variety)は、最も簡略に言えば、多変数の連立多項式系の解集合として定義される図形と述べる事が出来る。代数幾何学の最も主要な研究対象であり、デカルトによる座標平面上の解析幾何学の導入以来、多くの数学者が研究してきた数学的対象である。基礎付けがあたえられたが、20世紀後半以降はより多様体論的な観点に立脚したスキーム論による基礎付けを用いるのが通常である。本項では、スキーム論的な観点に立ちつつ、スキーム論を直接用いず代数多様体を定義しその性質について述べる。代数的閉であるという条件を除去するために必要な考察についてはスキーム論へ向けてを参照)。初等的に定義される代数多様体は、アフィン代数多様体である。i)\}}で定義する。既約であるといい、既約なアフィン代数的集合をアフィン代数多様体という。した場合、アフィン空間はユークリッド空間になるので、アフィン代数多様体はその閉集合となり、普通の意味での位相空間となる。上ならばリーマン面)になっている(陰関数定理)。この位相空間は一般にコンパクトにならない。と1対1に対応している。この代数関数論から、より高次元の代数多様体を考えるにあたっては代数多様体としてはコンパクトなものを考え、その上の関数としては有理型関数あるいはコンパクトなもの同士の間の正則写像を考えると都合が良い、という教訓が得られる。この要請を満たす代数多様体は射影空間の中で定義される射影代数多様体として実現できる[1]。なるかどうかは点を表す斉次座標の表示の仕方(定数倍の差異)に拠らずに定まっている。i)\}}で定義できる。アフィン代数多様体の場合と同様に、真に含まれる射影代数的集合の和として書けない射影代数的集合を射影代数多様体と呼ぶ。x_{n}))}の商体として定義する[2]と代数関数の場合の適切な一般化になっている。(x_{1})[x_{2}]/(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1)}となる。}^{1}}は本質的に同じ図形と見なされるべきである。}^{1}}と自然な1対1の対応がある[3]ので、「同じ」代数多様体として見なすべきである。射影代数多様体はその定義からつねに、「入れ物」の射影空間があって初めて定義されるが、多様体そのものの内在的性質を知るには入れ物によらない定義が必要である。これが、一般の代数多様体をアフィン代数多様体の貼り合わせとして定義し、それらの間の(代数的な意味での)正則同型(より一般に正則写像)を考える考え方へと導く。}^{1}}と自然な1対1対応ができないので、代数多様体として同一視する事が出来ない。このように一般に代数多様体として同一視できない(正則同型でない)2つの代数多様体が、同型な関数体を持つときがあるが、このとき、2つの代数多様体は双有理同値であるという。高次元代数幾何においてはこの双有理同値の概念は不可避でありまた非常に重要でもある。本節の内容については体上有限生成環の理論も参照。「概説」の節で述べたアフィン代数多様体の定義を、多項式環のイデアルの観点から整理すると以下のようになる。既述の意味でのアフィン代数的集合になる。}\right)}となることは容易に確認できる。_{k}^{n}}には、代数的集合を閉集合とする位相空間の構造が入る事を意味している。このようにして定まるアフィン空間の位相をザリスキー位相という。空間としてのアフィン代数多様体は既約な代数的集合として定義されることは前節でも述べた。アフィン代数的集合(特に、アフィン代数多様体)にはアフィン空間の部分空間としての位相を入れる。S\}}は多項式環のイデアルになる。大きなイデアルになる。x_{n}-a_{n})=I(\{p\})}の形に書ける。代数的閉体上の多項式環の極大イデアルは、アフィン空間上の点全体と1対1に対応している。空集合にならない[4]。{I}}}がわかる(体上有限生成環の理論参照)。と1対1の対応にある。このことからアフィン代数多様体は多項式環の素イデアルと1対1に対応している事がわかる。