_{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)}が成立する。integral)など。x^{2}}.\end{aligned}}}これらの極限値が有限値に定まるとき、広義リーマン積分可能であるという。広義リーマン積分可能でなくとも極限のとりかたを限定するとき極限値が有限確定に存在することがある。近づきかたにより値が異なるため、広義リーマン積分可能でない。x}\right)=0}となる。このように上下から同等の速さで特異点に近づける極限で現れる値をコーシーの主値という。区間以外の積分領域を考えることもできる。_{E}f(x)\,dx}で表す。ベクトルなどである場合を考えることができる。フビニの定理によれば、そのような積分が逐次積分(累次積分)として書けることが示される。重積分は座標ごとに順番に積分して計算することができる。三重積分としても求められる)。同じことはさらに変数の数を増やしても成立し、積分は高次元の超体積を表すことになるが、三次元より高次元の場合は視覚化は困難である。直方体の体積は以下の二通りの方法で求めることができる。_{D}5\,dx\,dy}は所期の直方体の体積を与える。_{2}^{6}5\,dx\,dy}のことと読み替えることができる。関する積分を先に行う。計算する方法などで求めた後は、得られた結果を残りの変数に関して再び積分すれば、底面と上面に挟まれた領域(つまり所期の直方体)の体積が求められる。_{\text{cuboid}}1\,dx\,dy\,dz}としても所期の体積が計算できる。線積分は曲線に沿って元を足し合わせる積分の概念はもっと一般の積分領域にも拡張することができる。曲線や曲面を積分領域とする積分は、それぞれ線積分や面積分と呼ばれる。これらはベクトル場を扱うような物理学に応用を持つ。線積分は曲線に沿って評価された関数の積分である。線積分にも様々なものがあり、特に閉曲線に関する線積分を周回積分などとも呼ぶ。積分の対象となる関数はスカラー場であるかもしれないし、ベクトル場であるかもしれない。線積分の値というのは、曲線上の各点における場の値に曲線上の適当なスカラー関数(普通は弧長、あるいはベクトル場に対しては曲線における接ベクトルとの内積)を重みとして掛けたものの和である。この重み付けこそが、線積分と通常の区間上で定義される積分とを区別するものである。物理学における簡単な公式の多くは、線積分を用いることで自然に連続的な類似対応物に書き換えることができる。面積分は曲面を微小な面素に分割して足し合わせることの極限として定義される。面積分は空間内の曲面の上で定義される定積分で、線積分の二次元的な類似物である。積分される関数はやはりスカラー場かもしれないしベクトル場かもしれない。面積分の値というのは、曲面上の各点における場の値の総和であり、曲面を面素に分割することによって得られるリーマン和の極限として構成される。与えられる状況を考えればよい。通過する流体の量として定義される。適当な向きの単位法ベクトル場)。この例における流体の流束は、水や空気の流束あるいは電束や磁束といった物理的なものを想定することができる。このように面積分は物理学、特に電磁気学の古典論に応用を持つ。微分形式は多変数解析や微分幾何学およびテンソル論などの分野で用いられる数学的概念である。現代的な意味での微分形式は、その全体が外微分と楔積に関して(エリ・カルタンの導入した意味での)外積代数を成すものとして理解される。dx^{m}}のように書く(上付きの数字は単に添字であって、冪指数の意味ではない)。リーマン和のように積分についている符牒ではなく、それ自体を形式的な対象として扱う。これらはそれぞれ余ベクトル(1-形式、双対ベクトル)として捉えられ、「密度」を測るものと考えることができる(したがって一般の意味で積分することができる)。dx^{a}=0}を満足するものである。これはまた、楔積を取った結果が向きを持つことを保証するものでもある。よる重み付けを行った重み付き和をいう。0-形式の全体がとれる。k-形式の楔積を線型に拡張したものとして自然に定義できる。等しいことが交代性から従う。