虚部の存在が振動を表し、実部が全体としての増減を決めることがわかります。照らして複素数に対応付けたとき、「実部が0」で「虚部が非0」であるということを意味していることが解ります。なる話があり、aが複素数でもよいこと、aの実部が0のときに発散も収束もせず、虚部がある場合には周期変動をすることが示されました。これが連立微分方程式に拡張されるとどうなるのでしょうか。複数の因子が相互に影響を及ぼしあいながら、全体としては発散も収束もせずに周期変化をするような現象の記述についての話になります。このx,yが満足する連立微分方程式は、三角関数を使わずに、行列を使うことで次のように表せます。次のベクトルと行列とを使って簡単に表すことができます。\)と太字なのは、それぞれ、ベクトル(多変数)、行列であることを意味しています。\]上式のxが発散も収束もしないで周期的変化をするときには、zが純虚数であるのでした。\)がいずれも、発散も収束もしないときにもこれと似たような制約があります。その制約には再び純虚数が登場します。その制約を具体例に沿ってみてみます。\]このように3つの行列の積にします。この3つの行列の特徴を以下に説明します。\)は対角成分以外は0であり、対角行列と呼ばれます。\)の固有値と呼ばれます。\)と指数が純虚数となっています。\)の固有値は絶対値が1の複素数になっていました。\)のすべては発散も収束もしないで増減しながら変動します。\)としてそれを対角成分とした行列にまります。\)のとき、変動はするけれども発散も収束もしないからです。\)の変数の数が1のときの拡張になっていることがわかります。この例はごく単純でしたが、冒頭の8要素の周期変動のグラフはこれを背景にして作成したものです。こんな例を試してみます。0.7071-0.7071iのように、複素数になっています。この複素数の絶対値はここでは確かめませんが1になっています。簡単なまとめ複数の因子が相互に影響しあいながら、変動し周期的に変化する現象の基本には、三角関数があり、それが周期性をもたらすことを理解するには、指数関数と複素数を解に持つ微分方程式が登場しました。連立方程式には行列計算も登場し、行列には固有値やそれを用いた行列の分解などが役に立つこともわかりました。