまったく度外視しうるほど十分大きな値を取ることにする。解としての形が考えられる。このように考えるのは微分方程式が線形だから励起振動Cνcos(2πνt−θν)の部分の解を考えて、それらをνに関して積分すればよいからです。この形の解を励起振動Cνcos(2πνt−θν)の微分方程式に代入するととなる。ここで任意のに時間tに対して上式が成り立つためにはcos(2πνt−θν)の項の係数とsin(2πνt−θν)の項の係数がそれぞれ独立に0とならなければならないのでが得られる。そのため振動方程式の一般解としてが得られる。ここでCνは励起振動Ezの振動数ν成分の振幅です。微分方程式が線形だからそれらの各励起振動に対応する解の重ね合わせ(dνでの積分)で表現できるわけです。決めておくことにする。σが小さいので、νがν0より少しでも小さくなるか大きくなればcotγνの値は、正か負の大きな数となる。従ってν=ν0のときγν=π/2となるが、νがν0から少しでも小あるいは大のいずれかに外れると角γνは0かあるいはπに近い値なる。それはフーリエ積分の指数νが振動子の固有振動数ν0に近いときのみsinγν/ν3はゼロと異なる値になり、それ以外ではほとんどゼロと考えて良いことを意味する。そのため、多くの場合で積分量νをν0によって置き換えることができる。以下ではしばしばそれを使用するであろう。5.の議論とほぼ同じですのでそこの議論とδのグラフを参照されて下さい。そこでのδがここでのγ、そこでのρはここでのσ・ν0に相当します。ω=2πνですが、減衰項が時間の一次微分から三次微分になっていることに伴う表式の違い(ν/ν0だけ)がありますので、その点に注意して比較してみて下さい。2.励起振動の強さ(原論文3.§4、著書10.§176)時間tの関数としての励起振動の強度Jは、t〜t+τまでの時間間隔におけるEz2の平均値のε0倍として定義される。ここで、τは時間Tと比べてできるだけ短く、しかし振動子の固有振動周期(=1/ν0)に比べて常に長くとる。τをあまり短く取ると平均値としてのJの値を決めることはできない。そのような場合に励起振動の強度を問題にすることはできない。振動強度の振幅は1振動程度の時間間隔ではほんのわずかしか変化しないので、τをそれよりも十分長くとり、時間Tよりも短く取れば時間tにのみ依存するEz2の平均値があるような過程として考察できる。今後一般解にふくまれるCνはν0に比べて低いνのすべての値に対しては無視できるほど小さいとする。固有振動の振動周期よりも長い周期の励起振動は含まれないとする。励起振動の強度Jを計算するために前節のEz(t)のフーリエ積分表示からEz2をつくり、この値の平均値をtについてt〜t+τまで積分してτで割り、τを十分小さくして極限移行することによって決める。得られるが、νとν’を交換しても積分記号のもとで関数は変わらない。従ってと決めて積分し、それを二倍する。上で行った仮定によると、ν0に比べてνが小さい場合にはCνはゼロと見なせるので、上の式のνもν’もν0と同じかあるいはそれ以上の大きさと見なすことができる。ここで、τをどんどん短くしていっても、ν0τは十分大きい値であるという条件に従って、第1項の分数分母の(ν’−ν)τはτの減少とともに有限の値以下に低下しうるが、第2項の分数分母の(ν’+ν)τはτが減少しても大きな値のままにとどまる。従って(ν’−ν)が十分小さな値のとき積分は第一項のみが残る。そのときsinπ(ν’−ν)τ/π(ν’−ν)τ〜1と見なせるのでとなり、実際にはτには依存しなくなる。(ν’−ν)が大きな値(時間と共に速く変化する)のときに対応する二重積分の残りの項は一般にτに依存する。強度Jがτに依存しない為には第二項は消えねばならない。その場合にも残る第1項についてはをν’の変わりに第二の積分変数として用いるととなる。これにより、励起振動の強度Jは時間の関数としてFourier積分の形に表される。3.急速に変化する量とゆるやかに変化する量(原論文3.§5、著書10.§177)もともと励起振動の強度Jの時間的変化はEz(t)の振動自身よりずっと緩やかに変化すると仮定している。実際、前節のJの計算式に於いて任意のCνとCν’の組みに対して平均を取るときのν・τやν’・τは大きく、それに対して(ν’−ν)・τは小さい。そのときはなおさらのこと小さいのだから。そのためEz(t)とJ(t)は時間的にまったく異なった仕方で変化する。そのためEz(t)と微分方程式で結びつけられている振動子の振動を表す関数f(t)のように“速く変化する”量と、J(t)や振動子のエネルギーU(t)のように“ゆるやかに変化する”量は明確に区別されねばならない。Uの値については後で計算するが、上記の量の時間的変化における違いは相対的なものです。J(t)やU(t)の時間微分の大きさは、時間単位の大きさに依存し、これを適当に選べば任意に大きくすることができるからです。従ってJ(t)やU(t)が絶対的な意味で時間的にゆっくり変化する関数であると決めつけることはできない。時間的にゆっくり変化するという言い方は、関数Ez(t)やf(t)の特異的な振る舞いに対しての相対的な意味で使われる。θνの指数νへの依存性については絶対的な意味で“速く変化する”特質を持つことが必要です。μがνに対して小さくとも、θν+μ−θνの差は一般に小さくはないことが必要だからです。θν+μ−θνの差がいつも小さなものであればAμとBμが特別な値を持つことになるからです。(∂θν/∂ν)・νは大きな数であることが必要で、この事が満たされれば、時間単位を変えたり、時間の出発点を移動しても、以下の議論に根本的な変化を生じることはない。位相定数θνや振幅Cνがνの変化に対して“急速に変化する”ことは、決まった振動強度Jが存在するための必要条件です。(3)振動子のエネルギー(原論文3.§6〜7、著書10.§178〜179)前節で速く変化する量とゆるやかに変化する量の違いについて注意したが、今後はもっぱら、ゆるやかに変化する量について考察する。それは光学や熱輻射の問題に於いて実験的に測定できるのはゆるやかに変化する量についてのものだからです。ここではゆるやかに変化する量のなかで最も重要なもの[振動子のエネルギー]と[振動子によって放出されるエネルギー量]、[振動子によって吸収されるエネルギー量]を計算する。1.振動子のエネルギー(原論文3.§6、著書10.§178)振動子のエネルギーは2.(1)で述べたようにポテンシャルエネルギーと運動エネルギーからなる。そのときKとLに付いての関係式とf(t)の関係式を用いると両方のエネルギーの時間的平均は同一であることが解る。そのためと書くこともできる。このとき、振動子のエネルギーは“ゆるやかに変化する量”としてt〜t+τの間の時間平均として表されるのであるが、その計算は2.(2)2.でEz2の時間平均を求めたのとまったく同様なやり方で行えばよい。f(t)とEz(t)は、振幅の違いを除くとまったく同じ形をしている。そのためそこで求めたEz2の時間平均の計算結果のCνを(3ε0c3Cνsinγν/4π2ν3)で、θνを(θν+γν)で置き換えればよい。そのとき、μがνに比べて小さく、積分にはνがν0に近いような項のみが著しく考慮されるということ(ν0/ν〜1)を用いるととなる。これはさらに次のように書くこともできる。ここでCνもθνも絶対的な意味でνとともに“速く変化する”。あるからγνも絶対的な意味でνとともに“速く変化する”。それ故に、たとえμがνに比べて小さくとも、角γν+μをγνにほぼ等しいと置くことはできない。μがσν0と同程度もしくはそれ以上の大きさのときにはそうはならないからです。2.共鳴子によって放出されるエネルギー(原論文3.§7、著書10.§179)振動子によってdt時間に放出されるエネルギー量は、“ゆるやかに変化する量”として、2.(1)で説明した量のt〜t+τの時間平均を取ったもの、すなわちのdt倍とすればよい。上記の平均操作は、2.(2)2.でEz2の時間平均を求めたのとまったく同様なやり方で行えばよい。(d2f/dt2)とEz(t)は振幅の違いを除くとまったく同じ形をしている。そのためそこで求めたEz2の時間平均の計算結果のCνを(3ε0c3Cνsinγν/ν)で、θνを(θν+γν)で置き換えればよい。するとここで、Uのt〜t+τの時間平均値の表現式と比較して最後の表現が得られる。ν〜ν0の近似を用いている。[時間要素dt内に振動子によって放出されるエネルギー]は、[振動子のエネルギーU]、[振動子の固有振動数ν0]、[対数減衰率σ]に比例する。3.共鳴子によって吸収されるエネルギー(原論文3.§7、著書10.§179)振動子によってdt時間に吸収されるエネルギー量は、“ゆるやかに変化する量”として、2.(1)で説明した量のt〜t+τの時間平均を取ったもの、すなわちを計算することで求めることができる。ここではすでに計算したUの結果をエネルギー保存則に適用することで求めよう。エネルギー保存則によれば、時間要素dt内に振動子によって[吸収されるエネルギー]はその時間要素内に[生じたエネルギーの増加dU]と[放出エネルギー2σν0Udt]の和に等しいのでとなる。この式に於いてもμとσ・ν0の比が任意に大きい場合でも、小さい場合でも取り得ると考えなければならない。(4)励起振動の強さのスペクトル分解(原論文3.§8〜10、著書10.§180〜182)これまでの議論に現れたエネルギー量の内、我々が直接測定できるのは[励起振動の強さJ]と[振動子のエネルギーU]のみである。このとき、この両者の間に成り立つ関係式は一般的に簡単なものではない。振動子のエネルギーUは励起振動Ezの全体の強度Jによるばかりでなく励起振動Ezのスペクトル分布特性にも関係しているからである。そのため、励起振動の性質を知るには、励起振動の各スペクトル領域と様々な振動子との相互作用をさらに詳しく調べる必要がある。このとき、振動子が受け取るエネルギー量こそ励起振動の強さそのものである。1.振動数νの励起振動の強さJν(原論文3.§8、著書10.§180)全強度Jに含まれる一定の振動数νの強度Jνを次式で定義する。このときJνは、振動数νの共鳴子が励起振動Ezのもとで取り入れるエネルギーによって測定・定義される。このときJνは変数νとtに関して“ゆるやかに変化する量”と考えることができる。このとき、振動Ezによって励起される振動子のエネルギーは、その固有振動ν0のみならず、その減衰係数σにも依存する。そのため、強さJνの測定に利用される振動子の減衰係数σを適当に選ぶことも重要です。振動子が、励起振動スペクトル分布の有限の幅に対しててはなく、ある一定の振動のみにはっきり反応するためには、その対数的減少率σが小さくなければならない。5.(3)や別稿「線型振動子による電磁波の放出」4.(3)で議論した減衰項ρを意味し、ρは共鳴振動の波長変化の半値幅を与えるので、上記の事情を満たすためにはσν0はかなり小さな値でなければならない。1よりも十分大きく無ければならない。σが極端に小さい場合、振動が弱まるのに長い時間かかり、そのような振動子は、これを励起する励起振動(時間と共に変化する)との同一時刻性を規定できなくなり、過去の励起振動場のスペクトル分布の様子にも依存するようになるからです。そのとき振動子のエネルギーは強さJνそのものではなくて、Jνの比較的長い時間間隔の平均値で表現される。以上の事情を考慮して、励起振動Ezの解析に使うすべての振動子の対数的減少率σνは、1よりも非常に小さいが、σν・ν0は1よりも十分に大きくなるようにする。σν・ν0はすべてのμ=ν’−νに対しても大きくなるようにする。この事はよりμがνより小さいので常に可能です。この当たりについては1.(3)の[補足説明2]を参照。すれば、解析の対象となる1個の振動子(固有振動数ν0)の状態は、励起振動の同一時刻の性質によって完全に決定される。そのとき、振動子は励起振動の強さのゆらぎすべてを時事刻々に体現・表示すると言って良い。前節の最後で求めた、振動子によってdt時間に吸収されるエネルギー量の表現式に於いて、σの変わりにσ0(添え字0は固有振動数ν0の振動子に関する減衰率という意味)と置けば、ここでの仮定はμの因子を持った項はσν・ν0の因子を持った項に比べて無視して良いほど小さいこと意味する。この事はまた、振動子によって吸収されるエネルギー量は、その瞬間の振動子のエネルギーUに比例することを示している。この事は振動子の状態が、励起振動の同一時刻の性質だけに依存している場合のみ可能である。これまで説明してきた前提のもとに、励起振動全体の強さJに含まれる振動数ν0の強さ(これを簡単にJ0で表す事にする)を求めよう。振動数ν0の励起振動の強さJ0こそ、固有振動数ν0の振動子によって吸収されるエネルギー量に他ならない。このエネルギー吸収量は上に述べたように振動子のエネルギーUに比例するのだから、2.(3)1.で求めたUの表現式を用いると、振動数ν0の励起振動の強さJ0は時間tの関数としてが得られる。ここでκ0はν0に依存しており、今から決定しなければならない比例因子です。ここでは、σはσ0に、γν、γν+μはδν、δν+μに置き換えてある。ここでμ=ν’−νがσν・ν0に比べて小さいからδμ+ν=δνと置けてとなる。比例因子κ0は[Jνの定義式]と[上式のJ0表現式]及び[2.(2)2.で求めたJ表現式]から求まる。ここで、σνは1よりも非常に小さな値だから、積分記号中の関数の値はν0がほとんどνに等しいようなものだけを考慮すればよい。置けるので上記の積分はとなる。従って、振動数ν0の強さJ0は次のようになる。一般にAμ0とBμ0の値はまだσνに多く依存するであろうから、確定的な意味に於いて振動数ν0の強度J0について言うことはできない。ここで、先の議論の為に以下の仮定をする。各振動数νは、測定に用いられる量σνに無関係な、時間と共に“ゆるやかに変化する”一定の振動強度Jνをもつとする。その振動強度については2.(2)2.で導入した条件が満たされて、励起振動Ezの全体の強さJはの関係を満たすとする。2.自然輻射の仮定(原論文3.§9、著書10.§181)ここまでの議論で、“速く変化”して直接測定することが不可能な励起振動Ezを分析して、測定可能な振動数νの振動強度Jνの和で全体の強度Jを表すことが可能になった。“速く変化する”励起振動Ezに付いてハッキリと解ったと言える性質はほとんど無い。関数Cνやθνはνに依存するがその実態については未知のままである。ここでさしあたり、時間tの“ゆるやかに変化する”関数である振動数ν0の強度J0を測定することにより知ることができる“速く変化する”量Cνおよびθνについての性質についてまとめておこう。前節に出てきた式のAν0とBν0はすべてのμの値に対して測定可能と考えられる。ここで仮にと置けるとする。ここAν0とBν0は測定可能な“ゆっくり変化する”量であったが、“速く変化する”量である左辺が、その“ゆっくり変化する”量にその変分として“速く変化する”量ξやηとの和で表されるとするのです。ξやηはνおよびμの“速く変化する”関数です。その様に置けるとするととなる。ここでを考慮するととなる。従って前記の式が成り立つためにはでなければならない。変分としてのξやηの時間的平均はゼロになると言うことです。ここでの計算に於いて、sinδν/νはνがν0にごく近い所を除いて極めて微小である事実を用いて積分を実施している。結局のところ、量Aν0は“速く変化する”量ε0Cν+μCνsin(θν+μ−θν)の、ν0に近いνに対する、“ゆるやかに変化する”平均値を表す。同様にBν0は“速く変化する”量ε0Cν+μCνcos(θν+μ−θν)の平均値を表す。ここで振動数ν0、減衰度σνの振動子の研究にもどると、励起振動Ezの振動子へ及ぼす影響を計算するためには、一般に平均値Aν0とBν0についての知識では十分ではなくて、量Cνおよびθνを知る必要があることが、直ちにわかる。実際、振動子のエネルギーUは、その表式から解るように、Uの値はνがν0に近いときのε0Cν+μCνsin(θν+μ−θν)およびε0Cν+μCνcos(θν+μ−θν)の値をそれぞれ与えることができて初めて正確に計算される。言いかえれば、励起振動に含まれる振動数ν0の強度J0はたとえそれがあらゆる時刻について知られいていても、一般にその振動に当たった振動子のエネルギーUを決定しない。第二の方法で行くしかないことを示唆する。その仮説は、いま最も手近でおそらく唯一の可能なものとして導入され、以下の議論でのすべてで保持されることになるものす。その仮説とは前記の式により振動子のエネルギーUを計算するとき、係数aμおよびbμの値を与える積分において、“速く変化する”量ε0Cν+μCνsin(θν+μ−θν)およびε0Cν+μCνcos(θν+μ−θν)の代わりに、“ゆるやかに変化する”それらの平均値Aν0およぴBν0を用いることができる。従ってJ0からUを計算するという課題は測定によって確かめることができる完全に定まった解を得る。上記の仮説が適合するような輻射を“自然輻射”とよび、上記の仮説を“自然輻射の仮定”と呼ぶことにする。自然輻射の仮定とは結局のところ、測定不可能な“速く変化する”量であるε0Cν+μCνsin(θν+μ−θν)、等々の、測定可能な“ゆるやかに変化する”平均的な量Aν0、等々からの変分が完全にアトランダム(不規則)に起こるとすることと同じです。3.拡張された理論の基礎方程式(原論文3.§10、著書10.§182)前節で導入された仮説に従って振動子のエネルギーUを計算するときのdνに関する積分係数はとなる。ここで、σが小さく、一般的にμが最大でもσν0と同じ大きさの程度か以下であるからとおける。[補足説明]正直なところ、ここの式変形が旨くたどれないのです。cos(γν+μ−γμ)もsin(γν+μ−γμ)も、こことは少し違った形になると思うのですが、後の式変形を考慮して、その当たりは積分変数μの任意性に負わせてあえてこの形にしたのかも知れない。たしかにその様にすることは可能だとは思うのですが?このことを考慮すると、いままで何度か考察してきたのと同じように考えて初等的な積分操作を実施するとが得られる。これを代入するととなる。したがって、dt時間に振動子によって吸収されるエネルギーはとなる。ある[時間要素dt内に振動子によって吸収されるエネルギー]は、[励起振動に含まれるその固有周期の強度J0]、[その対数減衰度σ]、[光速度の3乗c3]に比例し、[振動数ν0]に反比例する。ここで求めた吸収エネルギーの値を2.(3)3.のエネルギー方程式に代入するとが得られる。振動子の固有振動数ν0に対応する励起振動の強度J0が時間の関数として与えられるとき、振動子のエネルギーUの計算に用いることができる。関数U(t)およびJ0(t)はもはやFourier積分によって表される必要はないから、今後2.(2)1.で導入した問題にする時間間隔についての制限をとりはらうことができる。一般解は同次微分方程式の解に定数変化法を適用することで求めることができる。同次微分方程式の解はである。このとき、Cは定数であるが、これをtの関数としたとき非同次微分方程式の特解が得られるか試してみる。あるから、これらを前記の非同次微分方程式に代入するとが得られる。ここでさらにJ0が時間に依存せず一定のときにはt’に関する積分は簡単に実行できてが得られる。一定の照射の場合、[振動子のエネルギーU]は[励起振動に含まれる振動子の振動数に一致する部分の強度J0]と、[光速度の3乗c3]に比例し、[振動数の2乗ν2]に反比例する。このとき[減衰係数σ]には依存しなくなることに注意。ここまでの議論で[振動子のエネルギー]と[励起振動の強度]との関係を確立することができた。つぎに成すべき事は、[励起振動の強度]と[周囲の場に満たされているエネルギー輻射]との関係を導くことである。3.エネルギーの保存(原論文3.§11〜16、著書10.§183〜186)この章から、振動子を取り囲む電磁場における過程の考察に移るのですが、これから先の議論では第2章で導いた結論を至るところで用いる。そのとき輻射場のすべての場所、すべての時間に対して2.(4)2.で導入した“自然輻射の仮定”が満たされているとする。したがって、今後は振幅や位相によって計算する必要はなく、その代わりに強度、エネルギーといった[2.(2)3.の意味で]“ゆるやかに変化する”量だけで計算すればよい。以下で用いる空間要素や時間要素の意味もまたこの意味で理解すべきである。これらの要素は、考察する空間や時間の大きさに対して十分小さく、しかしそれでもなお考察する波長や振動周期に比べれば大きいような量と考えねばならない。今後、考察している空間を囲む容器壁の曲率は考察の対象としているすべての波長よりも大きく、完全に反射する静止した壁でできているとする。そのため今後は壁における屈折の現象は無視でき、壁は直線的に進行する輻射でくまなく照らされているとする。(1)振動子のエネルギーと輻射強度(原論文3.§11〜13、著書10.§183)1.一定方向と振動数と偏光を持つエネルギー輻射の強度と励起振動の強度の関係(原論文3.§11、著書10.§183)真空中の一点における電磁場のエネルギーの空間密度はMaxwellの電磁気学によるととなります。ここで、ここで、Ex2、Ey2、Ez2に上横棒を付けた量は電磁場の各成分の二乗の時間的な平均値であり、EやHそのものの時間的な変化に比べて時間的に“ゆるやかに変化する”量と考えることができる。点Oに前章で考察した共鳴子が1個存在すると仮定し、その軸をz軸に取る。そのとき共鳴子を励起する輻射の振動の強さはです。以下でこの値を算出することにしよう。この目的のためには共鳴子の位置Oを通る単色の輻射線の“偏光”にも考慮しなければならない。以下の議論は別稿「偏光とは何か(光の強度と偏光)」6.(1)の図と説明を参照しながらお読み下さい。そこの図の(r,π−θ,φ+π)の位置にある面積要素dσ’から来て、(θ,φ)方向に点Oを通過する輻射線に着目する。この輻射線の強度は一連の単色輻射線に分かれる。各振動数に属する輻射線の強度は、楕円偏光の主強度RとR’を用いると下記の様に表される。ここでは[主値R’に属する偏光面]が[輻射線方向とz軸(振動子の軸)を通る平面]となす角をωとしている。下図の楕円偏光を表す面は、上図の光線の進行方向に垂直な二つのベクトルeφとeθが構成する平面に平行でしかも原点をとおる平面内にあるとする。上記の楕円偏光を示す図のx’軸を前図のeφ方向、y’軸を−eθ方向にに取ると、前記の球面座標図のz軸成分のみが共鳴子を励起する輻射となるので上記楕円偏光のy’軸成分(Rsin2ω+R’cos2ω)のみが残る。[補足説明]プランクはHベルトルの方向で偏光面を定義していますが、ここではEベクトルの方向を偏光面としている。ここで採用している楕円偏光を表す図(上図参照)は、古典光学で採用されている向かってくる光線を見て描かれている図であることに注意されたし。ポインティングの定理に従えば、[真空中の直線偏光した輻射線の強さ]は[電場の二乗平均]したものをc・ε0倍したものに等しい。したがってここで考察している輻射線の電場の二乗平均はとなり、励起振動の強度は、この球座標に於けるz軸方向の成分の二乗平均である。ところで振動子の位置に於ける電場の方向とz軸の成す方向は角(π/2−θ)をなす。そのため電場のz軸に沿った方向の成分は輻射線に垂直出会った電場の成分のcos(π/2−θ)=sinθ倍したものになるので、二乗平均であることを考慮しすると振動子を励起する輻射の強度はとなる。振動数および立体角のすべてについて積分すれば、求めるべき励起振動の強度が得られる。