ルベーグ測度などはそう)を考える。そのような測度に関する積分は、コンパクト台付き連続関数の積分からはじめるような別な定義の仕方ができる。具体的に述べれば、コンパクト台付き連続関数の全体はベクトル空間を成し、自然な位相を入れることができて、その空間上の任意の線型汎関数を連続にするような(ラドン)測度を入れることができる。従って、コンパクト台付き函関数における測度の値はその関数の積分によっても定義できる。そこからさらに測度(=積分)をもっと一般の関数へ連続性によって拡張して、指示関数の積分として集合の測度を定めるのである。取ったやり方であり、また他にも一定数の文献がこのやり方をしている。詳細はラドン測度の項へ譲る。使ったリーマン積分の拡張。'(x)dx}の形になる。(x)}であり、ヨハン・ラドンが詳しく調べた。ダニエル積分ダニエル積分は積分を線型汎関数として定義する。これは測度の概念を必ずしも必要としないにもかかわらず、ルベーグ積分やルベーグ=スティルチェス積分を含む広範な積分概念を与える。近づけたときの対応するリーマン和の極限として定義されるが、リーマン和の取り方や分割の幅の縮めかたを変えることによってさまざまな積分を定義でき、このように定義される積分をリーマン型積分という。マクシェイン積分、ヘンストック・クルツヴァイル積分などのゲージ積分がリーマン型積分である。表現論の周辺分野でよく用いられる、局所コンパクト群上で定義される不変測度(ハール測度)に関するルベーグ式の積分。上の不変測度としてルベーグ測度をとった不変積分である(この場合の不変は平行移動不変性を指して言う)。_{a}^{b}f\,dx}はこのベクトル空間上の線型汎関数になる。_{a}^{b}g(x)\,dx}のように、線型結合の積分が積分の線型結合として表されることを言っているものである。満たす)ものとして、抽象積分を定義することができる。元)であるような関数全体の成す部分空間を考えても、線型性は保たれる。複素ヒルベルト空間であるときである。線型性に、何らかの自然な連続性と、ある種の「単純な」関数のクラスに対する正規性とを併せて考えることにより、積分の別な定義法を与えることができる。上の実数値関数の場合の)ダニエル積分があり、またブルバキにより局所コンパクト位相線型空間に値をとる関数にまで一般化されたものがある。自体が存在しないのでそのままではリーマン和も考えることができない。_{b}^{a}}であるものとすることがしばしば行われる。いずれであるかに関わらず成立する。