一意性はガウスの『算術研究』(1801年)で最初に証明された[1]。『算術研究』でガウスが基本定理と呼んだ定理は「平方剰余の相互法則」のことである[2]。素因数分解され、素数の順序を無視して、これ以外の素数の積として表すことはできない。つの部分からなっていることに留意すべきである。分解の存在は比較的素直に示せるのに対して、一意性の証明はそれよりも多少高度な論証を要するからである。いずれか一方を割り切る[6]。エウクレイデス、『原論』第7巻命題30を用いることが多い。素数の積としての順番を考慮しないのは、自然数が積に関して交換法則と結合法則を満たすことによる。通常は見易さを考慮して、素因数を最も小さいものから順に並べる。以外の任意の整数は、素数と単数の積として因子の順番の違いを除いて一意に表される」である(この意味において「整数に対して算術の基本定理が成立する」と言うことができる)。同様の主張はもっと一般の環などにおいても(成り立つか成り立たないかを考えることができるという意味で)意味を持つけれども、必ずしも成立はしない。外部リンク証明編集ユークリッドの『原論』の7巻に実質的な証明が書かれている。すべて合成数は何らかの素数に割り切られる。エウクレイデス、『原論』第7巻命題31すべての数は素数であるかまたは何らかの素数に割り切られる。エウクレイデス、『原論』第7巻命題32完全な形での証明はガウスの『算術研究』におけるものが最初であると考えられている[1]。それは現代的な言葉で書けば以下のようになる。」の存在を仮定すると、自然数の整礎性により、そのような数には最小の数(最小の反例)があるはずである。素数の積で表せることとなり、矛盾する。この補題はユークリッドの補題と呼ばれる。存在が示される(この等式はベズーの等式と呼ばれる)。割り切ることが示される。割り切ることが示せる。qsと異なる「素数の積」に表されるとする。通りの表示を考えたことに反する)。素数は整数論の世界の原子のようなものだから、整数を素数の因子に分解すれば必ず同じ「原子」が検出されるのは、ほとんど自明なことのように思える。原子とは、分割不可能な要素だと定義されている。整数の分解が2通りのやり方でできたとしたら、分解できないはずの原子を分割したことになってしまわないだろうか?しかし、ここで化学とのアナロジーですべて考えるのは、誤解のもとだ。素因数分解の一意性がそんなに自明でないことを理解するために、ここで次のような整数の部分集合を考えてみよう。...等々、これは、4の倍数に1を加えた形になる正の整数の全体である。した数同士を掛けても同じ性質が保たれるので、このタイプの数を同じタイプより小さな数を掛け合わせて合成することができる。形をした整数全体の集合は積という演算で閉じている。そこで、ふつうの整数の世界で素数を考えたのと同様のやり方で、「擬素数」というものを定義しよう。擬素数とはこのタイプ数であって、同じタイプのより小さな数の積としては表せない数のことである。あるが3はリスト外の数である)。このタイプの数も、必ず擬素数の積の形で表すことができるのは明らかである。これら擬素数がこの集合の「原子」に相当するにもかかわらず、ここでは少し奇妙なことが生じる。と2つの異なる方法で分解できてしまう。33および77は、すべてここでいう擬素数である。素因数分解の一意性は、このタイプの数の体系に関しては成立しないのである。でない元は、素元および単元の積として一意的に表される」となるのが自然である(「素元」は素数の一般化であり、「単元」は考えている範囲の数の中に逆数があるということの一般化である)。ここで「仮説」としたのは、定理の主張が意味を持つ同様の代数系(環やモノイド)の中にも、算術の基本定理が成立しないものがあるからである。それ自身は素数ではないけれども、整数の範囲で逆数を持つ(実際、自分自身が逆数になる)から、「整数の範囲でも算術の基本定理は成り立つ」というふうに言うことができる。ほかにもユークリッド整域や主イデアル整域ならば、このような形で算術の基本定理を一般化したものが成立する。一般に、算術の基本定理が成り立つ環を一意分解環という。一般に、分解の一意性のほうは成り立ちにくい性質である。個の素数の積」と見なすという規約を設けることも多い[4]。含めた全ての自然数について算術の基本定理が成り立つと述べることができる[5]。このような規約は最大公約数の計算においてもしばしば有用である。これが定理の証明において、鍵となる補題である。ガウス以前には長い間自明のことと見なされていた[要出典]が、一般の代数体ではこの事実は成立しない。