定積分は、そのグラフによって囲まれる領域の符号付面積として表すことができる。calculus)は、微分法と共に微分積分学で対を成す主要な分野である。xy-平面の領域の符号付面積として定義される。f(x)\,dx}のように書く。積分法の原理は17世紀後半にニュートンとライプニッツが独立に定式化した。微分積分学の基本定理の発見により、それまで全く別々に発展していた積分法と微分法は深く関連付けられることになる。_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}で与えられるというものである。して積分と微分が微分積分学の基本的な道具となり、科学および工学において様々な応用が成された。微分積分学の創始者たちは、積分を無限小の幅を持つ矩形の無限和と考えたが、数学的に厳密な積分の定義を与えたのはリーマンである。その定義は、曲線で囲まれた領域を薄い短冊に分解して領域の面積を近似する限定的な手順に基づくものであった。19世紀に入ってから、より洗練された積分の概念が現れ始め、積分が行える領域や関数の種類が一般化されていく。平面や空間の二点を繋ぐある種の曲線で置き換えるものになっている。同様に面積分は曲線ではなく三次元空間内の曲面を考えることで得られる。微分形式の積分は現代的な微分幾何学において基本的な役割を演じる。これらの積分の一般化はもとは物理学の要請から生じたものであり、多くの物理法則(特に古典電磁気学の諸法則)の定式化に重要な役割を果たした。これらを含め、現代的な積分の概念は様々に存在する。流布している積分論は、ルベーグの創始した、ルベーグ積分と呼ばれる数学的な抽象論であろう。exhaustionibus)などのいくつかの技法に求めることができるだろう。取り尽くし法はある領域の面積を無数の三角形で覆い尽くすことによって求めようとするものである。古代ギリシャでは、三角形を最も基本的な図形と捉えていたため、このような三角形による求積法が盛んであった。放物線(古くは抛物線とも)がある弦によって切り取られる面積を計算するような場合でさえ、いくらやっても三角形で覆い尽くすことはできないため、実際にはほとんどの領域で無限和の計算をすることになる。式の論法によりこの問題を回避したようである。時代が下り、17世紀になってライプニッツとニュートンらにより微分法が発見されると、極めて技巧的な手段に頼っていた求積法は、原始関数と微分積分法の基本公式による一般的な方法で解かれることになる。18世紀にはベルヌーイらやオイラーなどによる無限小解析の発展・整備によって計算技巧は大いに発達したが、19世紀に入るとフーリエ級数の厳密な研究などを通して、初めて積分自体の意味を問わなければならない状況が生じるようになった。実際、積分の厳密な定義は、リーマンによって論文「任意関数の三角級数による表現の可能性について」(1854年)の中で最初に与えられた。20世紀に入ってすぐ、やはりフーリエ級数についてなど様々な解析学上の問題に刺激されて、ルベーグは、面積や体積とは何かということに就いて深く考察することにより測度論を展開し、現在ルベーグ積分論と呼ばれているものをつくった。リーマン積分可能な関数(ただし広義積分は含めない)はルベーグ積分可能であるという意味では、ルベーグ積分はリーマンのそれの一般化になっている。ルベーグが測度論を用いて展開したルベーグ積分は、彼の測度論がもつ極限との親和性と抽象性から、確率論、ヒルベルト空間論、調和解析など極めて広範な応用をもち、これらは物理学や工学などで基本的な道具として用いられることとなる。ルベーグ積分以後もさらなる一般化がされた積分法がいくつか存在する。導入[編集]積分は実用上の様々な状況に現れる。水泳プールが矩形状で、底面が平坦かつその長さ幅および深さが分かっているなら、プールに張ることのできる水の体積やプールの表面積やプールの縁の長さを容易に求めることができる。プールが卵形(楕円形)の丸い底面を持つ場合には、そういった量はどれも積分を用いる必要を生じる。実用上はこういった自明な例では近似法を用いれば十分であるかもしれないが、例えば(任意の領域の)精密工学ではそれらの要素の厳密値そのものが要求されることになる。個の■は左上の点を標本点として下からの評価を与える。{x}}\,dx}で書き表す。実際には積分の真の値はこれよりも小さい。0.7497.}のように得られることになる。合わせた場合の、それらの矩形の面積の和は同様の計算で近似値が0.5497となる。値に隣り合う分点の差を掛けたものを無限個足し合わせることになる点に注意すれば、分点の数をどんどん多くしていくのは容易である。して分点がどんどん近くなるような刻み幅にしていくとしてもそれは真の値になることはない。なりその差分はより小さいものが得られる。鍵となる考え方は、分点の差に関数値を掛けて「無限個」足し合わせるということを、無限に細かい(あるいは無限小の)刻み幅に関数値を掛けた足し合わせに読み替えることである。「実際の積分計算」に対しては、ニュートンとライプニッツによる微分積分学の基本定理(微分と積分の基本的なつながりを示す定理)が利用される。