このようにいくつかの要素が減ったり増えたりしています。これらの現象のメカニズムを明らかにしたいわけですが、どのような背景が読み取れるでしょうか?そのための道具についての章です。三角関数という追いかけっこ三角関数は次のように書き表します。\]グラフを描いてみることにします。データを扱うフリーソフトR(“あーる”)を使って、作図してみます。Rのダウンロードは簡単です。このサイトから、コンピュータのOSに合わせてダウンロードして指示に従ってクリックするだけ。ウイルスなど危ないこともありません。"l")xが減るとそれを追いかけるようにしてyも減り、xが増えるとyも後を追う、というように見ることができる。yの値とxの増減(微分)、xの値とyの増減(微分)との間の関係を言葉で表したものであって、数式では以下のようになる。\]因果関係と微分方程式~力学系2つの要素が相互に働きかける関係が三角関数として表現され、2行の微分方程式(連立微分方程式)になっていました。三角関数は「負の値」を取りますが、自然界ではすべてのものが「正の値」になることも多いです。したがって、生命現象で登場する2要素の連立微分方程式はちょっと複雑になります。グラフを描いてみます。x,yが追いかけっこをしている点は同じです。これがどのような因果関係になっているかは、対応する微分方程式を見ることで明快になります。\]xの増減は、2つの要素の和からなっておりxの量に比例して増加量が増えるxとyの積に比例して減少量が増えるyの増減は、2つの要素の和からなっておりyの量に比例して減少量が増えるxとyの積に比例して増加量が増えると読めます。生態系で放っておくと繁殖するが、草食動物xが肉食動物yに出会う(x,yの積)と捕食され、肉食動物yは放っておくと減るが、草食動物xに出会うと繁殖するという場合がこのようなパターンになります。x,yを化学分子とみなせば、放っておくと増える分子xはyと反応して減少し、yは放っておくと消失するが、xと反応することで増加する、というようなパターンがこれに相当します。上の例では、2要素が相互に影響しあうことで周期的な変化が現れました。2要素が反応しながら、かつ、ある空間を拡散していくと、微分方程式自体は単純ながら、複雑な様子模様が現れます。動物の体表の模様の形成などの原理の1つにこの反応拡散系があります。偏微分の記号、空間積分の記号など見慣れないものがあるかも知れませんが、記号だと割り切ることも「数理生物学」のしきたりと思えば、今は気にする必要はありません。第1項は指定した拡散係数による拡散を表し、第2・第3項がu,vの相互作用・反応を表しています。uの減少とvの増加とが、係数F,kを介して連結しており、反応の速さはu,vの濃度の両方とに依存しています。1))別のやり方でグラフを描きます。状態空間モデル三角関数は次のように円を表している。追いかけっこを同様に表すと「円」ではないが、周回軌道を描きます。rainbow(100))これらの軌道は、ぐるりと回って元の位置に戻り、また同じ軌道をたどっており、周回軌道となっています。生命体の状態を捉えるときに、いろいろな分子の量の変化で捉える場合を考えてみます。生命体は、刻一刻と変化してはいますから、いろいろな分子の量は絶えず変化していますが、長い目で見ると安定しています。仮に、2分子の量に着目すれば、上の図のように2次元平面に周回軌道を描きます。3分子の場合をグラフにしてみます。3分子の量の時間変化をグラフにすれば、3本のカーブになりますし、それを3次元空間の軌道として描くこともできます。"l")ガタガタしていてさほど美しい仕組みに見えないかもしれませんが、以下のように3次元空間の軌跡にすると印象が変わるかもしれません。60)plot3d(xyz)この形はドーナツ型・トーラスですが、2つの円軌道の組み合わせで出来ています。このように状態を空間上の点とみなし、時間変化を空間上の曲線とみなす考え方を状態空間モデルと呼びます。状態空間モデルでは、空間にどのような曲線が描かれるかに興味があります。ものごとを観察すると空間上の点としてとらえることができますが、そのデータから、どのような軌道が存在しているのか、その軌道を決めているルール(微分方程式)はどんなものかを明らかにすることが、生命現象の理解の目標となります。医学で言えば、「健康である」という定常状態~周回軌道と「病気である」という定常状態~周回軌道とがあって、何かの拍子に「健康周回軌道」から「病気周回軌道」に飛び移ってしまうことが「発病」となります。戻るための医療介入とは何なのか、ということを状態空間上の要因として検討することが可能となります。ここまで読んできたあなたはそれなりに数理生物学が好きなはずです。(MIKU)の顧問をしています。数学に関することをネタに雑談する部です。興味があれば部員もしくは山田まで、お気軽にご連絡ください。\)円を描いていぐるぐる回ります。