この定義には、解決すべきいくばくかの問題がある。複素数体であるときの代数多様体は、滑らかな点(定義後述)の周りで複素多様体になるが(陰関数定理)、代数多様体としての次元の定義が複素多様体の次元の定義(すなわち、接空間のベクトル空間としての次元)と一致するかという問題である。この問題は上記の直感的説明を厳密化することで解決できる(次節接空間と滑らかさ参照)。ひとつの問題は、上の次元の定義は一般のスキームには拡張不能であるということである。ネーター次元を定義し、上記の次元の定義がネーター次元と一致することを説明する。アフィン代数多様体の座標環(あるいはアフィン代数多様体が定義されるアフィン空間に対応する多項式環)はネーター環であるので、このイデアルの昇鎖は有限の長さで止まる。(ネーター)次元という。可換環論(体上有限生成環の理論)によれば、アフィン代数多様体のネーター次元(すなわち、対応する座標環のクルル次元)は関数体の超越次数と一致することが知られているので、このことから、一般の代数多様体のネーター次元が上記の次元の定義と一致する。生成されているとする。