前述したとおり、短冊に分割した計算の結果は分割数を増やすほどこの値に近づく。よって表したものと見ることができる(掛け算の記号は普通は省略される)。差(つまり区間の幅)の極限を示唆したものということになる。リーマンの積分法には区間の制限や連続性の要求などからくる欠点があったことを契機として、新たな積分の定義が考え出された。ルベーグ積分は非常に柔軟な方法で「測度」の概念を拡張する方法に基づくものである。なるような関数値の分割から得られる重み付き和を示唆するものである。微分幾何学で考察される「多様体上の微積分」には、微積分でよく使われている記法に別な解釈を与えることができる。}として述べることができる。ストークスの定理からグリーンの定理、ガウスの発散定理および微積分学の基本定理が導出できる。新しいところでは、超準解析のような新しい現代的な手法を通じて、無限小が厳密な意味を持って再登場している。これらの方法は黎明期の直観を正当化するのみならず、新たな数学を切り開くものとなった。これらの積分の概念の間には差異はあるけれども、多くの部分では重なっている。楕円形の水泳プールの表面積は、プールを幾何学的に楕円として扱って、無限小の和あるいはリーマン積分やルベーグ積分として計算しても、微分形式を備えた多様体として計算しても、結果として得られる値は皆同一である。厳密な定義[編集]積分のきちんとした定義は様々な仕方があり、それらの全てが同値なわけではない。異なる定義が用いられるのは、その殆どが別な定義では積分が定義できない特別な場合に別な扱いを与えるためであるが、それだけでなく時に教育上の理由が介在することもある。広く用いられる積分法はリーマン積分とルベーグ積分である。